Ромбический додекаэдр - Rhombic dodecahedron

Ромбический додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Каталонский твердый
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	jC
Тип лица	V3.4.3.4 ромб
Лица	12
Края	24
Вершины	14
Вершины по типу	8{3}+6{4}
Группа симметрии	Очас, B3, [4,3], (*432)
Группа вращения	О, [4,3]^+, (432)
Двугранный угол	120°
Характеристики	выпуклый, лицо переходный равногранный, изотоксальный, параллелоэдр
Кубооктаэдр (двойственный многогранник )	Сеть

3d модель ромбического додекаэдра

В геометрия, то ромбический додекаэдр это выпуклый многогранник с 12 конгруэнтный ромбический лица. Имеет 24 края, и 14 вершины двух типов. Это Каталонский твердый, а двойственный многогранник из кубооктаэдр.

Характеристики

Ромбический додекаэдр - это зоноэдр. Его многогранник двойной это кубооктаэдр. Длинная диагональ каждого лица ровно √2 раза больше длины короткой диагонали, так что острый углы на каждой грани измеряют arccos (1/3), или примерно 70,53 °.

Будучи двойником Архимедов многогранник ромбический додекаэдр лицо переходный, имея в виду группа симметрии твердых актов переходно на множестве лиц. Элементарно это означает, что для любых двух граней A и B существует вращение или же отражение твердого тела, которое покидает его, занимая ту же область пространства, перемещая грань A на грань B.

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как выпуклую оболочку объединения вершин куба и октаэдра. 6 вершин, где встречаются 4 ромба, соответствуют вершинам октаэдра, а 8 вершин, в которых встречаются 3 ромба, соответствуют вершинам куба.

Ромбический додекаэдр - один из девяти реберно-транзитивный выпуклые многогранники, остальные пять Платоновы тела, то кубооктаэдр, то икосододекаэдр и ромбический триаконтаэдр.

Ромбический додекаэдр можно использовать для мозаика трехмерное пространство. Его можно сложить, чтобы заполнить пространство так же, как шестиугольники залить самолет.

Этот многогранник в тесселяции, заполняющей пространство можно рассматривать как Мозаика Вороного из гранецентрированная кубическая решетка. Это зона Бриллюэна объемно-центрированных кубических (ОЦК) кристаллов. Некоторые минералы, такие как гранат образовывать ромбический додекаэдр кристальная привычка. В качестве Иоганн Кеплер отметил в своей книге 1611 года о снежинках (Strena seu de Nive Sexangula), медоносные пчелы использовать геометрию ромбических додекаэдров, чтобы сформировать соты из мозаики ячеек, каждая из которых является шестиугольная призма покрыт половиной ромбического додекаэдра. Ромбический додекаэдр также появляется в элементарных ячейках алмаз и алмазоиды. В этих случаях четыре вершины (чередующиеся тройные) отсутствуют, но химические связи лежат на остальных ребрах.^[1]

График ромбического додекаэдра имеет вид негамильтониан.

Ромбический додекаэдр может быть рассеченный с центром в 4 тригональные трапецоэдры. Эти ромбоэдры являются ячейками треугольные трапециевидные соты. Это аналогично рассечению правильный шестиугольник разрезанный на ромбовидные, и выложен на плоскости как ромбик.

Коллекции Лувр включать матрицу в форме ромбического додекадрона, датируемого Птолемеевский Египет. Грани начертаны греческими буквами, представляющими числа от 1 до 12: Α Β Γ Δ Ε Ζ Ϛ Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Функция матрицы неизвестна.^[2]

• 

  Ромбический додекаэдр

• 

  Ромбически рассеченный шестиугольник

• 

  А гранат кристалл

• 

  На этой анимации показано построение ромбического додекаэдра из куба путем инвертирования пирамид с центральными гранями куба.

Размеры

Если длина ребра ромбического додекаэдра равна а, то радиус из вписанная сфера (касательная каждой из граней ромбического додекаэдра)

${\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.816\,496\,5809a,}$ OEIS: A157697

и радиус средняя сфера является

${\displaystyle r_{\mathrm {m} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0.942\,809\,041\,58a,}$ OEIS: A179587.

