Группа обоев - Wallpaper group

Пример Египтянин дизайн с группой обоев п4м

А группа обоев (или плоская группа симметрии или плоская кристаллографическая группа) представляет собой математическую классификацию двумерного повторяющегося шаблона, основанную на симметрии в выкройке. Такие модели часто встречаются в архитектура и декоративное искусство, особенно в текстиль и плитка а также обои на стену.

Самая простая группа обоев, Группа п1, применяется, когда нет никакой симметрии, кроме того факта, что узор повторяется через равные промежутки времени в двух измерениях, как показано в разделе на p1 ниже.

Рассмотрим следующие примеры узоров с большим количеством форм симметрии:

Примеры А и B иметь одинаковую группу обоев; это называется п4м в Обозначение IUC и *442 в орбифолдная запись. Пример C имеет другую группу обоев, которая называется п4г или 4*2 . Дело в том, что А и B одна и та же группа обоев означает, что они имеют одинаковую симметрию, независимо от деталей дизайна, тогда как C имеет другой набор симметрий, несмотря на внешнее сходство.

Количество групп симметрии зависит от количества измерений в узорах. Группы обоев относятся к двумерному случаю, промежуточному по сложности между более простыми. фризовые группы и трехмерный космические группы. Незначительные различия могут помещать похожие узоры в разные группы, в то время как узоры, которые сильно различаются по стилю, цвету, масштабу или ориентации, могут принадлежать к одной и той же группе.

А доказательство что есть только 17 различных группы таких плоских симметрий впервые было проведено Евграф Федоров в 1891 г.[1] а затем независимо выводится Георгий Полиа в 1924 г.[2] Доказательство того, что список групп обоев полон, было получено только после того, как был сделан гораздо более сложный случай космических групп. Семнадцать возможных групп обоев перечислены ниже в § Семнадцать групп.

Симметрии узоров

А симметрия Образца - это, грубо говоря, способ преобразования образца так, чтобы он выглядел точно так же после преобразования. Например, поступательная симметрия присутствует, когда узор может быть переведено (другими словами, сдвинутые) на некоторое конечное расстояние и выглядят неизменными. Подумайте о смещении набора вертикальных полос по горизонтали на одну полосу. Узор не изменился. Строго говоря, настоящая симметрия существует только в узорах, которые точно повторяются и продолжаются бесконечно. Набор из, скажем, пяти полос не обладает трансляционной симметрией - при сдвиге полоса на одном конце «исчезает», а на другом конце «добавляется» новая полоса. Однако на практике классификация применяется к конечным образцам, и небольшие недостатки можно игнорировать.

Типы преобразований, которые здесь актуальны, называются Изометрии евклидовой плоскости. Например:

  • Если мы сдвиг пример B на одну единицу вправо, так что каждый квадрат покрывает квадрат, который изначально был рядом с ним, тогда результирующий узор точно так же как образец, с которого мы начали. Этот тип симметрии называется перевод. Примеры А и C аналогичны, за исключением того, что наименьшие возможные смещения происходят в диагональных направлениях.
  • Если мы очередь пример B по часовой стрелке на 90 °, вокруг центра одного из квадратов, снова получаем точно такой же узор. Это называется вращение. Примеры А и C также имеют вращение на 90 °, хотя требуется немного больше изобретательности, чтобы найти правильный центр вращения для C.
  • Мы также можем кувырок пример B по горизонтальной оси, проходящей через середину изображения. Это называется отражение. Пример B также имеет отражения по вертикальной оси и по двум диагональным осям. То же самое можно сказать и о А.

Однако пример C является другой. Он имеет только отражения в горизонтальном и вертикальном направлениях, не по диагональным осям. Если мы перевернем диагональную линию, мы сделаем не получить тот же узор обратно; что мы делать get - это исходный узор, смещенный на определенное расстояние. Это одна из причин того, что группа обоев А и B отличается от группы обоев C.

Еще одна трансформация - это «Скольжение», комбинация отражения и переноса параллельно линии отражения.

Скользящее отражение сопоставляет набор левых и правых следов друг с другом.

Формальное определение и обсуждение

Математически группа обоев или плоская кристаллографическая группа представляет собой тип топологически дискретный группа из изометрии евклидовой плоскости который содержит два линейно независимый переводы.

Два таких группы изометрий одного типа (одной группы обоев), если они то же с точностью до аффинного преобразования плоскости. Таким образом, например смещение плоскости (отсюда смещение зеркал и центров вращения) не влияет на группу обоев. То же самое относится к изменению угла между векторами трансляции, при условии, что это не добавляет или не удаляет симметрию (это только в том случае, если нет зеркал и нет скользящие отражения, и вращательная симметрия не более 2).

В отличие от трехмерный случай, мы можем эквивалентным образом ограничить аффинные преобразования теми, которые сохраняют ориентация.

