Мозаика - Tessellation - Wikipedia

"Tessellate" перенаправляется сюда. Для песни Alt-J см. Tessellate (песня). О технике компьютерной графики см. Тесселяция (компьютерная графика).

Zellige терракота плитки в Марракеш, формируя сквозную, регулярную и другие мозаики
Настенная скульптура в Леуварден празднование художественной мозаики М. К. Эшер

Плитка или мозаика плоской поверхности - это покрытие самолет используя один или несколько геометрические фигуры, называемые плитками, без нахлестов и зазоров. В математика, мозаику можно обобщить до высшие измерения и разнообразие геометрических форм.

Периодическая мозаика имеет повторяющийся узор. Некоторые особые виды включают правильные мозаики с правильный многоугольник плитки одинаковой формы и полуправильные мозаики с обычными плитками более чем одной формы и с одинаковым расположением всех углов. Паттерны, образованные периодическими мозаиками, можно разделить на 17 категорий. группы обоев. Мозаика, в которой отсутствует повторяющийся узор, называется «непериодической». An апериодическая мозаика использует небольшой набор форм плитки, которые не могут образовывать повторяющийся узор. В геометрии высших измерений заполнение пространства или соты также называется мозаика пространства.

Настоящая физическая мозаика - это мозаика из таких материалов, как цементированный керамика квадраты или шестиугольники. Такая плитка может быть декоративной. узоры, или может иметь такие функции, как обеспечение прочного и водонепроницаемого тротуар, напольные или настенные покрытия. Исторически тесселяция использовалась в Древний Рим И в Исламское искусство например, в декоративная геометрическая плитка из Альгамбра дворец. В ХХ веке творчество М. К. Эшер часто использовали мозаику, как в обычных Евклидова геометрия И в гиперболическая геометрия, для художественного эффекта. Тесселяция иногда используется для декоративного эффекта в квилтинг. Тесселяции образуют класс закономерности в природе, например в массивах гексагональные ячейки нашел в соты.

История

Храмовая мозаика из древнего шумерского города Урук IV (3400–3100 до н.э.), демонстрирующий мозаичный узор в цветных плитках.

Тесселяции использовались Шумеры (около 4000 г. до н.э.) в отделке стен зданий, образованной узорами из глиняных плиток.[1]

Декоративные мозаика плитки из небольших квадратных блоков, называемые тессеры широко использовались в классическая древность,[2] иногда с геометрическими узорами.[3][4]

В 1619 г. Иоганн Кеплер провел раннее задокументированное исследование мозаики. Он писал о регулярных и полурегулярных мозаиках в своем Harmonices Mundi; он, возможно, был первым, кто исследовал и объяснил гексагональную структуру сот и снежинки.[5][6][7]

Римский геометрическая мозаика

Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждое периодическое замощение плоскости имеет одну из семнадцати различных групп изометрий.[8][9] Работа Федорова положила начало неофициальному началу математического исследования мозаики. Другие известные участники включают Алексей Шубников и Николай Белов (1964),[10] и Генрих Хееш и Отто Кинцле (1963).[11]

Этимология

На латыни тесселла это небольшой кубический кусок глина, камень или же стекло используется для изготовления мозаики.[12] Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от тессера, квадрат, которое, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα, обозначающего четыре). Это соответствует обыденному термину черепица, который относится к приложениям тесселяции, часто состоящей из застекленный глина.

Обзор

А ромбитогексагональная черепица: кафельный пол в Археологический музей Севильи, Испания, с использованием прототипов квадрата, треугольника и шестиугольника

Тесселяция в двух измерениях, также называемая плоской мозаикой, - это тема в геометрии, изучающая, как формы, известные как плитка, могут быть расположены таким образом, чтобы заполнять плоскость без промежутков в соответствии с заданным набором правил. Эти правила можно варьировать. Общие из них заключаются в том, что между плитками не должно быть промежутков, и что ни один угол одной плитки не может лежать по краю другой.[13] Тесселяции, созданные кирпичная кладка не соблюдайте это правило. Среди тех, кто это делает, обычная тесселяция имеет оба одинаковых[а] обычная плитка и одинаковые правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между смежными краями для каждой плитки.[14] Есть только три формы, которые могут образовывать такие правильные мозаики: равносторонняя треугольник, квадрат, и обычный шестиугольник. Любую из этих трех форм можно бесконечно дублировать, чтобы заполнить самолет без зазоров.[6]

Многие другие типы тесселяции возможны при других ограничениях. Например, существует восемь типов полурегулярной тесселяции, состоящей из более чем одного вида правильных многоугольников, но с одинаковым расположением многоугольников на каждом углу.[15] Нерегулярные мозаики также могут быть сделаны из других фигур, таких как пятиугольники, полимино и практически любой геометрической формы. Исполнитель М. К. Эшер известен тем, что создает мозаику из мозаичных плиток неправильной формы, по форме напоминающих животных и другие природные объекты.[16] Если выбрать подходящие контрастные цвета для плитки разной формы, образуются яркие узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы.[17]

Сложный и красочный Zellige мозаики глазурованной плитки на Альгамбра в Испании, что привлекло внимание М. К. Эшер

