Предел круга III - Circle Limit III - Wikipedia

Предел круга III, 1959

Предел круга III это гравюра на дереве сделано в 1959 году голландским художником М. К. Эшер, в котором «струны рыб взлетают, как ракеты, из бесконечно далекого расстояния», а затем «снова падают туда, откуда они пришли».[1]

Это одна из четырех гравюр Эшера, изображающих идеи гиперболическая геометрия. Голландский физик и математик Бруно Эрнст назвал его «лучшим из четырех».[2]

Вдохновение

Треугольная гиперболическая мозаика (6,4,2), вдохновившая Эшера

Эшер заинтересовался мозаика плоскости после посещения в 1936 г. Альгамбра в Гранада, Испания,[3][4]и со времени его работы 1937 года Метаморфоза I он начал включать мозаичные фигуры людей и животных в свои работы.[4]

В письме Эшера 1958 г. Х. С. М. Кокстер, Эшер писал, что его вдохновили Предел круга серия по фигуре из статьи Кокстера «Симметрия кристаллов и ее обобщения».[2][3] Фигура Кокстера изображает мозаика из гиперболическая плоскость к прямоугольные треугольники с углами 30 °, 45 ° и 90 °; треугольники с этими углами возможны в гиперболической геометрии, но не в евклидовой геометрии. Эта мозаика может быть интерпретирована как изображение линий отражения и основных областей (6,4,2) группа треугольников.[5] Элементарный анализ фигуры Кокстера, как мог бы ее понять Эшер, дает Кассельман (2010).[6]

Геометрия

В чередующаяся восьмиугольная черепица, а гиперболическая мозаика квадратов и равносторонних треугольников, наложенных на изображение Эшера

Эшер, по-видимому, полагал, что белые кривые на его гравюре на дереве, разделяющие рыбу пополам, представляют собой гиперболические линии на Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости, в которой вся гиперболическая плоскость моделируется как диск в евклидовой плоскости, а гиперболические линии моделируются как дуги окружности, перпендикулярные границе диска. Действительно, Эшер писал, что рыба движется «перпендикулярно границе».[1] Однако, как продемонстрировал Коксетер, гиперболического расположение линий чьи грани представляют собой попеременно квадраты и равносторонние треугольники, как показано на рисунке. Скорее белые кривые гиперциклы которые пересекаются с граничным кругом под углами потому что−1 2​1⁄4 − 2−​1⁄4/2, примерно 80 °.[2]

Оси симметрии треугольников и квадратов, лежащих между белыми линиями, являются истинными гиперболическими линиями. Квадраты и треугольники на ксилографии очень похожи на чередующаяся восьмиугольная черепица гиперболической плоскости, на которой также есть квадраты и треугольники, пересекающиеся в одной и той же схеме падения. Однако точная геометрия этих форм отличается. В чередующемся восьмиугольном замощении стороны квадратов и треугольников представляют собой гиперболически прямые отрезки, которые не соединяются в плавные кривые; вместо этого они образуют многоугольные цепи с углами. В гравюре Эшера стороны квадратов и треугольников образованы дугами гиперциклов, которые не являются прямыми в гиперболической геометрии, но плавно соединяются друг с другом без углов.

Точки в центре квадратов, где четыре рыбы встречаются плавниками, образуют вершины треугольная черепица порядка 8, а точки пересечения трех плавников рыбы и точки пересечения трех белых линий образуют вершины ее двойной, то восьмиугольная черепица.[2] Подобные мозаики из линий рыб могут быть построены для других гиперболических мозаик, образованных полигоны кроме треугольников и квадратов, или с более чем тремя белыми кривыми на каждом пересечении.[7]

Евклидовы координаты кругов, содержащих три наиболее заметные белые кривые на ксилографии, могут быть получены расчетами в области рациональных чисел, расширенных квадратными корнями из двух и трех.[8]

