Трехгранная черепица - Trihexagonal tiling

Трехгранная черепица
Тип	Полурегулярная черепица
Конфигурация вершины	(3.6)^2
Символ Шлефли	г {6,3} или ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$ час2{6,3}
Символ Wythoff	2 | 6 3 3 3 | 3
Диаграмма Кокстера	=
Симметрия	p6m, [6,3], (*632)
Симметрия вращения	p6, [6,3]^+, (632) p3, [3^[3]]^+, (333)
Акроним Bowers	Который
Двойной	Ромбильная плитка
Характеристики	Вершинно-транзитивный Edge-транзитивный

В геометрия, то трехгексагональная черепица один из 11 однородные мозаики из Евклидова плоскость правильными многоугольниками.^[1] Это состоит из равносторонние треугольники и правильные шестиугольники, расположенные так, что каждый шестиугольник окружен треугольниками и наоборот. Название происходит от того факта, что он сочетает в себе обычный шестиугольная черепица и регулярный треугольная черепица. Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждого вершина, а его края образуют бесконечную расположение линий. Его двойной это ромбовидная плитка.^[2]

Этот паттерн и его место в классификации однородных мозаик было уже известно Иоганн Кеплер в его книге 1619 года Harmonices Mundi.^[3] Узор давно используется в японском плетеные изделия, где это называется кагоме. Японский термин для обозначения этого паттерна был использован в физике, где он называется Решетка Кагоме. Он также встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей называет это гексаделтилла, объединяя альтернативные элементы из шестиугольная черепица (гексилль) и треугольная черепица (дельтиль).^[4]

Кагоме

Японская корзина с узором кагомэ

Кагоме (Японский: 籠 目) - это традиционный японский тканый бамбуковый узор; его название составлено из слов каго, что означает «корзина», и мне, что означает «глаз (а)», относящийся к узору отверстий в плетеной корзине.

подробный узор кагоме

Это сотканный расположение из планки состоит из переплетенных треугольников, так что каждая точка пересечения двух планок имеет четыре соседних точки, образующих узор трехгексагональной мозаики. В сотканный процесс придает Кагоме хиральный группа обоев симметрия p6, (632).

Решетка Кагоме

Период, термин решетка кагоме был придуман японским физиком Коди Хусими и впервые появился в газете 1951 года его помощником Ичиро Сёдзи.^[5]Решетка кагоме в этом смысле состоит из вершин и ребер трехгексагональной мозаики, которые, несмотря на название, не образуют математическая решетка.

Связанная трехмерная структура, образованная вершинами и ребрами четверть кубических сот, заполняя пространство обычным тетраэдры и усеченные тетраэдры, был назван решетка гипер-кагоме.^[6] Он представлен вершинами и ребрами четверть кубических сот, заполняя пространство обычным тетраэдры и усеченные тетраэдры. Он содержит четыре набора параллельных плоскостей точек и линий, каждая из которых представляет собой двумерную решетку кагоме. Второе трехмерное выражение имеет параллельные слои двухмерных решеток и называется орторомбическая решетка кагоме.^[6] В трехгексагональные призматические соты представляет его ребра и вершины.

Немного минералы, а именно яроситы и гербертсмитит, содержат двумерные слои или трехмерную решетку кагоме. атомы в их Кристальная структура. Эти минералы обладают новыми физическими свойствами, связанными с геометрически нарушенный магнетизм. Например, спиновое расположение магнитных ионов в Co₃V₂О₈ покоится в решетке кагоме, которая проявляет удивительные магнитные свойства при низких температурах.^[7] Было обнаружено, что квантовые магниты, реализованные на решетках Кагоме, демонстрируют множество неожиданных электронных и магнитных явлений.^{[8][9][10][11]}

В настоящее время этот термин широко используется в научной литературе, особенно теоретиками, изучающими магнитные свойства теоретической решетки кагоме.

Смотрите также: Герб Кагоме.

