Вертушка плитки - Pinwheel tiling

В геометрия, вертушка находятся непериодические мозаики определяется Чарльз Радин и на основе конструкции за счет Джон Конвей Это первые известные непериодические мозаики, каждая из которых обладает тем свойством, что их плитки появляются в бесконечном количестве ориентаций.

Тесселяция Конвея

Разложение треугольника Конвея на гомотетические меньшие треугольники.

Позволять ${displaystyle T}$ быть прямоугольным треугольником со стороной ${displaystyle 1}$ , ${displaystyle 2}$ и ${displaystyle {sqrt {5}}}$ .Конвей заметил, что ${displaystyle T}$ можно разделить на пять изометрических копий своего изображения путем увеличения коэффициента ${displaystyle 1 / {sqrt {5}}}$ .

Возрастающая последовательность треугольников, определяющая мозаику Конвея на плоскости.

Соответствующим образом изменяя масштаб и перемещая / поворачивая эту операцию, можно повторить эту операцию для получения бесконечной возрастающей последовательности растущих треугольников, состоящих из изометрических копий ${displaystyle T}$ Объединение всех этих треугольников дает мозаику всей плоскости изометрическими копиями ${displaystyle T}$ .

В этой плитке изометрические копии ${displaystyle T}$ появляются в бесконечном множестве ориентаций (это связано с углами ${displaystyle arctan (1/2)}$ и ${displaystyle arctan (2)}$ из ${displaystyle T}$ , оба несоизмеримые с ${displaystyle pi}$ Несмотря на это, все вершины имеют рациональные координаты.

Вертушка

Плитка с вертушкой: плитки можно сгруппировать в наборы по пять (толстые линии), чтобы сформировать новую плитку с вертушкой (вплоть до изменения масштаба)

Радин полагался на приведенную выше конструкцию Конвея, чтобы определить мозаики в виде вертушки. Формально мозаики в виде вертушки - это мозаики, плитки которых являются изометрическими копиями ${displaystyle T}$ , в котором плитка может пересекать другую плитку только на всей стороне или на половине длины ${displaystyle 2}$ стороны, и такое, что выполняется следующее свойство. ${displaystyle P}$ , есть вертушка ${displaystyle P '}$ который, как только каждая плитка делится на пять в соответствии с конструкцией Конвея, результат увеличивается в несколько раз ${displaystyle {sqrt {5}}}$ , равно ${displaystyle P}$ Другими словами, плитки любых вертушек могут быть сгруппированы по пять штук в гомотетические плитки, так что эти гомотетические плитки образуют (с точностью до масштабирования) новую плитку с вертушками.

Плитка, построенная Конвеем, представляет собой плитку с вертушками, но существует бесчисленное множество других различных плиток с вертушками. локально неотличимый (т.е., у них одинаковые конечные участки). Все они разделяют с тайлингом Конвея свойство, состоящее в том, что плитки появляются в бесконечном количестве ориентаций (а вершины имеют рациональные координаты).

Главный результат, доказанный Радином, состоит в том, что существует конечный (хотя и очень большой) набор так называемых прототипов, каждый из которых получается раскрашиванием сторон ${displaystyle T}$ , так что мозаики вертушки - это в точности мозаики плоскости изометрическими копиями этих прототипов, с условием, что всякий раз, когда две копии пересекаются в точке, они имеют одинаковый цвет в этой точке.^[1]С точки зрения символическая динамика, это означает, что вертушки образуют мягкая подмена.

Обобщения

Радин и Конвей предложили трехмерный аналог, который получил название квакваверсальная мозаика.^[2] Есть и другие варианты и обобщения исходной идеи.^[3]

Вертушка фрактал

Фрактал получается путем итеративного деления ${displaystyle T}$ в пяти изометрических копиях, следуя конструкции Конвея и отбрасывая средний треугольник (до бесконечности). Этот "фрактал вертушки" имеет Хаусдорфово измерение ${displaystyle d = {frac {ln 4} {ln {sqrt {5}}}} примерно 1,7227}$ .

Использование в архитектуре

Фасад из песчаника на площади Федерации

Площадь Федерации, строительный комплекс в Мельбурне, Австралия, украшен плиткой с вертушками. В этом проекте узор плитки используется для создания структурного каркаса фасадов, что позволяет изготавливать фасады за пределами объекта, на заводе, а затем возводить их для формирования фасадов. Система облицовки вертушками была основана на единственном треугольном элементе, состоящем из цинка, перфорированного цинка, песчаника или стекла (известном как плитка), который был соединен с 4 другими аналогичными плитками на алюминиевой раме, чтобы сформировать «панель». Пять панелей были прикреплены к каркасу из оцинкованной стали, образуя «мегапанель», которые затем были подняты на опорные рамы для фасада. Поворотное расположение плиток придает фасадам более случайное и неопределенное композиционное качество, хотя процесс его строительства основан на предварительном изготовлении и повторении. Та же самая вертушечная мозаичная система используется при разработке структурного каркаса и остекления для «Атриума» на площади Федерации, хотя в этом случае решетка-колесо была сделана «трехмерной», чтобы сформировать структуру портальной рамы.

внешняя ссылка

Вертушка в энциклопедии Tilings
Динамическая вертушка сделано в GeoGebra

[1] Радин, К. (май 1994 г.). "Вертушка плоскости". Анналы математики. 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723. Дои:10.2307/2118575. JSTOR 2118575.

[2] Радин, К., Конвей, Дж., Квакваверсальные мозаики и вращения, препринт, Princeton University Press, 1995

[3] Садун, Л. (январь 1998 г.). «Некоторые обобщения мозаики вертушки». Дискретная и вычислительная геометрия. 20 (1): 79–110. arXiv:математика / 9712263. CiteSeerX 10.1.1.241.1917. Дои:10.1007 / pl00009379.

[1]

[2]

[3]