Симметрия

Ксилография, рассматриваемая как узор в гиперболической плоскости, без учета цвета рыб, имеет трех- и четырехкратную форму. вращательная симметрия в центрах его треугольников и квадратов соответственно и третьего порядка двугранная симметрия (симметрия равностороннего треугольника) в точках пересечения белых кривых. В Джон Конвей с орбифолдная запись, этот набор симметрий обозначен как 433. Каждая рыба обеспечивает фундаментальную область для этой группы симметрии. Вопреки видимости, у рыбы нет двусторонняя симметрия: белые кривые на рисунке не являются осями симметрии отражения.[9][10]Например, угол позади правого плавника составляет 90 ° (где встречаются четыре плавника), но сзади гораздо меньшего левого плавника он составляет 120 ° (где встречаются три плавника).

Детали печати

Рыба в Предел круга III изображены в четырех цветах, что позволяет каждой цепочке рыб иметь один цвет, а две соседние рыбы - разные цвета. Вместе с черными чернилами, использованными для обводки рыбы, общая гравюра на дереве имеет пять цветов. Он напечатан из пяти деревянных блоков, каждый из которых обеспечивает один из цветов в пределах четверти диска, в общей сложности 20 отпечатков. Диаметр внешнего круга в напечатанном виде составляет 41,5 см (16 3⁄8 в).[11]

Экспонаты

Так же как входящий в коллекцию Музей Эшера в Гаага, есть копия Предел круга III в коллекции Национальная галерея Канады.[12]

Рекомендации

  1. ^ а б Эшер, цитируемый Кокстер (1979).
  2. ^ а б c d Кокстер, Х. С. М. (1979), "Неевклидова симметрия картины Эшера" Предел круга III.'", Леонардо, 12: 19–25, JSTOR  1574078.
  3. ^ а б Эммер, Мишель (2006), «Эшер, Кокстер и симметрия», Международный журнал геометрических методов в современной физике, 3 (5–6): 869–879, Дои:10.1142 / S0219887806001594, МИСТЕР  2264394.
  4. ^ а б Шатчнайдер, Дорис (2010), «Математическая сторона М. К. Эшера» (PDF), Уведомления AMS, 57 (6): 706–718.
  5. ^ Кокстер расширил математику мозаики групп треугольников, в том числе эту в Кокстер, Х. С. М. (1997), «Тригонометрия гиперболических мозаик», Канадский математический бюллетень, 40 (2): 158–168, Дои:10.4153 / CMB-1997-019-0, МИСТЕР  1451269.
  6. ^ Кассельман, Билл (июнь 2010 г.), Как Эшеру это удалось?, Столбец функций AMS.
  7. ^ Данэм, Дуглас, "Еще" паттерны ограничения круга III ", Конференция Bridges: математические связи в искусстве, музыке и науке, Лондон, 2006 г. (PDF).
  8. ^ Кокстер, Х. С. М. (2003), "Тригонометрия гравюры Эшера" Предел круга III", Наследие М. К. Эшера: празднование столетия, Springer, стр. 297–304, Дои:10.1007 / 3-540-28849-X_29.
  9. ^ Конвей, Дж. Х. (1992), "Орбифолдные обозначения для поверхностных групп", Группы, комбинаторика и геометрия (Дарем, 1990), Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 165, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 438–447, Дои:10.1017 / CBO9780511629259.038, МИСТЕР  1200280. Конвей писал, что «Работа Предел круга III столь же интригующе »(по сравнению с Предел круга IV, который имеет другую группу симметрии), и использует его как пример этой группы симметрии.
  10. ^ Херфорд, Питер (1999), "Геометрия круга-предела-гравюры М. К. Эшера", Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 31 (5): 144–148, Дои:10.1007 / BF02659805. Доклад представлен на 8-й Международной конференции по геометрии, Нахшолим (Израиль), 7–14 марта 1999 г.
  11. ^ Эшер, М. К. (2001), М. К. Эшер: Графическая работа, Taschen, п. 10.
  12. ^ Предел круга III, Национальная галерея Канады, получено 9 июля 2013.

внешняя ссылка