Симметрия

30-60-90 треугольник фундаментальные области симметрии p6m (* 632)

Трехгексагональная мозаика имеет Символ Шлефли из r {6,3}, или Диаграмма Кокстера, , символизирующий тот факт, что это исправленный шестиугольная черепица, {6,3}. Его симметрии можно описать группа обоев p6мм, (* 632),^[12] и мозаика может быть получена как Строительство Wythoff в рефлексивном фундаментальные области из эта группа. Трехгексагональная мозаика - это квазирегулярная мозаика, чередуя два типа многоугольников, с конфигурация вершины (3.6)². Это также равномерная черепица, одно из восьми, полученных от правильной шестиугольной мозаики.

Равномерная окраска

Есть два разных равномерные раскраски трехгексагональной мозаики. Назовите цвета индексами на 4 гранях вокруг вершины (3.6.3.6): 1212, 1232.^[1] Второй называется кантик шестиугольная черепица, ч₂{6,3}, с двумя цветами треугольников, существующих в p3m1 (* 333) симметрия.

Симметрия	p6m, (* 632)	p3m, (* 333)
Окраска
фундаментальный домен
Wythoff	2 | 6 3	3 3 | 3
Coxeter		=
Schläfli	г {6,3}	г {3^[3]} = h2{6,3}

Упаковка круга

Трехгексагональную плитку можно использовать как упаковка круга, поместив круги равного диаметра в центре каждой точки.^[13] Каждый круг соприкасается с 4 другими кругами в упаковке (номер поцелуя ).

Топологически эквивалентные мозаики

В трехгексагональная черепица геометрически искажаются на топологически эквивалентные мозаики более низкой симметрии.^[1] В этих вариантах облицовки края не обязательно совпадают, образуя прямые линии.

p3m1, (* 333)			п3, (333)	п31м, (3 * 3)		см, (2 * 22)

Связанные квазирегулярные мозаики

В трехгексагональная черепица существует в последовательности симметрий квазирегулярных мозаик с конфигурации вершин (3.п)², переходя от мозаики сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. С орбифолдная запись симметрия *п32 все эти мозаики Wythoff Construction в пределах фундаментальная область симметрии, с образующими точками в правом углу области.^[14][15]

*п32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.п)^2
Строительство	Сферический			Евклидово	Гиперболический
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Квазирегулярный цифры
Вершина	(3.3)^2	(3.4)^2	(3.5)^2	(3.6)^2	(3.7)^2	(3.8)^2	(3.∞)^2

Связанные регулярные сложные апейрогоны

Есть 2 регулярные сложные апейрогоны, разделяющие вершины трехгексагонального тайлинга. Регулярные сложные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Обычные апейрогоны п{q}р ограничены: 1 /п + 2/q + 1/р = 1. Ребра имеют п вершины расположены как правильный многоугольник, и фигуры вершин находятся р-гональный.^[16]

Первый состоит из треугольных ребер, по два вокруг каждой вершины, второй - из шестиугольных ребер, по два вокруг каждой вершины.

3 {12} 2 или	6 {6} 2 или

Смотрите также

• Порог перколяции
• Герб Кагоме
• Звезда Давида
• Трехгексагональные призматические соты
• Циклоусеченные простые соты
• Список однородных мозаик