Из теоремы Бибербаха следует, что все группы обоев различны даже как абстрактные группы (в отличие от, например, фризовые группы, из которых два изоморфны Z).

2D-паттерны с двойной поступательной симметрией можно разделить на категории в соответствии с их группа симметрии тип.

Изометрии евклидовой плоскости

Изометрии евклидовой плоскости делятся на четыре категории (см. Статью Изометрия евклидовой плоскости для дополнительной информации).

  • Переводы, обозначаемый Тv, куда v это вектор в р2. Это дает эффект сдвига плоскости, применяя смещение вектор v.
  • Вращения, обозначаемый рc,θ, куда c точка на плоскости (центр вращения), а θ угол поворота.
  • Размышления, или зеркальные изометрии, обозначаемый FL, куда L это линия в р2. (F это для "перевернуть"). Это имеет эффект отражения плоскости в линии L, называется ось отражения или связанные зеркало.
  • Скользящие отражения, обозначаемый гL,d, куда L это линия в р2 и d это расстояние. Это сочетание отражения в строке L и перевод вместе L на расстоянии d.

Условие независимых переводов

Условие линейно независимых переносов означает, что существуют линейно независимые векторы v и ш (в р2) такая, что группа содержит оба Тv и Тш.

Цель этого условия - отличить группы обоев от фризовые группы, которые обладают трансляцией, а не двумя линейно независимыми, и от двумерные дискретные точечные группы, у которых вообще нет переводов. Другими словами, группы обоев представляют собой узоры, которые повторяются в два четкие направления, в отличие от групп фризов, которые повторяются только вдоль одной оси.

(Эту ситуацию можно обобщить. Мы могли бы, например, изучить дискретные группы изометрий рп с участием м линейно независимые переводы, где м любое целое число в диапазоне 0 ≤м ≤ п.)

Условие дискретности

Условие дискретности означает, что существует некоторое положительное действительное число ε такое, что для каждого перевода Тv в группе вектор v имеет длину по крайней мере ε (за исключением, конечно, случая, когда v является нулевым вектором, но условие независимых трансляций предотвращает это, поскольку любой набор, содержащий нулевой вектор, по определению линейно зависим и поэтому запрещен).

Цель этого условия - гарантировать, что группа имеет компактную фундаментальную область, или, другими словами, «ячейку» ненулевой конечной площади, которая повторяется через плоскость. Без этого условия у нас может быть, например, группа, содержащая перевод ТИкс для каждого Рациональное число Икс, что не соответствует ни одному разумному рисунку обоев.

Одно важное и нетривиальное следствие условия дискретности в сочетании с условием независимых переносов состоит в том, что группа может содержать вращения только порядка 2, 3, 4 или 6; то есть каждый поворот в группе должен быть поворотом на 180 °, 120 °, 90 ° или 60 °. Этот факт известен как кристаллографическая теорема ограничения, и может быть обобщен на многомерные случаи.

Обозначения для групп обоев

Кристаллографические обозначения

Кристаллография имеет 230 космические группы Чтобы различить, гораздо больше, чем 17 групп обоев, но многие симметрии в группах одинаковы. Таким образом, мы можем использовать одинаковые обозначения для обоих типов групп, а именно: Карл Германн и Шарль-Виктор Моген. Пример полного названия обоев в стиле Hermann-Mauguin (также называемых Обозначение IUC ) является п31м, с четырьмя буквами или цифрами; более обычным является сокращенное имя, например см или pg.

Для групп обоев полное обозначение начинается с п или c, для примитивная клетка или гранецентрированная ячейка; они объяснены ниже. За ним следует цифра, п, указывающий наивысший порядок вращательной симметрии: 1-кратный (нет), 2-кратный, 3-кратный, 4-кратный или 6-кратный. Следующие два символа обозначают симметрии относительно одной оси переноса рисунка, называемой «основной»; если есть зеркало, перпендикулярное оси трансляции, мы выбираем эту ось в качестве основной (или, если их два, то одну из них). Символы либо м, г, или 1, для зеркального, скользящего отражения или без него. Ось зеркального или скользящего отражения перпендикулярна главной оси для первой буквы и либо параллельна, либо наклонена на 180 ° /п (когда п > 2) для второй буквы. Многие группы включают в себя другие симметрии, подразумеваемые данными. В коротком обозначении отбрасываются цифры или м это можно сделать вывод, если это не вызывает путаницы с другой группой.

Примитивная ячейка - это минимальная область, повторяемая трансляциями решетки. Все группы симметрии обоев, кроме двух, описываются относительно осей примитивных ячеек, координатного базиса с использованием векторов трансляции решетки. В остальных двух случаях описание симметрии относится к центрированным ячейкам, которые больше, чем примитивная ячейка, и, следовательно, имеют внутреннее повторение; направления их сторон отличаются от направлений векторов трансляции, охватывающих примитивную ячейку. Обозначения Германа-Могена для кристалла космические группы использует дополнительные типы ячеек.