Площадь и объем

Площадь А и объем V ромбического додекаэдра длины ребра а находятся:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11.313\,7085a^{2}\\V&={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 3.079\,201\,44a^{3}\end{aligned}}}$

Ортогональные проекции

В ромбический додекаэдр имеет четыре специальных ортогональные проекции вдоль его оси симметрии, с центром на грани, ребре и двух типах вершин, тройной и четверной. Последние два соответствуют букве B₂ и А₂ Самолеты Кокстера.

Ортогональные проекции

Проективный симметрия	[4]	[6]	[2]	[2]
Ромбический додекаэдр
Кубооктаэдр (двойной)

Декартовы координаты

Пиритоэдр вариации между кубом и ромбическим додекаэдром

Расширение ромбического додекаэдра

Восемь вершин, на которых три грани встречаются под тупыми углами, имеют Декартовы координаты:

(±1, ±1, ±1)

Координаты шести вершин, где четыре грани встречаются под острыми углами:

(± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0) и (0, 0, ± 2)

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный предельный случай пиритоэдр, с перестановкой координат (±1, ±1, ±1) и (0, 1 + час, 1 − час²) с параметром час = 1.

Топологически эквивалентные формы

Параллелоэдр

В ромбический додекаэдр это параллелоэдр, а многогранник, заполняющий пространство, додекаэдрил, будучи двойником тетроктаэдрил или же полукубические соты, и описывается двумя Диаграммы Кокстера: и . С D_3D симметрии, его можно рассматривать как удлиненный треугольный трапецоэдр.

Ромбический додекаэдр может мозаичное пространство по трансляционным копиям самого себя. Так может звездчатый ромбический додекаэдр.

В ромбический додекаэдр может быть построен с 4 наборами параллельных ребер.

Двугранный ромбический додекаэдр

Другие конструкции симметрии ромбического додекаэдра также заполняют пространство, и как параллелоэдры они похожи на варианты заполнения пространства усеченные октаэдры.^[3]

Например, с 4 квадратными гранями и ромбическими гранями под углом 60 градусов и D_4ч двугранная симметрия, заказ 16. Его можно рассматривать как кубооктаэдр с квадратные пирамиды дополнены сверху и снизу.

Сеть

Координаты (0, 0, ±2) (±1, ±1, 0) (±1, 0, ±1) (0, ±1, ±1)

Додекаэдр Билинского

Додекаэдр Билинского с краями и передними гранями, окрашенными в соответствии с их положением симметрии.

Додекаэдр Билинского, раскрашенный параллельными гранями

В 1960 г. Станко Билински открыл второй ромбический додекаэдр с 12 конгруэнтными гранями ромба, Додекаэдр Билинского. Он имеет ту же топологию, но другую геометрию. Ромбические грани в этой форме имеют Золотое сечение.^[4][5]

Лица

Первая форма	Вторая форма
√2:1	√5 + 1/2:1

Дельтоидальный додекаэдр

Пример сети (3/4,3/2)

Другой топологически эквивалентный вариант, иногда называемый дельтовидный додекаэдр^[6] или же трапециевидный додекаэдр,^[7][8] является равногранный с тетраэдрическая симметрия порядок 24, искажая ромбические грани в воздушные змеи (дельтовидные мышцы). Он имеет 8 вершин, смещенных внутрь или наружу в альтернативных наборах по 4, с предельным случаем тетраэдрической огибающей. Вариации можно параметризовать как (а,б), куда б и а зависят друг от друга так, что тетраэдр, определяемый четырьмя вершинами грани, имеет нулевой объем, то есть является плоской гранью. (1,1) - ромбическое решение. В качестве (а) подходы 1/2, (б) стремится к бесконечности. Всегда держит 1/а + 1/б = 2, причем a, b> 1/2.

