Усеченный икосододекаэдр - Truncated icosidodecahedron

Усеченный икосододекаэдрический граф
	5-кратная симметрия
Вершины	120
Края	180
Радиус	15
Диаметр	15
Обхват	4
Автоморфизмы	120 (А5×2)
Хроматическое число	2
Характеристики	Кубический, Гамильтониан, обычный, нулевой симметричный
	Таблица графиков и параметров

Усеченный икосододекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Равномерный многогранник
Элементы	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
Лица по сторонам	30{4}+20{6}+12{10}
Обозначение Конвея	bD или taD
Символы Шлефли	tr {5,3} или ${ displaystyle t { begin {Bmatrix} 5 3 end {Bmatrix}}}$
Символы Шлефли	т_0,1,2{5,3}
Символ Wythoff	2 3 5 \|
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	я_час, H₃, [5,3], (* 532), заказ 120
Группа вращения	я, [5,3]⁺, (532), заказ 60
Двугранный угол	6-10: 142.62° 4-10: 148.28° 4-6: 159.095°
Рекомендации	U₂₈, C₃₁, W₁₆
Характеристики	Полурегулярный выпуклый зоноэдр
Цветные лица	4.6.10 (Фигура вершины )
Триаконтаэдр Дисдякиса (двойственный многогранник )	Сеть

В геометрия, то усеченный икосододекаэдр является Архимедово твердое тело, один из тринадцати выпуклых изогональный непризматические твердые тела, состоящие из двух или более типов правильный многоугольник лица.

Имеет 62 лица: 30 квадраты, 20 обычных шестиугольники и 12 обычных декагоны. У него больше всего ребер и вершин среди всех Платоновых и Архимедовых тел, хотя курносый додекаэдр имеет больше лиц. Из всех вершинно-транзитивных многогранников он занимает наибольший процент (89,80%) объема сферы, в которую он вписан, очень узко превосходя курносый додекаэдр (89,63%) и малый Ромбикосододекаэдр (89,23%), и в меньшей степени опережая Усеченный икосаэдр (86,74%); он также имеет наибольший объем (206,8 кубических единиц), когда длина его ребра равна 1. Из всех вершинно-транзитивных многогранников, не являющихся призмами или антипризмами, он имеет наибольшую сумму углов (90 + 120 + 144 = 354 градуса). в каждой вершине; только призма или антипризма с более чем 60 сторонами будет иметь большую сумму. Поскольку каждая его грань имеет точечную симметрию (эквивалентно 180 ° вращающийся симметрии) усеченный икосододекаэдр представляет собой зоноэдр.

Имена

Название усеченный икосододекаэдр, первоначально предоставленный Иоганн Кеплер, вводит в заблуждение. Фактический усечение из икосододекаэдр имеет прямоугольники вместо квадраты. Этот неоднородный многогранник топологически эквивалент архимедова твердого тела.

Альтернативные взаимозаменяемые имена:

Усеченный икосододекаэдр (Иоганн Кеплер )
Ромбоусеченный икосододекаэдр (Магнус Веннингер^[1])
Большой ромбоикосододекаэдр (Роберт Уильямс,^[2] Питер Кромвель^[3])
Усеченный додекаэдр или же икосаэдр (Норман Джонсон )

Икосидодекаэдр и его усечение

Название большой ромбоикосододекаэдр относится к отношениям с (маленьким) ромбикосододекаэдр (сравните раздел Рассечение ).
Существует невыпуклый однородный многогранник с похожим названием невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр.

Площадь и объем

Площадь поверхности А и объем V усеченного икосододекаэдра реберной длины а находятся:^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle { begin {align} A & = 30 left (1 + { sqrt {3}} + { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} right) a ^ {2} && приблизительно 174.292 , 0303a ^ {2}. V & = left (95 + 50 { sqrt {5}} right) a ^ {3} && приблизительно 206.803 , 399a ^ {3}. end {выровнено}}}

Если набор всего 13 Архимедовы тела были построены с одинаковой длиной ребер, усеченный икосододекаэдр будет самым большим.

Декартовы координаты

Декартовы координаты для вершин усеченного икосододекаэдра с длиной ребра 2φ - 2 с центром в начале координат - это все даже перестановки из:^[4]

(±1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),

(±2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),

(±1/φ, ±φ², ±(−1 + 3φ)),

(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) и

(±φ, ±3, ±2φ),

куда φ = 1 + √5/2 это Золотое сечение.

Рассечение

Усеченный икосододекаэдр - это выпуклый корпус из ромбикосододекаэдр с кубоиды над его 30 квадратами, отношение высоты к основанию которых $φ$ . Остальное его пространство можно разделить на неоднородные купола, а именно 12 между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами и 20 между внутренними треугольниками и внешними шестиугольниками.

Альтернативное рассечение также имеет ромбикосододекаэдрическое ядро. Имеет 12 пятиугольные ротонды между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами. Оставшаяся часть - это тороидальный многогранник.

рассечение изображений
Эти изображения показывают ромбикосододекаэдр (фиолетовый) и усеченный икосододекаэдр (зеленый). Если длина их ребер равна 1, расстояние между соответствующими квадратами равно $φ$ . Остающийся после ядра тороидальный многогранник и двенадцать ротондов вырезаны.

Ортогональные проекции

Усеченный икосододекаэдр имеет семь особых ортогональные проекции, с центром на вершине, на трех типах ребер и трех типах граней: квадратной, шестиугольной и десятиугольной. Последние два соответствуют букве A₂ и H₂ Самолеты Кокстера.

Ортогональные проекции
В центре	Вершина	Край 4-6	Край 4-10	Край 6-10	Лицо квадрат	Лицо шестиугольник	Лицо десятиугольник
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[2]⁺	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной изображение

Сферические мозаики и диаграммы Шлегеля

Усеченный икосододекаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Диаграммы Шлегеля похожи, с перспективная проекция и прямые края.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Декагон -центрированный	Шестиугольник -центрированный	Квадрат -центрированный

Геометрические вариации

В Икосаэдрическая симметрия есть неограниченные геометрические вариации усеченный икосододекаэдр с изогональный лица. В усеченный додекаэдр, ромбикосододекаэдр, и усеченный икосаэдр как вырожденные предельные случаи.

Усеченный икосододекаэдрический граф

в математический поле теория графов, а усеченный икосододекаэдрический граф (или же большой ромбоикосододекаэдрический граф) это граф вершин и ребер усеченного икосододекаэдра, один из Архимедовы тела. Имеет 120 вершины и 180 ребер, и является нулевой симметричный и кубический Архимедов граф.^[5]

Диаграмма Шлегеля графики
3-х кратная симметрия	2-х кратная симметрия

Связанные многогранники и мозаики


Икосаэдр-бабочка и додекаэдр содержат две трапециевидные грани вместо квадрата.^[6]

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных узоров с вершиной фигуры (4.6.2п) и Диаграмма Кокстера-Дынкина . За п <6, членами последовательности являются всесторонне усеченный многогранники (зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. За п > 6, это мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченная трехгептагональная черепица.

п32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.6.2n* [ v т е ]
Сим. *п32 [п,3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
Сим. *п32 [п,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i