Более формально тесселяция или мозаика - это крышка евклидовой плоскости на счетный количество закрытых множеств, называемых плитка, так что плитки пересекаются только на их границы. Эти плитки могут быть многоугольниками или любой другой формы.[b] Многие мозаики формируются из конечного числа прототипы в котором все плитки в тесселяции конгруэнтный к данным прототипам. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототипа для создания мозаики, говорят, что форма мозаика или чтобы выложить плиткой самолет. В Критерий Конвея является достаточным, но не необходимым набором правил для принятия решения о том, покрывает ли заданная форма плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не удовлетворяют критерию, но все же покрывают плоскость.[19] Не найдено общего правила для определения того, может ли данная форма мозаить плоскость или нет, а это означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся мозаики.[18]

Математически мозаику можно расширить на пространства, отличные от евклидовой плоскости.[6] В Швейцарский геометр Людвиг Шлефли впервые это сделал, определив полисхемы, который сегодня математики называют многогранники. Это аналоги полигонов и многогранники в пространствах большего размера. Далее он определил Символ Шлефли обозначения, упрощающие описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника - {3}, а для квадрата - {4}.[20] Обозначения Шлефли позволяют компактно описывать мозаики. Например, мозаика из правильных шестиугольников имеет три шестигранных многоугольника в каждой вершине, поэтому его символ Шлефли равен {6,3}.[21]

Существуют и другие методы описания многоугольных мозаик. Когда тесселяция состоит из правильных многоугольников, наиболее распространенным обозначением является конфигурация вершины, который представляет собой просто список количества сторон многоугольника вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 44. Расположение правильных шестиугольников отмечено 6.6.6 или 6.3.[18]

По математике

Введение в тесселяцию

Дальнейшая информация: Евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками, Равномерная черепица, и Список евклидовых однородных мозаик

При обсуждении мозаик математики используют некоторые технические термины. An край пересечение двух граничащих плиток; часто это прямая линия. А вершина это точка пересечения трех или более граничащих плиток. Используя эти термины, изогональный или же вершинно-транзитивный тайлинг - это тайлинг, в котором все точки вершины идентичны; то есть расположение полигоны про каждую вершину то же самое.[18] В фундаментальный регион представляет собой фигуру, например прямоугольник, которая повторяется для формирования мозаики.[22] Например, обычная мозаика плоскости квадратами имеет встречу четыре квадрата в каждой вершине.[18]

Стороны многоугольников не обязательно совпадают с краями плиток. An облицовка от края до края - это любая многоугольная тесселяция, в которой соседние плитки имеют только одну полную сторону, т.е. ни одна плитка не имеет частичной или более одной стороны с любой другой плиткой. При мозаике от края до края стороны многоугольников и края плиток совпадают. Привычная облицовка «кирпичной стеной» не является сквозной, потому что длинная сторона каждого прямоугольного кирпича делится с двумя соседними кирпичами.[18]

А обычная черепица тесселяция, для которой каждая плитка топологически эквивалентно диск, пересечение любых двух плиток является одним подключенный набор или пустой набор, и все плитки равномерно ограниченный. Это означает, что один ограничивающий радиус и один вписывающий радиус можно использовать для всех плиток во всей плитке; условие не допускает патологически длинные или тонкие плитки.[23]

15 выпуклый моноэдр пятиугольная черепица, обнаружен в 2015 г.

А моноэдральная черепица это тесселяция, в которой все плитки конгруэнтный; у него есть только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; то Плитка Водерберга имеет невыпуклый элемент девятиугольник.[1] В Плитка Хиршхорна, опубликованный Майклом Д. Хиршхорном и Д. К. Хантом в 1985 г., является пятиугольник с использованием неправильных пятиугольников: правильные пятиугольники не могут выложить евклидову плоскость в качестве внутренний угол правильного пятиугольника, 3π/5, не является делителем 2π.[24][25][26]

Изоэдральная мозаика - это особая разновидность моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одного и того же прототипа под действием симметрия группа плитки.[23] Если прототип допускает разбиение, но такое разбиение не является изоэдральным, то прототип называется анизоэдрическим и образует анизоэдральные мозаики.

А обычная тесселяция очень симметричный, облицовка от края до края из правильные многоугольники, все одной формы. Есть только три обычных тесселяции: те, которые состоят из равносторонние треугольники, квадраты, или обычный шестиугольники. Все три мозаики изогональны и моноэдральны.[27]

А Пифагорейская черепица

А полурегулярная (или архимедова) тесселяция использует более одного типа правильного многоугольника в изогональном расположении. Есть восемь полурегулярных мозаик (или девять, если зеркально отраженная пара мозаик считается за два).[28] Их можно описать по их конфигурация вершины; например, полурегулярная мозаика из квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4.82 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника).[29] Возможны многие мозаики евклидовой плоскости, не относящиеся к ребрам, включая семейство Пифагорейские мозаики, мозаики, в которых используются квадраты двух (параметризованных) размеров, при этом каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера.[30] An тесселяция краев - это тайл, в котором каждый тайл может отражаться от края, чтобы занять положение соседнего тайла, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников.[31]

Группы обоев

Основная статья: Группа обоев
В этом мозаичном моноэдральном уличном тротуаре вместо многоугольников используются изогнутые формы. Относится к группе обоев p3.

Плитки с поступательная симметрия по двум независимым направлениям можно разделить на группы обоев, из которых 17 существуют.[32] Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены в Альгамбра дворец в Гранада, Испания. Хотя это оспаривается,[33] разнообразие и изысканность облицовки Альгамбры удивили современных исследователей.[34] Из трех правильных мозаик два находятся в p6m группа обоев и одна находится в p4m. Двумерные мозаики с трансляционной симметрией только в одном направлении можно разделить на семь групп фризов, описывающих возможные фризовые узоры.[35] Обозначение орбифолда может использоваться для описания групп обоев евклидовой плоскости.[36]

Апериодические мозаики

Основные статьи: Апериодическая мозаика и Список апериодических наборов плиток
А Плитка Пенроуза, с несколькими симметриями, но без периодических повторений

Мозаики Пенроуза, которые используют два разных четырехугольных прототипа, являются наиболее известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодические мозаики, которые используют плитки, которые не могут периодически мозаироваться. В рекурсивный процесс из мозаика замещения является методом генерации апериодических мозаик. Одним из классов, который может быть создан таким образом, является реп-плитки; у этих плиток есть удивительные самовоспроизводящийся характеристики.[37] Вертушки непериодичны, с использованием конструкции повторной плитки; плитки появляются в бесконечном множестве ориентаций.[38] Можно подумать, что непериодический узор будет полностью лишен симметрии, но это не так. Апериодические мозаики при отсутствии поступательная симметрия, действительно имеют симметрии других типов из-за бесконечного повторения любого ограниченного участка мозаики и в определенных конечных группах поворотов или отражений этих участков.[39] Правило подстановки, например, которое можно использовать для создания некоторых паттернов Пенроуза с использованием сборок плиток, называемых ромбами, иллюстрирует симметрию масштабирования.[40] А Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодической мозаики и для изучения квазикристаллы, представляющие собой структуры с апериодическим порядком.[41]

Набор из 13 Ванская плитка что плитка только самолет апериодически

Ванская плитка представляют собой квадраты, окрашенные на каждом краю, и размещенные таким образом, чтобы примыкающие края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют Ван домино. Подходящий набор домино Ванга может выложить плитку на плоскости, но только апериодически. Это известно, потому что любой Машина Тьюринга может быть представлен как набор домино Ванга, которые покрывают плоскость плиткой тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не останавливается. Поскольку проблема остановки неразрешима, неразрешима и проблема определения того, может ли набор домино Ванга замостить плоскость.[42][43][44][45][46]

Случайный Плитка Truchet

Плитка Truchet квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому на них нет вращательная симметрия; в 1704 г., Себастьян Труше использовали квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут размещать мозаику на плоскости периодически или случайным образом.[47][48]

Тесселяция и цвет

Дальнейшая информация: Теорема четырех цветов
Если цвета этой плитки должны сформировать узор, повторяя этот прямоугольник как фундаментальная область, требуется не менее семи цветов; в более общем плане, по крайней мере четыре цвета необходимы.

Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях произвольные цвета могут быть применены позже. При обсуждении мозаики, отображаемой в цветах, во избежание двусмысленности необходимо указать, являются ли цвета частью мозаики или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, будут ли плитки одной формы, но разных цветов считаться идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. В теорема четырех цветов утверждает, что для каждой тесселяции нормального Евклидова плоскость, с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет, так что плитки одинакового цвета не пересекаются на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не соблюдает симметрию мозаики. Чтобы получить нужную окраску, необходимо рассматривать цвета как часть мозаики. Здесь может потребоваться целых семь цветов, как на картинке справа.[49]

Тесселяции с многоугольниками

А Плитка Вороного, в котором клетки всегда представляют собой выпуклые многоугольники.

Рядом с различными мозаики правильными многоугольниками, также были изучены мозаики другими многоугольниками.

Любой треугольник или четырехугольник (четное невыпуклый ) может использоваться в качестве прототипа для формирования моноэдральной мозаики, часто более чем одним способом. Копии произвольного четырехугольник может образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в средних точках всех сторон. Для несимметричного четырехугольника эта мозаика принадлежит обои группа p2. В качестве фундаментальная область у нас есть четырехугольник. Эквивалентно, мы можем построить параллелограмм с минимальным набором векторов трансляции, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет такую ​​же площадь, что и четырехугольник, и может быть построен из него путем вырезания и склейки.[50]

Если разрешена только одна форма плитки, существуют мозаики с выпуклыми N-гоны для N равны 3, 4, 5 и 6. Для N = 5, видеть Пятиугольная черепица, за N = 6, видеть Шестиугольная черепица,за N = 7, видеть Семиугольная черепица и для N = 8, видеть восьмиугольная черепица.

Для результатов по мозаичному покрытию плоскости полимино, видеть Полимино § Использование полимино.

