Масштабирование (геометрия) - Scaling (geometry)

Каждая итерация Треугольник Серпинского содержит треугольники, относящиеся к следующей итерации с коэффициентом масштабирования 1/2

В Евклидова геометрия, равномерное масштабирование (или изотропный масштабирование^[1]) это линейное преобразование который увеличивает (увеличивает) или сжимает (уменьшает) объекты на масштаб то же самое во всех направлениях. Результатом равномерного масштабирования является аналогичный (в геометрическом смысле) к оригиналу. Обычно допускается масштабный коэффициент 1, так что конгруэнтный формы также считаются подобными. Равномерное масштабирование происходит, например, при увеличении или уменьшении фотография, или при создании масштабная модель здания, автомобиля, самолета и т. д.

Более общий масштабирование с отдельным масштабным коэффициентом для каждого направления оси. Неравномерное масштабирование (анизотропный масштабирование) получается, когда хотя бы один из масштабных коэффициентов отличается от других; особый случай направленное масштабирование или растяжение (в одну сторону). Неравномерное масштабирование изменяет форма объекта; например квадрат может превратиться в прямоугольник или параллелограмм, если стороны квадрата не параллельны осям масштабирования (углы между линиями, параллельными осям, сохраняются, но не все углы). Это происходит, например, когда далекий рекламный щит рассматривается с наклонный угол или когда тень плоского объекта падает на не параллельную ему поверхность.

Когда коэффициент масштабирования больше 1, масштабирование (равномерное или неоднородное) иногда также называют расширение или увеличение. Когда коэффициент масштабирования является положительным числом меньше 1, масштабирование иногда также называют сокращение.

В самом общем смысле масштабирование включает в себя случай, когда направления масштабирования не перпендикулярны. Сюда также входит случай, когда один или несколько масштабных коэффициентов равны нулю (проекция ), а также случай одного или нескольких отрицательных масштабных коэффициентов (направленное масштабирование на -1 эквивалентно отражение ).

Масштабирование - это линейное преобразование, и частный случай гомотетическая трансформация. В большинстве случаев гомотетические преобразования являются нелинейными.

Матричное представление

Масштабирование может быть представлено масштабированием матрица. Чтобы масштабировать объект по вектор v = (v_Икс, v_у, v_z), каждая точка п = (п_Икс, п_у, п_z) необходимо будет умножить на эту матрицу масштабирования:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.}$

Такое масштабирование меняет диаметр объекта на коэффициент между масштабными коэффициентами, площадь на коэффициент между наименьшим и наибольшим произведением двух масштабных коэффициентов, а объем произведением всех трех.

Масштабирование равномерное если и только если коэффициенты масштабирования равны (v_Икс = v_у = v_z). Если все масштабные коэффициенты, кроме одного, равны 1, мы имеем масштабирование по направлению.

В случае, когда v_Икс = v_у = v_z = kмасштабирование увеличивает площадь любой поверхности в раз k² и объем любого твердого объекта в раз k³.

Масштабирование в произвольных размерах

В ${\displaystyle n}$-мерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, равномерное масштабирование в раз ${\displaystyle v}$ достигается скалярное умножение с участием ${\displaystyle v}$, то есть умножение каждой координаты каждой точки на ${\displaystyle v}$. Как частный случай линейного преобразования, это может быть достигнуто также путем умножения каждой точки (рассматриваемой как вектор-столбец) на диагональная матрица все элементы которого на диагонали равны ${\displaystyle v}$, а именно ${\displaystyle vI}$ .

Неравномерное масштабирование достигается умножением на любые симметричная матрица. В собственные значения матрицы - масштабные коэффициенты, а соответствующие собственные векторы - оси, по которым применяется каждый масштабный коэффициент. Частный случай - диагональная матрица с произвольными числами ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$ по диагонали: тогда оси масштабирования являются осями координат, а масштаб преобразования - вдоль каждой оси. ${\displaystyle i}$ по фактору ${\displaystyle v_{i}}$.

При равномерном масштабировании с ненулевым масштабным коэффициентом все ненулевые векторы сохраняют свое направление (как видно из начала координат) или все имеют направление на противоположное, в зависимости от знака масштабного коэффициента. При неравномерном масштабировании только векторы, принадлежащие собственное подпространство сохранят свое направление. Вектор, который является суммой двух или более ненулевых векторов, принадлежащих разным собственным подпространствам, будет наклонен к собственному подпространству с наибольшим собственным значением.

Использование однородных координат

В проективная геометрия, часто используется в компьютерная графика, точки представлены с использованием однородные координаты. Чтобы масштабировать объект по вектор v = (v_Икс, v_у, v_z) каждый однородный координатный вектор п = (п_Икс, п_у, п_z, 1) необходимо умножить на это проективное преобразование матрица:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Поскольку последний компонент однородной координаты можно рассматривать как знаменатель трех других компонентов, равномерное масштабирование с помощью общего множителя s (равномерное масштабирование) может быть выполнено с помощью этой матрицы масштабирования:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Для каждого вектора п = (п_Икс, п_у, п_z, 1) мы бы имели

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

что было бы эквивалентно

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Расширение и сокращение функции

Учитывая точку ${\displaystyle P(x,y)}$дилатация связывает его с точкой ${\displaystyle P'(x',y')}$ через уравнения${\displaystyle {\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}}$ для ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$.

Следовательно, учитывая функцию ${\displaystyle y=f(x)}$, уравнение растянутой функции имеет вид

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Частные случаи

Если ${\displaystyle n=1}$, преобразование горизонтальное; когда ${\displaystyle m>1}$, это расширение, когда ${\displaystyle m<1}$, это сокращение.

Если ${\displaystyle m=1}$, преобразование вертикальное; когда ${\displaystyle n>1}$ это расширение, когда ${\displaystyle n<1}$, это сокращение.

Если ${\displaystyle m=1/n}$ или ${\displaystyle n=1/m}$, преобразование есть сжатие.

Смотрите также

• Расширение (метрическое пространство)
• Однородная функция
• Гомотетическая трансформация
• Масштаб (соотношение)
• Масштаб (карта)
• Весы макетов
• Масштаб (значения)
• Масштабирование под действием силы тяжести
• Сжать карту
• Матрица трансформации

Сноски

1. Дюран; Катлер. «Преобразования» (Силовая установка). Массачусетский Институт Технологий. Получено 12 сентября 2008.

внешние ссылки

• Понимание 2D-масштабирования и Понимание 3D-масштабирования Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram.