Курносый куб - Snub cube

Курносый кубический граф
	4-х кратная симметрия
Вершины	24
Края	60
Автоморфизмы	24
Характеристики	Гамильтониан, обычный
	Таблица графиков и параметров

Курносый куб
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Равномерный многогранник
Элементы	F = 38, E = 60, V = 24 (χ = 2)
Лица по сторонам	(8+24){3}+6{4}
Обозначение Конвея	СК
Символы Шлефли	sr {4,3} или ${ displaystyle s { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$
Символы Шлефли	ht_0,1,2{4,3}
Символ Wythoff	\| 2 3 4
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	О, 1/2B₃, [4,3]⁺, (432), заказ 24
Группа вращения	О, [4,3]⁺, (432), заказ 24
Двугранный угол	3-3: 153°14′04″ (153.23°) 3-4: 142°59′00″ (142.98°)
Рекомендации	U₁₂, C₂₄, W₁₇
Характеристики	Полурегулярный выпуклый хиральный
Цветные лица	3.3.3.3.4 (Фигура вершины )
Пятиугольный икоситетраэдр (двойственный многогранник )	Сеть

3D модель курносого куба

В геометрия, то курносый куб, или же курносый кубооктаэдр, является Архимедово твердое тело с 38 гранями: 6 квадраты и 32 равносторонние треугольники. Имеет 60 края и 24 вершины.

Это хиральный многогранник; то есть, он имеет две различные формы, которые зеркальные изображения (или "энантиоморфы ") друг друга. Объединение обеих форм является соединение двух курносых кубиков, а выпуклый корпус обоих наборов вершин является усеченный кубооктаэдр.

Кеплер впервые назвал это в латинский так как Cubus Simus в 1619 г. в его Harmonices Mundi. Х. С. М. Коксетер, отметив, что он может быть получен в равной степени из октаэдра, как и куб, назвал его курносый кубооктаэдр, с вертикальной удлиненной Символ Шлефли ${ displaystyle s scriptstyle { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$ , и представляющий чередование из усеченный кубооктаэдр, имеющий символ Шлефли ${ Displaystyle т scriptstyle { begin {Bmatrix} 4 3 end {Bmatrix}}}$ .

Размеры

Для курносого куба с длиной ребра 1 его площадь поверхности и объем равны:

{ displaystyle { begin {align} A & = 6 + 8 { sqrt {3}} && приблизительно 19.856 , 406 , 460 , 6 V & = { frac {8t / 3 + 2} { sqrt {2 (t ^ {2} -3)}}} && приблизительно 7.889 , 477 , 399 , 98 end {выровнено}}}

где т это постоянная трибоначчи

{ displaystyle t = { frac {1 + { sqrt [{3}] {19-3 { sqrt {33}}}} + { sqrt [{3}] {19 + 3 { sqrt {33} }}}}} {3}} приблизительно 1.839 , 286 , 755 , 21.}

Если исходный курносый куб имеет длину ребра 1, его двойная пятиугольный икоситетраэдр имеет длину стороны

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {t + 1}}} { приблизительно 0,593 , 465} quad { text {и}} quad { frac { sqrt {t + 1}} {2}} примерно 0,842 , 509.}

.

В целом объем курносого куба с длиной стороны ${ displaystyle a}$ можно найти с помощью этой формулы, используя т как константа трибоначчи выше:^[1]

${ displaystyle V = a ^ {3} cdot { frac {3 { sqrt {t-1}} + 4 { sqrt {t + 1}}} {3 { sqrt {2-t}}} } приблизительно 7.889 , 477 , 399 , 998a ^ {3}}$ .

Декартовы координаты

Декартовы координаты для вершины курносого куба - все даже перестановки из

(±1, ±1/т, ±т)

с четным числом знаков плюс, вместе со всеми нечетные перестановки с нечетным числом знаков плюс, где т ≈ 1,83929 - это постоянная трибоначчи. Если взять четные перестановки с нечетным числом знаков плюс и нечетные перестановки с четным числом знаков плюс, получится другой пренебрежительный куб - зеркальное отображение. Взяв их все вместе, получаем соединение двух курносых кубиков.

У этого курносого куба есть ребра длиной ${ Displaystyle альфа = { sqrt {2 + 4t-2t ^ {2}}}}$ , число, удовлетворяющее уравнению

{ Displaystyle альфа ^ {6} -4 альфа ^ {4} +16 альфа ^ {2} -32 = 0, ,}

и может быть записано как

{ displaystyle { begin {align} alpha & = { sqrt {{ frac {4} {3}} - { frac {16} {3 beta}} + { frac {2 beta} { 3}}}} приблизительно 1.609 , 72 beta & = { sqrt [{3}] {26 + 6 { sqrt {33}}}} end {выровнено}}}

Чтобы получить курносый куб с единичной длиной ребра, разделите все указанные выше координаты на значение α приведено выше.

Ортогональные проекции

Курносый куб не имеет точечная симметрия, поэтому вершина спереди не соответствует противоположной вершине сзади.

В курносый куб имеет два специальных ортогональные проекции с центром на двух типах граней: треугольники и квадраты, соответствуют букве A₂ и B₂ Самолеты Кокстера.

Ортогональные проекции
В центре	Лицо Треугольник	Лицо Квадрат	Край
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[3]	[4]⁺	[2]
Двойной

Сферическая черепица

Курносый куб также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Дуги большого круга (геодезические) на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция
	квадрат -центрированный

Геометрические отношения

Куб, ромбокубооктаэдр и курносый куб (анимированный расширение и скручивание )

Курносый куб можно создать, взяв шесть граней куба, вытягивая их наружу чтобы они больше не касались друг друга, затем слегка повернув их центры (все по часовой стрелке или все против часовой стрелки), пока промежутки между ними не будут заполнены равносторонние треугольники.

Равномерное чередование усеченного кубооктаэдра

Курносый куб также может быть получен из усеченный кубооктаэдр в процессе чередование. 24 вершины усеченного кубооктаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный курносому кубу; остальные 24 образуют его зеркальное отображение. В результате многогранник вершинно-транзитивный но не униформа.

«Улучшенный» курносый куб с немного меньшей квадратной гранью и немного большими треугольными гранями по сравнению с однородным курносым кубом Архимеда полезен в качестве сферический дизайн.^[2]

Связанные многогранники и мозаики

Курносый куб - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3^1,1}	т {3,4} т {3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	рр {4,3} s₂{3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	час₂{4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3^1,1}

		=	=	=				= или	= или	=

Двойники к однородным многогранникам
V4³	V3.8²	V (3,4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Этот полуправильный многогранник входит в последовательность пренебрежительно многогранники и мозаики с вершинной фигурой (3.3.3.3.п) и Диаграмма Кокстера – Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют (п32) rotational (вращательный) симметрия, находясь в евклидовой плоскости для п = 6 и гиперболическая плоскость для любых высших п. Можно считать, что серия начинается с n = 2, причем один набор граней вырождается в дигоны.

п32 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.3.3.n
Симметрия п32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
Симметрия п32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

В курносый куб является вторым в серии курносых многогранников и мозаик с вершина фигуры 3.3.4.3.п.

4п2 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.4.3.n [ v т е ]
Симметрия 4п2	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия 4п2	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