Мозаики Вороного

Вороной или Дирихле мозаики - это мозаики, где каждая плитка определяется как набор точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.)[51][52] В Ячейка Вороного для каждой определяющей точки есть выпуклый многоугольник. В Триангуляция Делоне это тесселяция, которая двойственный граф мозаики Вороного. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных краями.[53] Замощения Вороного со случайно расположенными точками можно использовать для построения случайных мозаик плоскости.[54]

Тесселяции в высших измерениях

Основная статья: Соты (геометрия)
Тесселяция трехмерного пространства: ромбический додекаэдр одно из твердых тел, которые можно складывать в точно заполнить пространство.

Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Определенный многогранники можно складывать в обычный кристалл для заполнения (или мозаики) трехмерного пространства, включая куб (единственный Платоновый многогранник сделать так), ромбический додекаэдр, то усеченный октаэдр, а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы, среди прочего.[55] Любой многогранник, отвечающий этому критерию, известен как плезиоэдр, и может иметь от 4 до 38 лиц.[56] Встречающиеся в природе ромбические додекаэдры находятся как кристаллы из андрадит (типа гранат ) и флюорит.[57][58]

Иллюстрация бипризмы Шмитта-Конвея, также называемой плиткой Шмитта-Конвея-Данцера

Тесселяции в трех или более измерениях называются соты. В трех измерениях есть только одна правильная сотовая структура с восемью кубами в каждой вершине многогранника. Точно так же в трех измерениях есть только один квазирегулярный[c] соты, в которых восемь тетраэдры и шесть октаэдры в каждой вершине многогранника. Однако есть много возможных полуправильные соты в трех измерениях.[59] Равномерные многогранники можно построить с помощью Строительство Wythoff.[60]

В Бипризма Шмитта-Конвея является выпуклым многогранником, обладающим свойством замощения только апериодически.[61]

А Треугольник Шварца это сферический треугольник который можно использовать для плитки сфера.[62]

Тесселяции в неевклидовых геометриях

Ромбитригептагональная черепица в гиперболической плоскости, видно в Модель диска Пуанкаре проекция
Регулярный {3,5,3} икосаэдрические соты, одна из четырех обычных компактных сот в гиперболическое 3-пространство

Можно мозаику в неевклидов геометрии, такие как гиперболическая геометрия. А равномерное замощение в гиперболической плоскости (который может быть регулярным, квазирегулярным или полуправильным) представляет собой заполнение гиперболической плоскости от края до края, причем правильные многоугольники в качестве лица; это вершинно-транзитивный (переходный на его вершины ), так и изогональные (имеется изометрия отображение любой вершины на любую другую).[63][64]

А однородные соты в гиперболическом пространстве однородная мозаика равномерный многогранник клетки. В трехмерном гиперболическом пространстве девять Группа Кокстера семей компактных выпуклые однородные соты, сгенерированный как Конструкции Wythoff, и представлен перестановки из кольца из Диаграммы Кокстера для каждой семьи.[65]

В искусстве

Дальнейшая информация: Математика и искусство
Римский мозаика напольная панель из камня, плитки и стекла, с виллы рядом Антиохия в римской Сирии. 2 век нашей эры

В архитектуре мозаика использовалась для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаика плитки часто имели геометрические узоры.[4] Более поздние цивилизации также использовали более крупные плитки, простые или индивидуально декорированные. Одними из самых декоративных были Мавританский облицовка стен Исламская архитектура, с помощью Гирих и Zellige плитки в зданиях, таких как Альгамбра[66] и La Mezquita.[67]

Тесселяции часто появлялись в графике М. К. Эшер; он был вдохновлен мавританским использованием симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испания в 1936 г.[68] Эшер сделал четыре "Предел круга "рисунки мозаик с использованием гиперболической геометрии.[69][70] За его гравюра на дереве «Предел круга IV» (1960), Эшер подготовил карандашный и тушный этюд, показывающий требуемую геометрию.[71] Эшер объяснил, что «ни один компонент из всей серии, который издалека вздымается, как ракеты, перпендикулярно от предела и наконец теряется в нем, никогда не достигает границы».[72]

Одеяло с обычным рисунком тесселяции

Тесселированные рисунки часто появляются на тканях, вшитых или напечатанных тканях. Шаблоны тесселяции использовались для создания взаимосвязей мотивы патчей в одеяла.[73][74]

Тесселяция также является основным жанром в оригами (складывание бумаги), где складки используются для соединения молекул, таких как скрученные складки, повторяющимся образом.[75]

В производстве

Тесселяция используется в промышленность для уменьшения потерь материала (потерь урожая), таких как листовой металл при вырезании фигур для таких предметов, как автомобильные двери или же банки для напитков.[76]

Тесселяция очевидна в грязь -подобно треск из тонкие пленки[77][78] - со степенью самоорганизация наблюдается с использованием микро и нанотехнологии.[79]

В природе

Основная статья: Узоры в природе § Мозаика
А соты представляет собой естественную мозаичную структуру.

