Группа симметрии - Symmetry group

А тетраэдр инвариантен относительно 12 различных вращения, отражения исключены. Они показаны здесь в график цикла формат вместе с краем 180 ° (синие стрелки) и вершиной 120 ° (красноватые стрелки) вращения который переставлять тетраэдр через позиции. 12 оборотов образуют группа вращения (симметрии) фигуры.

В теория групп, то группа симметрии геометрического объекта группа из всех трансформации под которым объект находится инвариантный, наделенный групповой операцией сочинение. Такое преобразование является обратимым отображением окружающее пространство которая принимает объект к себе и сохраняет всю соответствующую структуру объекта. Частое обозначение группы симметрии объекта Икс является грамм = Sym (Икс).

Для объекта в метрика пространство, его симметрии образуют подгруппа из группа изометрии окружающего пространства. В этой статье в основном рассматривается симметрия группы в Евклидова геометрия, но эту концепцию можно также изучить для более общих типов геометрической структуры.

Вступление

Мы рассматриваем «объекты», обладающие симметрией, как геометрические фигуры, изображения и узоры, такие как узор обоев. Для симметрии физических объектов можно также принять их физический состав как часть паттерна. (Шаблон может быть указан формально как скалярное поле, функция положения со значениями в наборе цветов или веществ; как векторное поле; или как более общая функция на объекте.) Группа изометрий пространства индуцирует групповое действие на объекты в нем, а группа симметрии Sym (Икс) состоит из тех изометрий, которые отображают Икс на себя (а также отображение любого дальнейшего шаблона на себя). Мы говорим Икс является инвариантный при таком отображении, и отображение является симметрия из Икс.

Вышеупомянутое иногда называют полная группа симметрии из Икс чтобы подчеркнуть, что он включает изометрии с изменением ориентации (отражения, скользящие отражения и неправильные вращения ), пока эти изометрии отображают эту конкретную Икс себе. В подгруппа симметрий, сохраняющих ориентацию (трансляций, поворотов и их композиций), называется ее собственная группа симметрии. Объект хиральный когда у него нет ориентация -обращение симметрии, так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии.

Любая группа симметрии, элементы которой имеют общую фиксированная точка, что верно, если группа конечна или фигура ограничена, можно представить в виде подгруппа из ортогональная группа O (п), выбрав начало координат в качестве фиксированной точки. Собственная группа симметрии тогда является подгруппой специальной ортогональной группы SO (п), и называется группа ротации фигуры.

В дискретная группа симметрии, точки, симметричные данной точке, не накапливать в сторону предельной точки. То есть каждый орбита группы (изображения данной точки под всеми элементами группы) образует дискретный набор. Все конечные группы симметрии дискретны.

Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы, которые включают только вращения, отражения, инверсии и ротообращения, т. е. конечные подгруппы O (п); (2) бесконечный решетка группы, которые включают только переводы; и (3) бесконечное космические группы содержащие элементы обоих предыдущих типов, а также, возможно, дополнительные преобразования, такие как винтовые смещения и скользящие отражения. Это также непрерывная симметрия группы (Группы Ли ), которые содержат повороты на сколь угодно малые углы или переводы на сколь угодно малые расстояния. Примером является О (3), группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов полностью можно отнести к категории подгруппы евклидовой группы E (п) (группа изометрий р^п).

Две геометрические фигуры имеют одинаковые тип симметрии когда их группы симметрии сопрягать подгруппы евклидовой группы: то есть, когда подгруппы ЧАС₁, ЧАС₂ связаны ЧАС₁ = грамм⁻¹ЧАС₂грамм для некоторых грамм в E (п). Например:

две трехмерные фигуры обладают зеркальной симметрией, но относительно разных зеркальных плоскостей.
две трехмерные фигуры имеют 3-кратное вращательная симметрия, но относительно разных осей.
два 2D-шаблона обладают поступательной симметрией, каждый в одном направлении; два вектора трансляции имеют одинаковую длину, но разное направление.

В следующих разделах мы будем рассматривать только группы изометрий, орбиты находятся топологически замкнутый, включая все дискретные и непрерывные группы изометрий. Однако это исключает, например, 1D группу переводов Рациональное число; такую незамкнутую фигуру невозможно нарисовать с разумной точностью из-за ее сколь угодно мелкой детали.

