Додекаэдр Дисдякиса - Disdyakis dodecahedron

Додекаэдр Дисдякиса
(вращающийся и 3D модель)
Тип	Каталонский твердый
Обозначение Конвея	mC
Диаграмма Кокстера
Многоугольник лица	неравносторонний треугольник
Лица	48
Края	72
Вершины	26 = 6 + 8 + 12
Конфигурация лица	V4.6.8
Группа симметрии	Очас, B3, [4,3], *432
Двугранный угол	155° 4' 56" ${\displaystyle \arccos(-{\frac {71+12{\sqrt {2}}}{97}})}$
Двойной многогранник	усеченный кубооктаэдр
Характеристики	выпуклый, лицо переходный
сеть

В геометрия, а disdyakis додекаэдр, (также гексооктаэдр,^[1] гексакис октаэдр, куб октаки, восьмиугольник шестигранник, кисромбический додекаэдр^[2]), это Каталонский твердый с 48 гранями и двойным к Архимедов усеченный кубооктаэдр. Как таковой это лицо переходный но с неправильными полигонами граней. Он похож на дополненный ромбический додекаэдр. Замена каждой грани ромбического додекаэдра плоской пирамидой создает многогранник, который выглядит почти как додекаэдр дисдиакиса и имеет вид топологически эквивалентно ему. Более формально додекаэдр дисдиакиса - это Kleetope ромбического додекаэдра. Сеть ромбическая додекаэдрическая пирамида также имеет ту же топологию.

Симметрия

Он имеет O_час октаэдрическая симметрия. Его общие края представляют собой отражающие плоскости симметрии. Это также можно увидеть в угловой и срединной триангуляции правильного куба и октаэдра и ромбического додекаэдра.

Disdyakis додекаэдр

Дельтовидный икоситетраэдр

Ромбический додекаэдр

Шестигранник

Октаэдр

Сферический многогранник
(видеть вращающаяся модель )	Ортографические проекции от 2-х, 3-х и 4-х осей

Ребра сферического додекаэдра дисьякиса принадлежат 9 большие круги. Три из них образуют сферический октаэдр (серый на изображениях ниже). Остальные шесть образуют три квадрата Hosohedra (красный, зеленый и синий на изображениях ниже). Все они соответствуют зеркальные плоскости - бывший в двугранный [2,2], а последний в четырехгранный [3,3] симметрия.

Стереографические проекции
	2-кратный	3-кратный	4-кратный

Размеры

Если его самые маленькие края имеют длину а, его площадь поверхности и объем равны

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}}$

Грани представляют собой разносторонние треугольники. Их углы ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}{\sqrt {2}})\approx 87.201\,963\,767\,96^{\circ }}$, ${\displaystyle \arccos({\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}})\approx 55.024\,696\,148\,90^{\circ }}$ и ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}})\approx 37.773\,340\,083\,13^{\circ }}$.

Ортогональные проекции

Усеченный кубооктаэдр и его двойник - disdyakis додекаэдр может быть нарисован в ряде симметричных ортогональных проективных ориентаций. Между многогранником и двойственным ему вершины и грани меняются местами, а ребра перпендикулярны.

Проективный симметрия	[4]	[3]	[2]	[2]	[2]	[2]	[2]^+
Изображение
Двойной изображение

Связанные многогранники и мозаики

Многогранники, подобные додекаэдру дисьякиса, двойственны Октаэдр-бабочка и куб, содержащий лишние пары треугольных граней.[3]

Додекаэдр дисдякиса является одним из семейства двойников однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]^+ (432)	[1^+,4,3] = [3,3] (*332)		[3^+,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} s2{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час2{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3^1,1}
		=	=	=				= или же	= или же	=
Двойники к однородным многогранникам
V4^3	V3.8^2	V (3,4)^2	V4.6^2	V3^4	V3.4^3	V4.6.8	V3^4.4	V3^3	V3.6^2	V3^5

Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурация лица V4.6.2п. Эта группа является особенной тем, что у каждой вершины четное число ребер, они образуют биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и переходят в гиперболическую плоскость для любого п ≥ 7.

С четным числом граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все смежные грани имели разные цвета.

Каждая грань на этих областях также соответствует фундаментальной области группа симметрии с порядком 2,3,п зеркала в каждой вершине грани треугольника.

*п32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.6.2n [ v т е ]
Сим. *п32 [п,3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

*п42 мутации симметрии неусеченных мозаик: 4.8.2n [ v т е ]
Симметрия *п42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Усеченный фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Усеченный двойники	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Смотрите также

• Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра
• Триаконтаэдр Дисдякиса
• Kisrhombille плитка
• Ромбогексакрон большой - однородный двойственный многогранник с одинаковой топологией поверхности

Рекомендации

1. https://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms
2. Конвей, Симметрии вещей, стр.284.
3. Симметроэдры: многогранники из симметричного размещения правильных многоугольников Крейг С. Каплан

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, кисРомбический додекаэдр)

внешняя ссылка

• Эрик В. Вайсштейн, Додекаэдр Дисдякиса (Каталонский твердый ) в MathWorld.
• Додекаэдр Дисдиакиса (Hexakis Octahedron) Интерактивная модель многогранника