В соты является хорошо известным примером мозаики в природе с его гексагональными ячейками.[80]

Тесселяционный узор в Колхикум цветок

В ботанике термин «мозаика» описывает клетчатый узор, например, на лепестке цветка, коре дерева или фрукте. Цветы, включая рябчик[81] и некоторые виды Колхикум имеют характерную мозаику.[82]

Много закономерности в природе образуются трещинами в листах материалов. Эти закономерности можно описать как Мозаика Гилберта,[83] также известные как сети случайных трещин.[84] Тесселяция Гилберта - это математическая модель для формирования грязевые трещины игольчатый кристаллы, и подобные конструкции. Модель, названная в честь Эдгар Гилберт, позволяет трещинам образовываться, начиная с беспорядочно разбросанных по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях по линии, проходящей через точку зарождения, ее наклон выбирается случайным образом, создавая мозаику из неправильных выпуклых многоугольников.[85] Базальтовый потоки лавы часто отображать столбчатое соединение в результате сокращение силы, вызывающие трещины при охлаждении лавы. Развивающиеся обширные сети трещин часто образуют шестиугольные столбы лавы. Одним из примеров такого массива столбцов является Дорога гигантов в Северной Ирландии.[86] Мозаичный тротуар, характерный пример которого находится на Шея Орлиного Ястреба на Полуостров Тасман из Тасмания, представляет собой редкую осадочную породу, где порода расколота на прямоугольные блоки.[87]

Другие естественные закономерности встречаются в пены; они упакованы в соответствии с Законы Плато, которые требуют минимальные поверхности. Такие пены представляют проблему в том, как максимально плотно упаковать ячейки: в 1887 г. Лорд Кельвин предложил набивку с использованием только одного твердого тела, усеченные кубические соты с очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Уир и Роберт Фелан предложили Структура Вира – Фелана, который использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина.[88]

В головоломках и развлекательной математике

Традиционный Танграм загадка рассечения
Основные статьи: Головоломка плитки и развлекательная математика

Тесселяция породила множество типов мозаика из традиционных пазлы (с кусками дерева или картона неправильной формы)[89] и Танграм[90] к более современным головоломкам, которые часто имеют математическую основу. Например, полиалмазы и полимино представляют собой фигуры правильных треугольников и квадратов, часто используемые в мозаичных головоломках.[91][92] Авторы, такие как Генри Дудени и Мартин Гарднер много раз использовали тесселяцию в развлекательная математика. Например, Дудени изобрел шарнирное рассечение,[93] в то время как Гарднер писал о реплика, форма, которая может быть рассеченный на уменьшенные копии той же формы.[94][95] Вдохновленный статьями Гарднера в Scientific American, математик-любитель Марджори Райс нашел четыре новых мозаики с пятиугольниками.[96][97] Возведение квадрата - это задача замощения целого квадрата (у которого стороны имеют целую длину), используя только другие целые квадраты.[98][99] Расширение возводит плоскость в квадрат, покрывая ее квадратами, все размеры которых являются натуральными числами без повторений; Джеймс и Фредерик Хенле доказали, что это возможно.[100]

Примеры

Смотрите также

Сноски

  1. ^ Математический термин для обозначения одинаковых форм - «конгруэнтный» - в математике «идентичный» означает, что это одна и та же плитка.
  2. ^ Плитку обычно требуется гомеоморфный (топологически эквивалентно) закрытый диск, что означает исключение причудливых форм с отверстиями, свисающих отрезков линий или бесконечных областей.[18]
  3. ^ В этом контексте квазирегулярность означает, что ячейки являются правильными (твердыми телами), а фигуры вершин - полуправильными.