Примеры
  • п2 (п2): Примитивная ячейка, 2-кратная симметрия вращения, отсутствие зеркал и отражений скольжения.
  • п4гм (п4мм): Примитивная ячейка, 4-кратное вращение, скользящее отражение перпендикулярно главной оси, ось зеркала под углом 45 °.
  • c2мм (c2мм): Центрированная ячейка, двукратное вращение, оси зеркала перпендикулярны и параллельны главной оси.
  • п31м (п31м): Примитивная ячейка, вращение в 3 раза, ось зеркала 60 °.

Вот все имена, которые отличаются кратким и полным обозначением.

Кристаллографические краткое и полное наименование
короткийвечераpgсмпммpmgpggсмп4мп4гп6м
Полныйп1м1п1г1c1м1п2ммп2мгп2ggc2ммп4ммп4гмп6мм

Остальные имена п1, п2, п3, п3м1, п31м, п4, и п6.

Обозначение орбифолда

Обозначение орбифолда для групп обоев, за которые выступает Джон Хортон Конвей (Conway, 1992) (Conway 2008), основана не на кристаллографии, а на топологии. Складываем бесконечную периодическую мозаику плоскости в его сущность, орбифолд, а затем опишите это несколькими символами.

  • Цифра, п, обозначает центр п-кратное вращение, соответствующее точке конуса на орбифолде. По кристаллографической теореме об ограничении п должно быть 2, 3, 4 или 6.
  • Звездочка, *, указывает на зеркальную симметрию, соответствующую границе орбифолда. Он взаимодействует с цифрами следующим образом:
    1. Цифры до * обозначим центры чистого вращения (циклический ).
    2. Цифры после * обозначим центры вращения с проходящими через них зеркалами, соответствующие «углам» на границе орбифолда (двугранный ).
  • Через, ×, возникает при наличии скользящего отражения и указывает на перекрестный колпачок на орбифолде. Чистые зеркала сочетаются с трансляцией решетки для создания скольжения, но они уже учтены, поэтому мы не записываем их.
  • Символ "отсутствие симметрии", о, стоит отдельно и указывает, что у нас есть только трансляции решетки без другой симметрии. Орбифолд с этим символом - тор; в общем символ о обозначает ручку орбифолда.

Рассмотрим группу, обозначенную в кристаллографических обозначениях как см; в обозначениях Конвея это будет 2*22. В 2 перед * говорит, что у нас есть 2-кратный центр вращения, сквозь который нет зеркала. В * Сам говорит, что у нас есть зеркало. Первый 2 после * говорит, что у нас есть 2-кратный центр вращения на зеркале. Финал 2 говорит, что у нас есть независимый второй 2-кратный центр вращения на зеркале, который не является дубликатом первого при симметрии.

Группа, обозначенная pgg будет 22×. У нас есть два чистых центра двукратного вращения и ось скользящего отражения. Сравните это с pmg, Конвей 22*, где в кристаллографических обозначениях упоминается скольжение, но оно неявно присутствует в других симметриях орбифолда.

Coxeter с скобка также включен, на основе отражающего Группы Кокстера, и изменен с добавлением верхних индексов с учетом ротации, неправильные вращения и переводы.

Конвей, Кокстер и кристаллографическая переписка
Конвейо××*×**632*632
Coxeter[∞+,2,∞+][(∞,2)+,∞+][∞,2+,∞+][∞,2,∞+][6,3]+[6,3]
Кристаллографическийп1pgсмвечерап6п6м
Конвей333*3333*3442*4424*2
Coxeter[3[3]]+[3[3]][3+,6][4,4]+[4,4][4+,4]
Кристаллографическийп3п3м1п31мп4п4мп4г
Конвей222222×22**22222*22
Coxeter[∞,2,∞]+[((∞,2)+,(∞,2)+)][(∞,2)+,∞][∞,2,∞][∞,2+,∞]
Кристаллографическийп2pggpmgпммсм

Почему ровно семнадцать групп

Орбифолд можно рассматривать как многоугольник с гранью, ребрами и вершинами, которые можно развернуть, чтобы сформировать возможно бесконечное множество многоугольников, которые соединяют либо сфера, самолет или гиперболическая плоскость. Когда он облицовывает плоскость, он дает группу обоев, а когда он накладывает мозаику на сферу или гиперболическую плоскость, он дает либо группа сферической симметрии или Группа гиперболической симметрии. Тип пространства, на котором расположены плитки многоугольников, можно определить, вычислив Эйлерова характеристика, χ = V − E + F, куда V это количество углов (вершин), E количество ребер и F количество лиц. Если эйлерова характеристика положительна, то орбифолд имеет эллиптическую (сферическую) структуру; если он равен нулю, то он имеет параболическую структуру, т.е. группу обоев; а если он отрицательный, он будет иметь гиперболическую структуру. При перечислении полного набора возможных орбифолдов оказывается, что только 17 имеют эйлерову характеристику 0.