Одно измерение

Группы изометрии в одном измерении:

тривиальная группа C₁
группы из двух элементов, порожденные отражением; они изоморфны C₂
бесконечные дискретные группы, порожденные переводом; они изоморфны Z, аддитивная группа целых чисел
бесконечные дискретные группы, порожденные трансляцией и отражением; они изоморфны обобщенная группа диэдра из Z, Dih (Z), также обозначаемый D_∞ (что является полупрямой продукт из Z и C₂).
группа, порожденная всеми переводами (изоморфная аддитивной группе действительных чисел р); эта группа не может быть группой симметрии евклидовой фигуры, даже наделенной узором: такой узор был бы однородным, следовательно, мог бы также отражаться. Однако постоянное одномерное векторное поле имеет эту группу симметрии.
группа, порожденная всеми переводами и отражениями в точках; они изоморфны обобщенная группа диэдра Дих (р).

Смотрите также группы симметрии в одном измерении.

Два измерения

Вплоть до По сопряженности дискретные точечные группы в двумерном пространстве относятся к следующим классам:

циклические группы C₁, С₂, С₃, С₄, ... где C_п состоит из всех поворотов вокруг фиксированной точки на угол, кратный 360 ° /п
диэдральные группы D₁, D₂, D₃, D₄, ..., где D_п (порядка 2п) состоит из поворотов в C_п вместе с размышлениями в п оси, проходящие через фиксированную точку.

C₁ это тривиальная группа содержащий только операцию идентификации, которая происходит, когда фигура асимметрична, например буква «F». C₂ группа симметрии буквы "Z", C₃ что из трискелион, С₄ из свастика, а C₅, С₆и т. д. представляют собой группы симметрии подобных свастико-подобных фигур с пятью, шестью и т. д. руками вместо четырех.

D₁ - это группа из двух элементов, содержащая операцию идентичности и одно отражение, которое происходит, когда фигура имеет только одну ось двусторонняя симметрия, например буква «А».

D₂, который изоморфен Кляйн четыре группы, - группа симметрии неравностороннего прямоугольника. На этой фигуре четыре операции симметрии: операция тождества, одна двойная ось вращения и две неэквивалентные зеркальные плоскости.

D₃, D₄ и т. д. являются группами симметрии правильные многоугольники.

Внутри каждого из этих типов симметрии есть два степени свободы для центра вращения, а в случае двугранных групп - еще одно для положения зеркал.

Остальные группы изометрий в двух измерениях с фиксированной точкой:

специальный ортогональная группа SO (2), состоящий из всех вращений вокруг фиксированной точки; его также называют круговая группа S¹, мультипликативная группа сложные числа из абсолютная величина 1. Это правильный группа симметрии окружности и непрерывный эквивалент C_п. Не существует геометрической фигуры, которая имела бы полный группа симметрии круговая группа, но для векторного поля она может применяться (см. трехмерный случай ниже).
ортогональная группа O (2), состоящая из всех вращений вокруг фиксированной точки и отражений по любой оси через эту фиксированную точку. Это группа симметрии круга. Его также называют Dih (S¹) как это обобщенная группа диэдра из S¹.

Неограниченные фигуры могут иметь группы изометрий, включая переводы; это:

7 фризовые группы
17 группы обоев
для каждой из групп симметрии в одном измерении, комбинация всех симметрий в этой группе в одном направлении и группа всех перемещений в перпендикулярном направлении
то же самое с отражениями в линии в первом направлении.

Три измерения

Вплоть до Сопряженность множество трехмерных точечных групп состоит из 7 бесконечных серий и 7 других индивидуальных групп. В кристаллографии рассматриваются только те точечные группы, которые сохраняют некоторую кристаллическую решетку (поэтому их вращения могут иметь порядок только 1, 2, 3, 4 или 6). Этот кристаллографическое ограничение бесконечных семейств общих точечных групп приводит к 32 кристаллографическим точечным группам (27 индивидуальных групп из 7 серий и 5 из 7 других индивидов).

К непрерывным группам симметрии с фиксированной точкой относятся:

цилиндрическая симметрия без плоскости симметрии, перпендикулярной оси, например, для пива бутылка
цилиндрическая симметрия с плоскостью симметрии, перпендикулярной оси
сферическая симметрия

Для объектов с скалярное поле На рисунках цилиндрическая симметрия подразумевает также вертикальную симметрию отражения. Однако это неверно для векторное поле шаблоны: например, в цилиндрические координаты относительно некоторой оси векторное поле ${displaystyle mathbf {A} = A_ {ho} {oldsymbol {hat {ho}}} + A_ {phi} {oldsymbol {hat {phi}}} + A_ {z} {oldsymbol {hat {z}}}}$ имеет цилиндрическую симметрию относительно оси всякий раз, когда ${displaystyle A_ {ho}, A_ {phi},}$ и ${displaystyle A_ {z}}$ обладают этой симметрией (нет зависимости от ${displaystyle phi}$ ); и имеет отражательную симметрию только тогда, когда ${displaystyle A_ {phi} = 0}$ .