Рекомендации

  1. ^ а б Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики. Стерлинг. п. 372. ISBN  9781402757969.
  2. ^ Дунбабин, Кэтрин М. Д. (2006). Мозаики греческого и римского мира. Издательство Кембриджского университета. п. 280.
  3. ^ "Геометрическая мозаика Брантингема". Городской совет Халла. 2008 г.. Получено 26 мая 2015.
  4. ^ а б Филд, Роберт (1988). Геометрические узоры из римской мозаики. Тарквин. ISBN  978-0-906-21263-9.
  5. ^ Кеплер, Иоганнес (1619). Harmonices Mundi [Гармония миров].
  6. ^ а б c Гуллберг 1997, п. 395.
  7. ^ Стюарт 2001, п. 13.
  8. ^ Джиджев, Христо; Потконяк, Миодраг (2012). «Проблемы динамического покрытия в сенсорных сетях» (PDF). Лос-Аламосская национальная лаборатория. п. 2. Получено 6 апреля 2013.
  9. ^ Федоров, Ю. (1891). «Симметрия на плоскости». Записки Императорского Сант-Петербургского Минералогического Общества [Известия Императорского Санкт-Петербургского минералогического общества]. 2 с. 28: 245–291.
  10. ^ Шубников Алексей Васильевич; Белов, Николай Васильевич (1964). Цветная симметрия. Macmillan.
  11. ^ Heesch, H .; Кинцле, О. (1963). Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (на немецком). Springer.
  12. ^ "Тесселяция". Мерриам-Вебстер Интернет. Получено 26 мая 2015.
  13. ^ Conway, R .; Burgiel, H .; Гудман-Штраус, Г. (2008). Симметрии вещей. Питерс.
  14. ^ Кокстер 1973.
  15. ^ Канди и Роллетт (1961). Математические модели (2-е изд.). Оксфорд. С. 61–62.
  16. ^ Эшер 1974 С. 11–12, 15–16.
  17. ^ "Базилика Сан-Марко". Раздел: мозаичный пол. Базилика Сан-Марко. Получено 26 апреля 2013.
  18. ^ а б c d е ж Грюнбаум и Шепард 1987, п. 59.
  19. ^ Шатчнайдер, Дорис (Сентябрь 1980 г.). «Будет ли плитка? Попробуйте критерий Конвея!». Математический журнал. Vol. 53 нет. 4. С. 224–233. Дои:10.2307/2689617. JSTOR  2689617.
  20. ^ Кокстер, Х. С. М. (1948). Правильные многогранники. Метуэн. С. 14, 69, 149. ISBN  9780486614809.
  21. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция». MathWorld.
  22. ^ Эммер, Микеле; Шатчнайдер, Дорис (8 мая 2007 г.). M.C. Наследие Эшера: празднование столетия. Берлин Гейдельберг: Springer. п. 325. ISBN  978-3-540-28849-7.
  23. ^ а б Хорн, Клэр Э. (2000). Геометрическая симметрия в узорах и мозаиках. Издательство Вудхед. С. 172, 175. ISBN  9781855734920.
  24. ^ Датч, Стивен (29 июля 1999 г.). "Некоторые специальные радиальные и спиральные мозаики". Университет Висконсина. Получено 6 апреля 2013.
  25. ^ Hirschhorn, M.D .; Хант, Д. К. (1985). «Равносторонние выпуклые пятиугольники, покрывающие плоскость». Журнал комбинаторной теории, серия А. 39 (1): 1–18. Дои:10.1016/0097-3165(85)90078-0.
  26. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Пентагон черепица". MathWorld.
  27. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Обычные мозаики». MathWorld.
  28. ^ Стюарт 2001, п. 75.
  29. ^ NRICH (Maths Project) (1997–2012). "Мозаика Шлефли". Кембриджский университет. Получено 26 апреля 2013.
  30. ^ Уэллс, Дэвид (1991). "тесселяция двух квадратов". Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. стр.260–261. ISBN  978-0-14-011813-1.
  31. ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011). "Пазлы с краями и складывания штампов". Математический журнал. 84 (4): 283–89. Дои:10.4169 / math.mag.84.4.283.
  32. ^ Армстронг, М.А. (1988). Группы и симметрия. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-96675-3.
  33. ^ Грюнбаум, Бранко (июнь – июль 2006 г.). «Какие группы симметрии присутствуют в Альгамбре?» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 53 (6): 670–673.
  34. ^ Лу, Питер Дж .; Стейнхардт (23 февраля 2007 г.). «Десятиугольные и квазикристаллические мозаики в средневековой исламской архитектуре». Наука. 315 (5815): 1106–10. Bibcode:2007Научный ... 315.1106Л. Дои:10.1126 / science.1135491. PMID  17322056.
  35. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Frieze Group". MathWorld.
  36. ^ Хьюсон, Дэниел Х. (1991). «Двумерная мутация симметрии». CiteSeer. CiteSeerX  10.1.1.30.8536. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  37. ^ Гарднер 1989, стр. 1–18.
  38. ^ Радин, К. (май 1994 г.). "Вертушка плоскости". Анналы математики. 139 (3): 661–702. CiteSeerX  10.1.1.44.9723. Дои:10.2307/2118575. JSTOR  2118575.
  39. ^ Остин, Дэвид. "Плитки Пенроуза говорят через мили". Американское математическое общество. Получено 29 мая 2015.
  40. ^ Харрисс, Э. «Апериодическая мозаика» (PDF). Лондонский университет и EPSRC. Получено 29 мая 2015.
  41. ^ Дхарма-вардана, М. В. Ч .; MacDonald, A.H .; Локвуд, Д. Дж .; Baribeau, J.-M .; Хоутон, Д. К. (1987). «Рамановское рассеяние в сверхрешетках Фибоначчи». Письма с физическими проверками. 58 (17): 1761–1765. Bibcode:1987ПхРвЛ..58.1761Д. Дои:10.1103 / Physrevlett.58.1761. PMID  10034529.