Когда орбифолд симметрично реплицируется для заполнения плоскости, его элементы создают структуру из вершин, ребер и граней многоугольника, которая должна соответствовать эйлеровой характеристике. В обратном порядке мы можем присваивать чертам орбифолда числа, но не целые числа, а дроби. Поскольку орбифолд сам является частным от полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбифолда является частным от эйлеровой характеристики поверхности по порядок группы симметрии.

Орбифолдная характеристика Эйлера равна 2 минус сумма значений признаков, назначенных следующим образом:

  • Цифра п без или перед * считается как (п − 1)/п.
  • Цифра п после * считается как (п − 1)/2п.
  • И *, и × считаются как 1.
  • «Отсутствие симметрии» считается как 2.

Для группы обоев сумма характеристики должна быть равна нулю; таким образом, сумма признаков должна быть 2.

Примеры
  • 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
  • 3*3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
  • 4*2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
  • 22×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Теперь перечисление всех групп обоев становится делом арифметики, перечислением всех строк функций со значениями, суммируемыми до 2.

Строки характеристик с другими суммами - это не ерунда; они подразумевают неплоские мозаики, которые здесь не обсуждаются. (Когда орбифолдная эйлерова характеристика отрицательна, мозаика гиперболический; когда положительный, сферический или плохой ).

Руководство по распознаванию групп обоев

Чтобы определить, какая группа обоев соответствует тому или иному дизайну, можно воспользоваться следующей таблицей.[3]

Размер наименьшего
вращение		Есть отражение?
даНет
360° / 6п6м (*632)п6 (632)
360° / 4Есть зеркала на 45 °?п4 (442)
Да: п4м (*442)Нет: п4г (4*2)
360° / 3Имеет гниль. отцентрировать зеркала?п3 (333)
Да: п31м (3*3)Нет: п3м1 (*333)
360° / 2Есть перпендикулярные отражения?Есть скользящее отражение?
даНет
Имеет гниль. отцентрировать зеркала?pmg (22*)Да: pgg (22×)Нет: п2 (2222)
Да: см (2*22)Нет: пмм (*2222)
никтоЕсть ось скольжения вне зеркал?Есть скользящее отражение?
Да: см (*×)Нет: вечера (**)Да: pg (××)Нет: п1 (о)

Смотрите также этот обзор с диаграммами.

Семнадцать групп

Каждая из групп в этом разделе имеет две диаграммы структуры ячеек, которые следует интерпретировать следующим образом (важна форма, а не цвет):

Wallpaper group diagram legend rotation2.svgцентр вращения второго порядка (180 °).
Wallpaper group diagram legend rotation3.svgцентр вращения третьего порядка (120 °).
Wallpaper group diagram legend rotation4.svgцентр вращения четвертого порядка (90 °).
Wallpaper group diagram legend rotation6.svgцентр вращения шестого порядка (60 °).
Wallpaper group diagram legend reflection.svgось отражения.
Wallpaper group diagram legend glide reflection.svgось скользящего отражения.

На диаграммах справа разные классы эквивалентности элементов симметрии окрашены (и повернуты) по-разному.

В коричневая или желтая область указывает на фундаментальная область, то есть наименьшая часть повторяющегося рисунка.

На диаграммах справа показана ячейка решетка соответствующие самым мелким переводам; те, что слева, иногда показывают большую площадь.

Группа п1 (о)

Пример и диаграмма для п1
Ячеистые структуры для п1 по типу решетки
Wallpaper group diagram p1.svg
Косой		Wallpaper group diagram p1 half.svg
Шестиугольный
Wallpaper group diagram p1 rect.svg
Прямоугольный		Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg
Ромбический		Wallpaper group diagram p1 square.svg
Квадрат
  • Подпись Орбифолд: о
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞+,2,∞+] или [∞]+×[∞]+
  • Решетка: косая
  • Группа точек: C1
  • Группа п1 содержит только переводы; нет поворотов, отражений или скользящих отражений.
Примеры группы п1

Два перевода (стороны ячейки) могут иметь разную длину и образовывать любой угол.

