Квадратная черепица Order-6 - Order-6 square tiling - Wikipedia

Квадратная черепица Order-6
Модель диска Пуанкаре из гиперболическая плоскость
Тип	Гиперболический правильный тайлинг
Конфигурация вершины	4^6
Символ Шлефли	{4,6}
Символ Wythoff	6 | 4 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[6,4], (*642)
Двойной	Шестиугольная черепица Order-4
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, лицо переходный

В геометрия, то квадратная черепица порядка 6 это обычный облицовка гиперболическая плоскость. Она имеет Символ Шлефли из {4,6}.

Симметрия

Этот тайлинг представляет собой гиперболический калейдоскоп из 4-х зеркал, встречающихся как стороны квадрата, с шестью квадратами вокруг каждой вершины. Эта симметрия орбифолдная запись называется (* 3333) с 4-мя зеркальными пересечениями порядка 3. В Обозначение Кокстера можно представить в виде [6,4^*], удалив два из трех зеркал (проходящих через центр квадрата) в [6,4] симметрия. Симметрию * 3333 можно удвоить до 663 симметрия добавив зеркало, разделяющее фундаментальную область пополам.

Эта двухцветная квадратная мозаика показывает четные / нечетные отражающие фундаментальные квадратные области этой симметрии. У этой двухцветной плитки есть Wythoff Construction т₁{(4,4,3)}. Вторая 6-цветная симметрия может быть построена из области гексагональной симметрии.

[4,6,1^+] = [(4,4,3)] или (* 443) симметрия =	[4,6^*] = (* 222222) симметрия =

Пример произведения искусства

Около 1956 г. M.C. Эшер исследовал концепцию представления бесконечности на двумерной плоскости. Обсуждения с канадским математиком H.S.M. Coxeter вдохновил Эшера на интерес к гиперболическим мозаикам, которые представляют собой правильные мозаики гиперболической плоскости. Гравюры Эшера Circle Limit I – IV демонстрируют эту концепцию. Последний Предел круга IV (рай и ад), (1960) плитки повторяющиеся ангелы и дьяволы симметрией (* 3333) на гиперболической плоскости в Диск Пуанкаре проекция.

На иллюстрации, показанной ниже, добавлено приблизительное гиперболическое зеркальное наложение, чтобы показать области квадратной симметрии квадратной мозаики порядка 6. Если вы присмотритесь, вы увидите, что один из четырех ангелов и дьяволов вокруг каждого квадрата нарисован обратной стороной. Без этого варианта у искусства было бы 4-кратное точка вращения в центре каждого квадрата, давая (4 * 3), [6,4⁺] симметрия.^[1]

Связанные многогранники и мозаика

Эта мозаика топологически связана как часть последовательности правильных многогранников и мозаик с вершинной фигурой (4^п).

*п42 мутации симметрии правильных мозаик: {4,п} v т е
Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Этот тайлинг топологически связан как часть последовательности регулярных мозаик с вершинами порядка 6 с Символ Шлефли {n, 6} и Диаграмма Кокстера , прогрессирующая до бесконечности.

Правильные мозаики {п,6} v т е
Сферический	Евклидово	Гиперболические мозаики
{2,6}	{3,6}	{4,6}	{5,6}	{6,6}	{7,6}	{8,6}	...	{∞,6}

Равномерные тетрагексагональные мозаики v т е
Симметрия: [6,4], (*642 ) (с подсимметрией [6,6] (* 662), [(4,3,3)] (* 443), [∞, 3, ∞] (* 3222) индекса 2) (И [(∞, 3, ∞, 3)] (* 3232) подсимметрия индекса 4)
= = =	=	= = =	=	= = =	=
{6,4}	т {6,4}	г {6,4}	т {4,6}	{4,6}	rr {6,4}	tr {6,4}
Униформа двойников
V6^4	V4.12.12	V (4,6)^2	V6.8.8	V4^6	V4.4.4.6	V4.8.12
Чередования
[1^+,6,4] (*443)	[6^+,4] (6*2)	[6,1^+,4] (*3222)	[6,4^+] (4*3)	[6,4,1^+] (*662)	[(6,4,2^+)] (2*32)	[6,4]^+ (642)
=	=	=	=	=	=
ч {6,4}	с {6,4}	ч. {6,4}	с {4,6}	ч {4,6}	чрр {6,4}	sr {6,4}

Равномерные (4,4,3) мозаики v т е
Симметрия: [(4,4,3)] (*443)							[(4,4,3)]^+ (443)	[(4,4,3^+)] (3*22)	[(4,1^+,4,3)] (*3232)
ч {6,4} т0(4,4,3)	час2{6,4} т0,1(4,4,3)	{4,6}^1/2 т1(4,4,3)	час2{6,4} т1,2(4,4,3)	ч {6,4} т2(4,4,3)	г {6,4}^1/2 т0,2(4,4,3)	т {4,6}^1/2 т0,1,2(4,4,3)	с {4,6}^1/2 с (4,4,3)	ч. {4,6}^1/2 час (4,3,4)	ч {4,6}^1/2 ч (4,3,4)	q {4,6} час1(4,3,4)
Униформа двойников
V (3,4)^4	V3.8.4.8	V (4,4)^3	V3.8.4.8	V (3,4)^4	V4.6.4.6	V6.8.8	V3.3.3.4.3.4	V (4.4.3)^2	V6^6	V4.3.4.6.6

Равномерные мозаики в симметрии * 3222 v т е
6^4	6.6.4.4	(3.4.4)^2	4.3.4.3.3.3
6.6.4.4	6.4.4.4	3.4.4.4.4
(3.4.4)^2	3.4.4.4.4	4^6

Смотрите также

• Квадратная плитка
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Список правильных многогранников

Рекомендации

1. Конвей, Симметрия вещей (2008), стр. 224, рис. 17.4, Предел круга IV В архиве 2012-07-17 в Wayback Machine

• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
• «Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе. Dover Publications. 1999 г. ISBN  0-486-40919-8. LCCN  99035678.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая мозаика». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре». MathWorld.
• Галерея гиперболических и сферических плиток
• KaleidoTile 3: обучающая программа для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч
• GenusView 0.4 превью Вид {4,6} гиперболической мозаики и соответствующей трехмерной поверхности тора.