  42. ^ Ван, Хао (1961). «Доказательство теорем распознаванием образов - II». Технический журнал Bell System. 40 (1): 1–41. Дои:10.1002 / j.1538-7305.1961.tb03975.x.
  43. ^ Ван, Хао (Ноябрь 1965 г.). «Игры, логика и компьютеры». Scientific American. С. 98–106.
  44. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества. 66 (66): 72. Дои:10.1090 / memo / 0066.
  45. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости». Inventiones Mathematicae. 12 (3): 177–209. Bibcode:1971InMat..12..177R. Дои:10.1007 / bf01418780. МИСТЕР  0297572.
  46. ^ Кулик, Карел, II (1996). «Апериодический набор из 13 плиток Ванга». Дискретная математика. 160 (1–3): 245–251. Дои:10.1016 / S0012-365X (96) 00118-5. МИСТЕР  1417576.
  47. ^ Браун, Кэмерон (2008). «Кривые и поверхности Трюше». Компьютеры и графика. 32 (2): 268–281. Дои:10.1016 / j.cag.2007.10.001.
  48. ^ Смит, Сирил Стэнли (1987). «Мозаичные шаблоны Себастьяна Труше и топология структурной иерархии». Леонардо. 20 (4): 373–385. Дои:10.2307/1578535. JSTOR  1578535.
  49. ^ «Четырехцветная проблема», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  50. ^ Джонс, Оуэн (1910) [1856]. Грамматика орнамента (фолио ред.). Бернард Куорич.
  51. ^ Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Опросы ACM Computing. 23 (3): 345–405. Дои:10.1145/116873.116880.
  52. ^ Окабе, Ацуюки; Сапоги, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные мозаики - концепции и приложения диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Вили. ISBN  978-0-471-98635-5.
  53. ^ Джордж, Пол Луи; Боручаки, Хоуман (1998). Триангуляция Делоне и построение сетки: применение к конечным элементам. Гермес. С. 34–35. ISBN  978-2-86601-692-0.
  54. ^ Моллер, Джеспер (1994). Лекции о случайных мозаиках Вороного. Springer. ISBN  978-1-4612-2652-9.
  55. ^ Грюнбаум, Бранко (1994). «Равномерные мозаики 3-пространства». Геомбинаторика. 4 (2): 49–56.
  56. ^ Энгель, Питер (1981). "Uber Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie". Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie. 154 (3–4): 199–215. Bibcode:1981ZK .... 154..199E. Дои:10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199. МИСТЕР  0598811..
  57. ^ Олдершоу, Кэлли (2003). Путеводитель по драгоценным камням Firefly. Книги Светлячка. п.107. ISBN  978-1-55297-814-6.
  58. ^ Киркалди, Дж. Ф. (1968). Минералы и камни в цвете (2-е изд.). Блэндфорд. С. 138–139.
  59. ^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд; Шерк, Ф. Артур; Канадское математическое общество (1995). Калейдоскопы: Избранные произведения Х.С.М. Coxeter. Джон Вили и сыновья. п.3 и пассим. ISBN  978-0-471-01003-6.
  60. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Wythoff Construction". MathWorld.
  61. ^ Сенешаль, Марджори (26 сентября 1996 г.). Квазикристаллы и геометрия. КУБОК Архив. п. 209. ISBN  978-0-521-57541-6.
  62. ^ Шварц, Х.А. (1873). "Ueber diejenigen Fälle in wellchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1873 (75): 292–335. Дои:10.1515 / crll.1873.75.292. ISSN  0075-4102.
  63. ^ Маргенштерн, Морис (4 января 2011 г.). «Координаты новой треугольной мозаики гиперболической плоскости». arXiv:1101.0530 [cs.FL ].
  64. ^ Задник, Гашпер. «Замощение гиперболической плоскости правильными многоугольниками». Вольфрам. Получено 27 мая 2015.
  65. ^ Кокстер, H.S.M. (1999). Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве. Красота геометрии: двенадцать эссе. Dover Publications. С. 212–213. ISBN  978-0-486-40919-1.
  66. ^ «Математика в искусстве и архитектуре». Национальный университет Сингапура. Получено 17 мая 2015.
  67. ^ Уиттакер, Эндрю (2008). Говорите о культуре: Испания. Издательство Thorogood Publishing. п. 153. ISBN  978-1-85418-605-8.
  68. ^ Эшер 1974 С. 5, 17.
  69. ^ Герстен, С.М. «Введение в гиперболические и автоматические группы» (PDF). Университет Юты. Получено 27 мая 2015. Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем непрерывной во всех направлениях, а рисунок 2 [Circle Limit IV] представляет собой красивую мозаику модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, представляющими ангелов, и черными плитки, представляющие дьяволов. Важной особенностью второго является то, что все белые плитки взаимно конгруэнтны, как и все черные плитки; конечно, это неверно для евклидовой метрики, но верно для метрики Пуанкаре.
  70. ^ Лейс, Джос (2015). "Гиперболический Эшер". Получено 27 мая 2015.
  71. ^ Эшер 1974 С. 142–143.
  72. ^ Эшер 1974, п. 16.
  73. ^ Портер, Кристин (2006). Лоскутные одеяла с мозаикой: сенсационные рисунки из взаимосвязанных узоров. F + W Media. С. 4–8. ISBN  9780715319413.