Группа п2 (2222)

Пример и диаграмма для п2
Ячеистые структуры для п2 по типу решетки
Wallpaper group diagram p2.svg
Косой		Wallpaper group diagram p2 half.svg
Шестиугольный
Wallpaper group diagram p2 rect.svg
Прямоугольный		Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg
Ромбический		Wallpaper group diagram p2 square.svg
Квадрат
  • Подпись Орбифолд: 2222
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞, 2, ∞]+
  • Решетка: косая
  • Группа точек: C2
  • Группа п2 содержит четыре центра вращения второго порядка (180 °), но без отражений или скользящих отражений.
Примеры группы п2

Группа вечера (**)

Пример и диаграмма для вечера
Структура ячейки для вечера
Wallpaper group diagram pm.svg
Горизонтальные зеркала		Wallpaper group diagram pm rotated.svg
Вертикальные зеркала
  • Подпись Орбифолд: **
  • Обозначение Кокстера: [∞, 2, ∞+] или [∞+,2,∞]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D1
  • Группа вечера не имеет вращений. У него есть оси отражения, все они параллельны.
Примеры группы вечера

(Первые три имеют вертикальную ось симметрии, а последние две имеют разные диагональные оси.)

Группа pg (××)

Пример и диаграмма для pg
Ячеистые структуры для pg
Wallpaper group diagram pg.svg
Горизонтальные скольжения		Wallpaper group diagram pg rotated.svg
Вертикальные скольжения
Прямоугольный
  • Подпись Орбифолд: ××
  • Обозначение Кокстера: [(∞, 2)+,∞+] или [∞+,(2,∞)+]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D1
  • Группа pg содержит только отражения скольжения, а их оси параллельны. Нет поворотов или отражений.
Примеры группы pg
  • Компьютерная
  • Коврик с узор в елочку на котором Египтянин король встал
  • Египетский коврик (деталь)
  • Тротуар с узор в елочку в Зальцбург. Ось отражения скольжения проходит с северо-востока на юго-запад.
  • Одна из расцветок плоская квадратная черепица; линии отражения скольжения расположены в направлении вверху слева / внизу справа; игнорируя цвета, симметрия гораздо больше, чем просто pg, то это п4г (см. это изображение с одинаково окрашенными треугольниками)[4]

Без деталей внутри зигзагообразных полос мат выглядит pmg; с деталями, но без различия между коричневым и черным, это pgg.

Не обращая внимания на волнистые границы плитки, тротуар pgg.

Группа см (*×)

Пример и диаграмма для см
Структура ячейки для см
Wallpaper group diagram cm.svg
Горизонтальные зеркала		Wallpaper group diagram cm rotated.svg
Вертикальные зеркала
Ромбический
  • Подпись Орбифолд: *×
  • Обозначение Кокстера: [∞+,2+, ∞] или [∞, 2+,∞+]
  • Решетка: ромбическая
  • Группа точек: D1
  • Группа см не содержит вращений. Все оси отражения параллельны. Есть по крайней мере одно скользящее отражение, ось которого не ось отражения; он находится на полпути между двумя соседними параллельными осями отражения.
  • Эта группа применяется к симметрично расположенным рядам (т. Е. Имеется сдвиг на строку на половину расстояния перевода внутри строк) идентичных объектов, ось симметрии которых перпендикулярна строкам.
Примеры группы см

Группа пмм (*2222)

Пример и диаграмма для пмм
Структура ячейки для пмм
Wallpaper group diagram pmm.svg
прямоугольный		Wallpaper group diagram pmm square.svg
квадрат
  • Подпись Орбифолд: *2222
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞, 2, ∞] или [∞] × [∞]
  • Обозначение Кокстера (квадрат): [4,1+, 4] или [1+,4,4,1+]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D2
  • Группа пмм имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и четыре центра вращения второго порядка (180 °), расположенных на пересечении осей отражения.
Примеры группы пмм
  • 2D изображение решетки забор, США (в 3D есть дополнительная симметрия)
  • Мама дело хранится в Лувр
  • Мама дело хранится в Лувр. Был бы типа п4м за исключением несоответствующей окраски

Группа pmg (22*)

Пример и диаграмма для pmg
Ячеистые структуры для pmg
Wallpaper group diagram pmg.svg
Горизонтальные зеркала		Wallpaper group diagram pmg rotated.svg
Вертикальные зеркала
  • Подпись Орбифолд: 22*
  • Обозначение Кокстера: [(∞, 2)+, ∞] или [∞, (2, ∞)+]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D2
  • Группа pmg имеет два центра вращения второго порядка (180 °) и отражается только в одном направлении. Он имеет отражения скольжения, оси которых перпендикулярны осям отражения. Все центры вращения лежат на осях скользящего отражения.
Примеры группы pmg

Группа pgg (22×)

Пример и диаграмма для pgg
Ячеистые структуры для pgg по типу решетки
Wallpaper group diagram pgg.svg
Прямоугольный		Wallpaper group diagram pgg square.svg
Квадрат
  • Подпись Орбифолд: 22×
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [((∞, 2)+,(∞,2)+)]
  • Обозначение Кокстера (квадрат): [4+,4+]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D2
  • Группа pgg содержит два центра вращения второго порядка (180 °) и отражения скольжения в двух перпендикулярных направлениях. Центры вращения не расположены на осях отражения скольжения. Отражений нет.
Примеры группы pgg