Для сферической симметрии такого различия нет: любой узорчатый объект имеет плоскости симметрии отражения.

К непрерывным группам симметрии без неподвижной точки относятся группы с ось винта, например, бесконечное спираль. Смотрите также подгруппы евклидовой группы.

Группы симметрии в целом

В более широком контексте группа симметрии может быть любой группа трансформации, или же автоморфизм группа. Каждый тип математическая структура имеет обратимые отображения которые сохраняют структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, прояснить значение геометрической конгруэнтности или инвариантности; это один из способов взглянуть на Программа Эрланген.

Например, объекты в гиперболическом неевклидова геометрия имеют Фуксовы группы симметрии, которые являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости, сохраняя гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые изображены на рисунках Эшер.) Аналогично группы автоморфизмов конечная геометрия сохранить семейства точечных множеств (дискретные подпространства), а не евклидовы подпространства, расстояния или скалярные произведения. Как и для евклидовых фигур, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, которые являются подгруппами симметрий окружающего пространства.

Другой пример группы симметрии - это группа симметрии. комбинаторный граф: симметрия графа - это перестановка вершин, которая переводит ребра в ребра. Любой конечно представленная группа группа симметрии его Граф Кэли; то свободная группа группа симметрии бесконечного древовидный граф.

Структура группы с точки зрения симметрии

Теорема Кэли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества Икс, и поэтому может рассматриваться как группа симметрии Икс с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные особенности группы (определенные исключительно в терминах групповой операции) могут быть интерпретированы в терминах симметрии.

Например, пусть грамм = Sym (Икс) - конечная группа симметрии фигуры Икс в евклидовом пространстве, и пусть ЧАС ⊂ грамм быть подгруппой. потом ЧАС можно интерпретировать как группу симметрии Икс⁺, "украшенная" версия Икс. Такое украшение может быть построено следующим образом. Добавьте несколько узоров, таких как стрелки или цвета, Икс чтобы нарушить всю симметрию, получив фигуру Икс^# с Sym (Икс^#) = {1}, тривиальная подгруппа; то есть, gX^# ≠ Икс^# для всех нетривиальных грамм ∈ грамм. Теперь получаем:

{displaystyle X ^ {+} = igcup _ {hin H} hX ^ {#} quad {ext {удовлетворяет}} quad H = mathrm {Sym} (X ^ {+}).}

Нормальные подгруппы также можно охарактеризовать в этой структуре. Группа симметрии перевода gX ⁺ сопряженная подгруппа gHg⁻¹. Таким образом ЧАС это нормально, когда:

{displaystyle mathrm {Sym} (gX ^ {+}) = mathrm {Sym} (X ^ {+}) {ext {для всех}} джин G;}

то есть всякий раз, когда украшение Икс⁺ может быть нарисован в любой ориентации относительно любой стороны или особенности Икс, и по-прежнему дают ту же группу симметрии gHg⁻¹ = ЧАС.

В качестве примера рассмотрим группу диэдра грамм = D₃ = Sym (Икс), куда Икс - равносторонний треугольник. Мы можем украсить это стрелкой на одном краю, получив асимметричную фигуру. Икс^#. Полагая τ ∈ грамм быть отражением края со стрелкой, составная фигура Икс⁺ = Икс^# ∪ τИкс^# имеет двунаправленную стрелку на этом краю, а его группа симметрии ЧАС = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, так как gX⁺ может иметь двунаправленную стрелку на другом крае, что дает другую группу симметрии отражения.

Однако, полагая H = {1, ρ, ρ²} ⊂ D₃ - циклическая подгруппа, порожденная вращением, украшенная фигура Икс⁺ состоит из 3-х циклов стрелок с последовательной ориентацией. потом ЧАС нормально, так как рисование такого цикла с любой ориентацией дает одну и ту же группу симметрии ЧАС.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Burns, G .; Глейзер, А. М. (1990). Космические группы для ученых и инженеров (2-е изд.). Бостон: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
Клегг, В. (1998). Определение кристаллической структуры (Oxford Chemistry Primer). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-855901-1.
О'Киф, М .; Хайд, Б. Г. (1996). Кристаллические структуры; I. Паттерны и симметрия. Вашингтон, округ Колумбия: Минералогическое общество Америки, серия монографий. ISBN 0-939950-40-5.
Миллер, Уиллард младший (1972). Группы симметрий и их приложения. Нью-Йорк: Academic Press. OCLC 589081. Архивировано из оригинал на 2010-02-17. Получено 2009-09-28.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Группа Симметрии». MathWorld.
Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическая группа». MathWorld.
Обзор 32 кристаллографических точечных групп - формируем первые части (кроме пропуска п= 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп трехмерных точек