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1987). Плитки и узоры. В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-1193-3. См., В частности, теорему 2.1.3, с. 59 (классификация однородных мозаик); Рисунок 2.1.5, стр.63 (иллюстрация этого тайлинга), теорема 2.9.1, стр. 103 (классификация раскрашенных мозаик), рисунок 2.9.2, с. 105 (иллюстрация цветных плиток), Рисунок 2.5.3 (d), стр. 83 (топологически эквивалентный звездный мозаик) и упражнение 4.1.3, с. 171 (топологическая эквивалентность трехгексагональной и двутреугольной мозаики).
2. Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. стр. 38. ISBN  0-486-23729-X.
3. Aiton, E.J .; Дункан, Алистер Мэтисон; Филд, Джудит Вероника, ред. (1997), Гармония мира Иоганна Кеплера, Мемуары Американского философского общества, 209, Американское философское общество, стр. 104–105, ISBN  9780871692092.
4. Конвей, Джон Х.; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик; евклидовы плоские мозаики». Симметрии вещей. Уэлсли, Массачусетс: А. К. Петерс, Лтд., Стр. 288. ISBN  978-1-56881-220-5. МИСТЕР  2410150.
5. Меката, Мамору (февраль 2003 г.). "Кагоме: история плетеной решетки". Физика сегодня. 56 (2): 12–13. Bibcode:2003ФТ .... 56б..12М. Дои:10.1063/1.1564329.
6. Лоулер, Майкл Дж .; Ки, Хэ Ён; Ким, Ён Бэк; Вишванат, Ашвин (2008). «Топологическая спиновая жидкость на решетке гиперкагоме Na₄Ir₃О₈". Письма с физическими проверками. 100 (22): 227201. arXiv:0705.0990. Bibcode:2008PhRvL.100v7201L. Дои:10.1103 / Physrevlett.100.227201. PMID  18643453. S2CID  31984687.
7. Йен, Ф., Чаудхури, Р. П., Галстян, Э., Лоренц, Б., Ван, Ю. К., Сан, Ю. Ю., Чу, К. В. (2008). "Магнитные фазовые диаграммы компаунда лестницы Кагоме Co₃V₂О₈". Physica B: конденсированное вещество. 403 (5–9): 1487–1489. arXiv:0710.1009. Bibcode:2008PhyB..403.1487Y. Дои:10.1016 / j.physb.2007.10.334. S2CID  14958188.
8. «Квантовый магнит с топологической изюминкой». Открытие: исследования в Принстоне. 2019-02-22. Получено 2020-04-26.
9. Инь, Цзя-Синь; Zhang, Songtian S .; Ли, Ханг; Цзян, Кун; Чанг, Гоцин; Чжан, Бинцзин; Лянь, Бяо; Сян, Ченг; Белопольского (2018). "Гигантская и анизотропная многочастичная спин-орбитальная перестройка в сильно коррелированном магните кагоме". Природа. 562 (7725): 91–95. arXiv:1810.00218. Bibcode:2018Натура 562 ... 91л. Дои:10.1038 / s41586-018-0502-7. PMID  30209398. S2CID  205570556.
10. Инь, Цзя-Синь; Zhang, Songtian S .; Чанг, Гоцин; Ван, Ци; Циркин, Степан С .; Гугучия, Зураб; Лянь, Бяо; Чжоу, Хуйбинь; Цзян, Кун; Белопольский, Илья; Шумия, Нана (2019). "Отрицательный плоский магнетизм в спин-орбитальном коррелированном магните кагоме". Природа Физика. 15 (5): 443–8. arXiv:1901.04822. Bibcode:2019НатФ..15..443л. Дои:10.1038 / s41567-019-0426-7. S2CID  119363372.
11. Язьев, Олег В. (2019). "Перевернутый магнит". Природа Физика. 15 (5): 424–5. Bibcode:2019НатФ..15..424л. Дои:10.1038 / s41567-019-0451-6. S2CID  128299874.
12. Steurer, Уолтер; Делуди, София (2009). Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры.. Серия Спрингера по материаловедению. 126. Springer. п. 20. ISBN  9783642018992.
13. Кричлоу, Кейт (2000) [1969]. "узор G". Заказ в космосе: справочник по дизайну. Темза и Гудзон. С. 74–75. ISBN  9780500340332.
14. Кокстер, H.S.M. (1973). «V. Калейдоскоп, конструкция §5.7 Витхоффа». Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN  0-486-61480-8.
15. Хьюсон, Дэниел Х. "Двумерные мутации симметрии". CiteSeerX  10.1.1.30.8536.
16. Кокстер, H.S.M. (1991). Регулярные сложные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 111–2, 136. ISBN  9780521394901.

дальнейшее чтение

• Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в мозаику. С. 50–56. ISBN  978-0866514613.