Группа см (2*22)

Пример и диаграмма для см
Ячеистые структуры для см по типу решетки
Wallpaper group diagram cmm.svg
Ромбический		Wallpaper group diagram cmm square.svg
Квадрат
  • Подпись Орбифолд: 2*22
  • Обозначение Кокстера (ромбическое): [∞, 2+,∞]
  • Обозначение Кокстера (квадрат): [(4,4,2+)]
  • Решетка: ромбическая
  • Группа точек: D2
  • Группа см имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и вращение второго порядка (180 °) с центром в не на оси отражения. Он также имеет два вращения, центры которых находятся на оси отражения.
  • Эта группа часто встречается в повседневной жизни, так как наиболее распространено расположение кирпичи в кирпичном доме (текущая облигация ) использует эту группу (см. пример ниже).

Вращательная симметрия второго порядка с центрами вращения в центрах сторон ромба является следствием других свойств.

Шаблон соответствует каждому из следующего:

  • симметрично расположенные ряды одинаковых двухсимметричных объектов
  • узор шахматной доски из двух чередующихся прямоугольных плиток, каждая из которых сама по себе является дважды симметричной
  • шахматный узор из попеременно 2-х осесимметричной прямоугольной плитки и ее зеркального отображения
Примеры группы см

Группа п4 (442)

Пример и диаграмма для п4
Структура ячейки для п4
  • Подпись Орбифолд: 442
  • Обозначение Кокстера: [4,4]+
  • Решетка: квадратная
  • Группа точек: C4
  • Группа п4 имеет два центра вращения четвертого порядка (90 °) и один центр вращения второго порядка (180 °). У него нет отражений или скользящих отражений.
Примеры группы п4

А п4 Узор можно рассматривать как повторение в строках и столбцах одинаковых квадратных плиток с 4-кратной вращательной симметрией. Также его можно рассматривать как шахматная доска узор из двух таких плиток, фактор меньше и повернут на 45 °.

Группа п4м (*442)

Пример и диаграмма для п4м
Структура ячейки для п4м
  • Подпись Орбифолд: *442
  • Обозначение Кокстера: [4,4]
  • Решетка: квадратная
  • Группа точек: D4
  • Группа п4м имеет два центра вращения четвертого порядка (90 °) и отражения в четырех различных направлениях (горизонтальном, вертикальном и диагональном). Он имеет дополнительные скользящие отражения, оси которых не являются осями отражения; вращения второго порядка (180 °) центрируются на пересечении осей скользящего отражения. Все центры вращения лежат на осях отражения.

Это соответствует простой сетке строк и столбцов равных квадратов с четырьмя осями отражения. Также это соответствует шахматная доска выкройка из двух таких квадратов.

Примеры группы п4м

Примеры отображаются с наименьшими переводами по горизонтали и вертикали (как на схеме):

Примеры, отображаемые с наименьшей диагональю переводов:

Группа п4г (4*2)

Пример и диаграмма для п4г
Структура ячейки для п4г
  • Подпись Орбифолд: 4*2
  • Обозначение Кокстера: [4+,4]
  • Решетка: квадратная
  • Группа точек: D4
  • Группа п4г имеет два центра вращения четвертого порядка (90 °), которые являются зеркальным отображением друг друга, но он имеет отражения только в двух направлениях, которые перпендикулярны. Есть повороты второго порядка (180 °), центры которых находятся на пересечении осей отражения. Он имеет оси отражения скольжения, параллельные осям отражения, между ними, а также под углом 45 ° к ним.

А п4г узор можно рассматривать как шахматная доска выкройка копий квадратной плитки с 4-кратной вращательной симметрией и ее зеркальное отображение. В качестве альтернативы его можно рассматривать (сдвигая половину плитки) как шахматный узор из копий горизонтально и вертикально симметричной плитки и ее версии, повернутой на 90 °. Обратите внимание, что ни то, ни другое не применимо для простого шахматного рисунка из черно-белых плиток, это группа п4м (с диагональными ячейками трансляции).

Примеры группы п4г

Группа п3 (333)

Пример и диаграмма для п3
Структура ячейки для п3
  • Подпись Орбифолд: 333
  • Обозначение Кокстера: [(3,3,3)]+ или [3[3]]+
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа точек: C3
  • Группа п3 имеет три разных центра вращения третьего порядка (120 °), но не имеет отражений или отражений скольжения.

Представьте себе мозаика плоскости с равносторонними треугольниками равного размера, стороны которых соответствуют наименьшим переносам. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина - вверх ногами. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют симметрию вращения третьего порядка, но они не равны, не являются зеркальным отображением друг друга, и не оба симметричны (если они равны у нас есть п6, если они являются зеркальным отображением друг друга, мы имеем п31м, если они оба симметричны, имеем п3м1; если два из трех применимы, то и третий, и мы имеем п6м). Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с центрами вращения в качестве вершин, то есть для любой мозаики возможны два сдвига. Что касается изображения: вершины могут быть красными, синими или зелеными треугольниками.