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

(а, а, а), (−а, −а, а), (−а, а, −а), (а, −а, −а)

(−б, −б, −б), (−б, б, б), (б, −б, б), (б, б, −б)

(1,1)	(7/8,7/6)	(3/4,3/2)	(2/3,2)	(5/8,5/2)	(9/16,9/2)

Связанные многогранники

Сферический ромбический додекаэдр

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]^+ (432)	[1^+,4,3] = [3,3] (*332)		[3^+,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час2{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3^1,1}
		=	=	=				= или же	= или же	=
Двойники к однородным многогранникам
V4^3	V3.8^2	V (3,4)^2	V4.6^2	V3^4	V3.4^3	V4.6.8	V3^4.4	V3^3	V3.6^2	V3^5

При проецировании на сферу (см. Справа) видно, что края составляют ребра двух тетраэдров, расположенных в их двойных положениях (Stella octangula). Эта тенденция продолжается с дельтовидный икоситетраэдр и дельтовидный гексеконтаэдр для двойственных пар других правильных многогранников (наряду с треугольная бипирамида если необходимо учитывать неправильные мозаики), давая этой форме альтернативное систематическое имя дельтовидный додекаэдр.

*п42 мутации симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4.п.4

Симметрия *п32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура Конфиг.	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Этот многогранник является частью последовательности ромбические многогранники и мозаики с [п,3] Группа Коксетера симметрия. Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы представляют собой квадраты.

Мутации симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n)^2
* n32	Сферический			Евклидово	Гиперболический
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плитка
Конф.	В (3,3)^2	V (3,4)^2	В (3,5)^2	В (3,6)^2	В (3,7)^2	V (3.8)^2	V (3.∞)^2

*п42 изменения симметрии квазирегулярных двойственных мозаик: V(4.n)^2
Симметрия * 4n2 [n, 4]	Сферический	Евклидово	Компактный гиперболический				Паракомпакт	Некомпактный
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ / λ, 4]
Плитка   Конф.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Аналогичным образом это относится к бесконечной серии мозаик с конфигурации лица V3.2п.3.2п, первый в евклидовой плоскости, а остальные в гиперболической плоскости.

V3.4.3.4 (Нарисовано как сеть )

V3.6.3.6 Евклидова плоская мозаика Ромбильная плитка

V3.8.3.8 Замощение гиперболической плоскости (Нарисовано в Модель диска Пуанкаре )

Звёздчатые

Как и многие выпуклые многогранники, ромбический додекаэдр может быть звездчатый растягивая грани или ребра, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник. Несколько таких звездочек были описаны Дорманом Люком.^[9]

На этой анимации показано построение звездчатый ромбический додекаэдр путем переворачивания пирамид с центральными гранями ромбического додекаэдра.

Первая звездочка, которую часто называют просто звездчатый ромбический додекаэдр, хорошо известен. Его можно рассматривать как ромбический додекаэдр с каждой гранью, увеличенной путем присоединения к нему пирамиды с ромбической основой, с такой высотой пирамиды, что стороны лежат в плоскостях граней соседних граней:

• 

  Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра

• 

  3D модель разложения на 12 пирамид и 4 полукуба

Лука описывает еще четыре звездообразные формы: вторую и третью звездчатые (расширяющиеся наружу), одна из которых образована удалением второй из третьей, а другая - добавлением исходного ромбического додекаэдра к предыдущему.

Второй	В третьих
Звездчатый ромбический додекаэдр	Большой звездчатый ромбический додекаэдр

Связанные многогранники

В идеальной проекции с ориентацией на вершину два из тессеракт вершины (отмечены бледно-зеленым) проецируются точно в центр ромбического додекаэдра

Ромбический додекаэдр образует оболочку проекции первой вершины тессеракт до трех измерений. Есть ровно два способа разложения ромбического додекаэдра на четыре конгруэнтных ромбоэдры, давая восемь возможных ромбоэдров в качестве проекций тессерактов 8 кубических ячеек. Один набор проективных векторов: ты=(1,1,-1,-1), v=(-1,1,-1,1), ш=(1,-1,-1,1).

Ромбический додекаэдр образует максимальное поперечное сечение 24-элементный, а также формирует оболочку своей параллельной проекции, обращенной к вершине, в трех измерениях. Ромбический додекаэдр можно разложить на шесть конгруэнтных (но нерегулярных) квадратные дипирамиды встреча в единственной вершине в центре; они образуют изображения шести пар октаэдрических ячеек с 24 ячейками. Остальные 12 октаэдрических ячеек выступают на грани ромбического додекаэдра. Неравномерность этих изображений обусловлена ​​проективным искажением; грани 24-ячейки - правильные октаэдры в 4-пространстве.