  74. ^ Бейер, Джинни (1999). Создание мозаики: секреты взаимосвязанных паттернов. Современная книга. стр. гл. 7. ISBN  9780809228669.
  75. ^ Гьерде, Эрик (2008). Мозаики оригами. Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-1-568-81451-3.
  76. ^ «Снижение потерь урожая: использование меньшего количества металла для изготовления того же самого». UIT Кембридж. Получено 29 мая 2015.
  77. ^ Таулесс, М. Д. (1990). «Расстояние между трещинами в хрупких пленках на упругих основаниях». Варенье. Chem. Soc. 73 (7): 2144–2146. Дои:10.1111 / j.1151-2916.1990.tb05290.x.
  78. ^ Xia, Z. C .; Хатчинсон, Дж. У. (2000). «Трещины в тонких пленках». J. Mech. Phys. Твердые тела. 48: 1107–1131. Дои:10.1016 / S0022-5096 (99) 00081-2.
  79. ^ Сегир, Р .; Арскотт, С. (2015). «Контролируемое образование грязевых трещин и самоорганизованное растрескивание поверхностей полидиметилсилоксанового эластомера». Sci. Представитель. 5: 14787. Bibcode:2015НатСР ... 514787С. Дои:10.1038 / srep14787. ЧВК  4594096. PMID  26437880.
  80. ^ Болл, Филипп. "Как соты могут строить сами себя". Природа. Получено 7 ноября 2014.
  81. ^ Краткий оксфордский английский словарь (6-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. 2007. с. 3804. ISBN  978-0199206872.
  82. ^ Парди, Кэти (2007). «Колхикум: самая сокровенная тайна осени». Американский садовник (Сентябрь / октябрь): 18–22.
  83. ^ Шрайбер, Томаш; Соя, Наталья (2010). "Предельная теория для плоских мозаик Гилберта". arXiv:1005.0023 [math.PR ].
  84. ^ Gray, N.H .; Андерсон, Дж. Б .; Дивайн, Дж. Д .; Квасник, Дж. М. (1976). «Топологические свойства случайных сетей трещин». Математическая геология. 8 (6): 617–626. Дои:10.1007 / BF01031092.
  85. ^ Гилберт, Э. (1967). «Случайные плоские сети и игольчатые кристаллы». В Noble, Б. (ред.). Применение математики в инженерии. Нью-Йорк: Макмиллан.
  86. ^ Вир, Д.; Ривье, Н. (1984). «Мыло, клетки и статистика: случайные модели в двух измерениях». Современная физика. 25 (1): 59–99. Bibcode:1984ConPh..25 ... 59Вт. Дои:10.1080/00107518408210979.
  87. ^ Бранаган, Д.Ф. (1983). Young, R.W .; Нансон, Г. (ред.). Мозаичные тротуары. Аспекты австралийских пейзажей из песчаника. Специальная публикация № 1, Геоморфология Австралии и Новой Зеландии. Университет Вуллонгонга. С. 11–20. ISBN  978-0-864-18001-8.
  88. ^ Болл, Филипп (2009). Формы. Oxford University Press. С. 73–76. ISBN  978-0-199-60486-9.
  89. ^ Макадам, Дэниел. «История головоломок». Американское общество пазлов. Архивировано из оригинал 11 февраля 2014 г.. Получено 28 мая 2015.
  90. ^ Слокум, Джерри (2001). Дао Танграма. Barnes & Noble. п. 9. ISBN  978-1-4351-0156-2.
  91. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Princeton University Press. ISBN  978-0-691-02444-8.
  92. ^ Мартин, Джордж Э. (1991). Полимино: Путеводитель по головоломкам и проблемам при укладке плитки. Математическая ассоциация Америки.
  93. ^ Фредериксон, Грег Н. (2002). Шарнирные расслоения: раскачивание и скручивание. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521811927.
  94. ^ Гарднер, Мартин (Май 1963 г.). «На« Rep-tile »многоугольники, которые могут создавать большие и уменьшенные копии самих себя». Scientific American. Vol. 208 нет. Май. С. 154–164.
  95. ^ Гарднер, Мартин (14 декабря 2006 г.). Ага! Двухтомный сборник: Ага! Попался Ага! На виду. MAA. п. 48. ISBN  978-0-88385-551-5.
  96. ^ Сури, Мани (12 октября 2015 г.). «Важность развлекательной математики». Нью-Йорк Таймс.
  97. ^ Schattschneider, Дорис (1978). "Покрытие плоскости конгруэнтными пятиугольниками" (PDF). Математический журнал. MAA. 51 (1): 29–44. Дои:10.2307/2689644. JSTOR  2689644.
  98. ^ Тутте, В. Т. "Квадратная площадь". Squaring.net. Получено 29 мая 2015.
  99. ^ Гарднер, Мартин; Тутте, Уильям Т. (ноябрь 1958 г.). «Математические игры». Scientific American.
  100. ^ Henle, Frederick V .; Хенле, Джеймс М. (2008). "Квадратный самолет" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 115 (1): 3–12. Дои:10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR  27642387. Архивировано из оригинал (PDF) 20 июня 2006 г.

Источники

внешняя ссылка

  • Тегула (программное обеспечение с открытым исходным кодом для исследования двумерных мозаик плоскости, сферы и гиперболической плоскости; включает базы данных, содержащие миллионы мозаик)
  • Wolfram MathWorld: Тесселяция (хорошая библиография, рисунки регулярных, полурегулярных и полурегулярных мозаик)
  • Энциклопедия Тилингса (обширная информация о заменяемых плитках, включая рисунки, людей и ссылки)
  • Tessellations.org (практические руководства, галерея тесселяции Эшера, галереи тесселяций других художников, планы уроков, история)
  • Эппштейн, Дэвид. «Свалка геометрии: гиперболическая мозаика». (список веб-ресурсов, включая статьи и галереи)