Точно так же представьте мозаику плоскости с правильными шестиугольниками со сторонами, равными наименьшему расстоянию перемещения, деленному на √3. Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и имеют одинаковую ориентацию) и имеют симметрию вращения третьего порядка, в то время как они не имеют симметрии зеркального изображения (если они имеют симметрию вращения шестого порядка, мы имеем п6, если они симметричны относительно главных диагоналей, имеем п31м, если они симметричны относительно прямых, перпендикулярных сторонам, имеем п3м1; если два из трех применимы, то и третий, и мы имеем п6м). Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая из которых имеет одну треть центров вращения как центры шестиугольников. Что касается изображения: центрами шестиугольников могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Примеры группы п3

Группа п3м1 (*333)

Пример и диаграмма для п3м1
Структура ячейки для п3м1
  • Подпись Орбифолд: *333
  • Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] или [3[3]]
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа точек: D3
  • Группа п3м1 имеет три разных центра вращения третьего порядка (120 °). У него есть отражения в трех сторонах равностороннего треугольника. Центр каждого вращения лежит на оси отражения. Есть дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены на полпути между соседними параллельными осями отражения.

Как для п3, представьте мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина - вверх ногами. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют симметрию вращения третьего порядка, и оба симметричны, но не равны, и не являются зеркальным отображением друг друга. Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с центрами вращения в качестве вершин. Что касается изображения: вершины могут быть красными, синими или зелеными треугольниками.

Примеры группы п3м1

Группа п31м (3*3)

Пример и диаграмма для п31м
Структура ячейки для п31м
  • Подпись Орбифолд: 3*3
  • Обозначение Кокстера: [6,3+]
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа точек: D3
  • Группа п31м имеет три разных центра вращения третьего порядка (120 °), два из которых являются зеркальным отображением друг друга. Он имеет отражения в трех разных направлениях. У него есть хотя бы одно вращение, центр которого не лежат на оси отражения. Есть дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены на полпути между соседними параллельными осями отражения.

Как для п3 и п3м1, представьте мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина - вверх ногами. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют симметрию вращения третьего порядка и являются зеркальным отображением друг друга, но сами не симметричны и не равны. Для данного изображения возможна только одна такая мозаика. Что касается изображения: вершины могут не быть синими треугольниками.

Примеры группы п31м

Группа п6 (632)

Пример и диаграмма для п6
Структура ячейки для п6
  • Подпись Орбифолд: 632
  • Обозначение Кокстера: [6,3]+
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа точек: C6
  • Группа п6 имеет один центр вращения шестого порядка (60 °); два центра вращения третьего порядка (120 °), которые являются изображениями друг друга при повороте на 60 °; и три центра вращения второго порядка (180 °), которые также являются изображениями друг друга при повороте на 60 °. У него нет отражений или скользящих отражений.

Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаика плоскости равными треугольными плитками с C3 симметрия, или, что то же самое, мозаика плоскости с равными шестиугольными плитками с C6 симметрия (края плитки не обязательно являются частью узора).

Примеры группы п6

Группа п6м (*632)

Пример и диаграмма для п6м
Структура ячейки для п6м
  • Подпись Орбифолд: *632
  • Обозначение Кокстера: [6,3]
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа точек: D6
  • Группа п6м имеет один центр вращения шестого порядка (60 °); он имеет два центра вращения третьего порядка, которые отличаются только поворотом на 60 ° (или, что то же самое, 180 °), и три центра вращения второго порядка, которые отличаются только поворотом на 60 °. Он также имеет отражения в шести различных направлениях. Есть дополнительные скользящие отражения в шести различных направлениях, оси которых расположены на полпути между соседними параллельными осями отражения.

Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаика плоскости равными треугольными плитками с D3 симметрия, или, что то же самое, мозаика плоскости с равными шестиугольными плитками с D6 симметрия (края плитки не обязательно являются частью узора). Таким образом, простейшие примеры - это треугольная решетка с соединительными линиями или без них, а шестиугольная черепица with one color for outlining the hexagons and one for the background.

Examples of group п6м

Lattice types

Есть пять решетка types or Bravais lattices, corresponding to the five possible wallpaper groups of the lattice itself. The wallpaper group of a pattern with this lattice of translational symmetry cannot have more, but may have less symmetry than the lattice itself.