Это разложение дает интересный метод построения ромбического додекаэдра: разрезать куб в шесть одинаковых квадратных пирамид и прикрепите их к граням второго куба. Треугольные грани каждой пары соседних пирамид лежат в одной плоскости и таким образом сливаются в ромбы. 24-элементная ячейка также может быть сконструирована аналогичным образом с использованием двух тессеракты.^[10]

Практическое использование

В космическом корабле колесо реакции макет, четырехгранный обычно используется конфигурация из четырех колес. Для колес, которые работают одинаково (с точки зрения максимального крутящего момента и максимального углового момента) в обоих направлениях вращения и по всем четырем колесам, максимальный крутящий момент и максимальный момент импульса для 3-осевой контроль отношения системы (с учетом идеализированных приводов) задаются путем проецирования тессеракт представление пределов крутящего момента или количества движения каждого колеса в трехмерном пространстве через матрицу осей колес 3 × 4; полученный трехмерный многогранник представляет собой ромбический додекаэдр.^[11] Такое расположение реактивных колес - не единственная возможная конфигурация (более простое расположение состоит из трех колес, установленных для вращения вокруг ортогональных осей), но оно дает преимущество в обеспечении избыточности для смягчения отказа одного из четырех колес (с ухудшенными общими характеристиками. доступный с оставшихся трех активных колес) и в обеспечении более выпуклой оболочки, чем куб, что приводит к меньшей зависимости маневренности от направления оси (с точки зрения привода / установки). Массовые характеристики космического корабля влияют на общий импульс и маневренность системы, поэтому уменьшение отклонения границы оболочки не обязательно приводит к увеличению однородности предпочтительных смещений осей (то есть даже при идеально распределенном пределе характеристик внутри подсистемы исполнительного механизма предпочтительные оси вращения не обязательно являются произвольными. на системном уровне).

Смотрите также

• Додекаэдр
• Ромбический триаконтаэдр
• Усеченный ромбический додекаэдр
• 24-элементный - 4D аналог ромбического додекаэдра
• Строительные системы архимеда
• Полностью усеченный ромбический додекаэдр

Рекомендации

1. Додекаэдрический кристалл В архиве 2009-04-12 в Wayback Machine. khulsey.com
2. Пердризет, Поль. (1930). "Le jeu alexandrin de l'icosaèdre". Bulletin de l'Institut français d'archéologie orientale. 30: 1–16.
3. Порядок в космосе: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр. 56–57.
4. Бранко Грюнбаум (2010). "Додекаэдр Билинского и различные параллелоэдры, зоноэдры, моноэдры, изозоноэдры и прочие эдры" (PDF). 32 (4): 5–15. Архивировано из оригинал (PDF) 2015-04-02.
5. H.S.M. Coxeter, "Правильные многогранники", Dover публикации, 1973.
6. Экономическая минералогия: практическое руководство по изучению полезных ископаемых, стр.8
7. http://mathworld.wolfram.com/Isohedron.html
8. http://loki3.com/poly/transforms.html
9. Люк Д. (1957). «Звёздчатые формы ромбического додекаэдра». Математический вестник. 41 (337): 189–194. Дои:10.2307/3609190. JSTOR  3609190.
10. https://www.youtube.com/watch?v=oJ7uOj2LRso
11. Маркли, Ф. Лэндис (сентябрь 2010 г.). «Огибающие максимального крутящего момента и импульса для опорных колес». ntrs.nasa.gov. Получено 2020-08-20.

дальнейшее чтение

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511569371. ISBN  978-0-521-54325-5. МИСТЕР  0730208. (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, Ромбический додекаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, Ромбический додекаэдр)

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн, Ромбический додекаэдр (Каталонский твердый ) в MathWorld.
• Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников

Компьютерные модели

• Связь ромбического триаконтаэдра и ромбического додекаэдра, Ромбический додекаэдр 5-составное соединение и Ромбический додекаэдр 5-составное соединение Шандор Кабаи, Демонстрационный проект Wolfram.

Бумажные проекты

• Ромбический Додекаэдр Календарь - сделать календарь из ромбических додекаэдров без клея
• Другой календарь ромбических додекаэдров - изготовлены путем плетения бумажных полосок

Практическое применение

• Институт Архимеда Примеры реальных проектов жилищного строительства с использованием этой геометрии