  • In the 5 cases of rotational symmetry of order 3 or 6, the unit cell consists of two equilateral triangles (hexagonal lattice, itself п6м). They form a rhombus with angles 60° and 120°.
  • In the 3 cases of rotational symmetry of order 4, the cell is a square (square lattice, itself п4м).
  • In the 5 cases of reflection or glide reflection, but not both, the cell is a rectangle (rectangular lattice, itself pmm). It may also be interpreted as a centered rhombic lattice. Special cases: square.
  • In the 2 cases of reflection combined with glide reflection, the cell is a rhombus (rhombic lattice, itself cmm). It may also be interpreted as a centered rectangular lattice. Special cases: square, hexagonal unit cell.
  • In the case of only rotational symmetry of order 2, and the case of no other symmetry than translational, the cell is in general a parallelogram (parallelogrammatic or oblique lattice, itself п2). Special cases: rectangle, square, rhombus, hexagonal unit cell.

Symmetry groups

The actual symmetry group should be distinguished from the wallpaper group. Wallpaper groups are collections of symmetry groups. There are 17 of these collections, but for each collection there are infinitely many symmetry groups, in the sense of actual groups of isometries. These depend, apart from the wallpaper group, on a number of parameters for the translation vectors, the orientation and position of the reflection axes and rotation centers.

The numbers of degrees of freedom находятся:

  • 6 for п2
  • 5 for pmm, pmg, pgg, и cmm
  • 4 for the rest.

However, within each wallpaper group, all symmetry groups are algebraically isomorphic.

Some symmetry group isomorphisms:

  • п1: Z2
  • pm: Z × D∞
  • pmm: D∞ × D∞.

Dependence of wallpaper groups on transformations

  • The wallpaper group of a pattern is invariant under isometries and uniform масштабирование (similarity transformations ).
  • Translational symmetry is preserved under arbitrary bijective affine transformations.
  • Rotational symmetry of order two ditto; this means also that 4- and 6-fold rotation centres at least keep 2-fold rotational symmetry.
  • Reflection in a line and glide reflection are preserved on expansion/contraction along, or perpendicular to, the axis of reflection and glide reflection. It changes п6м, п4г, и п3м1 в cmm, п3м1 в см, и п4м, depending on direction of expansion/contraction, into pmm или cmm. A pattern of symmetrically staggered rows of points is special in that it can convert by expansion/contraction from п6м к п4м.

Note that when a transformation decreases symmetry, a transformation of the same kind (the inverse) obviously for some patterns increases the symmetry. Such a special property of a pattern (e.g. expansion in one direction produces a pattern with 4-fold symmetry) is not counted as a form of extra symmetry.

Change of colors does not affect the wallpaper group if any two points that have the same color before the change, also have the same color after the change, and any two points that have different colors before the change, also have different colors after the change.

If the former applies, but not the latter, such as when converting a color image to one in black and white, then symmetries are preserved, but they may increase, so that the wallpaper group can change.

Web demo and software

Several software graphic tools will let you create 2D patterns using wallpaper symmetry groups. Usually you can edit the original tile and its copies in the entire pattern are updated automatically.

  • MadPattern, a free set of Adobe Illustrator templates that support the 17 wallpaper groups
  • Тесс, а shareware tessellation program for multiple platforms, supports all wallpaper, frieze, and rosette groups, as well as Heesch tilings.
  • Кали, online graphical symmetry editor Java applet (not supported by default in browsers).
  • Кали, free downloadable Kali for Windows and Mac Classic.
  • Inkscape, а свободный vector graphics editor, supports all 17 groups plus arbitrary scales, shifts, rotates, and color changes per row or per column, optionally randomized to a given degree. (Видеть [1] )
  • SymmetryWorks is a commercial plugin for Adobe Illustrator, supports all 17 groups.
  • Wallpaper Symmetry is a free online Javascript drawing tool supporting the 17 groups. В main page has an explanation of the wallpaper groups, as well as drawing tools and explanations for the other planar symmetry groups также.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ E. Fedorov (1891) "Симметрія на плоскости" (Simmetrija na ploskosti, Symmetry in the plane), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), series 2, 28 : 345–390 (in Russian).
  2. ^ Pólya, George (November 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [On the analog of crystal symmetry in the plane]. Zeitschrift für Kristallographie (на немецком). 60 (1–6): 278–282. Дои:10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID  102174323.
  3. ^ Radaelli, Paulo G. Symmetry in Crystallography. Издательство Оксфордского университета.
  4. ^ It helps to consider the squares as the background, then we see a simple patterns of rows of rhombuses.

Рекомендации

  • The Grammar of Ornament (1856), by Owen Jones. Many of the images in this article are from this book; it contains many more.
  • John H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
  • John H. Conway, Heidi Burgiel and Chaim Goodman-Strauss (2008): The Symmetries of Things. Worcester MA: A.K. Peters. ISBN  1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum and G. C. Shephard (1987): Tilings and Patterns. New York: Freeman. ISBN  0-7167-1193-1.
  • Pattern Design, Lewis F. Day

внешняя ссылка