Чередование (геометрия) - Alternation (geometry)
В геометрии чередование или частичное усечение, это операция на многоугольник, многогранник, черепица, или более высокое измерение многогранник который удаляет альтернативные вершины.[1]
Кокстер маркирует чередование с префиксом час, стоя для Hemi или половина. Поскольку при чередовании все грани многоугольника уменьшаются вдвое, его можно применить только к многогранникам со всеми четными гранями. Чередующееся квадратное лицо становится Digon, и будучи вырожденным, обычно сводится к единственному ребру.
В целом любой вершинно-однородный многогранник или мозаика с конфигурация вершины состоящий из всех четных элементов, может быть чередовались. Например, чередование вершинной фигуры с 2a.2b.2c является a.3.b.3.c.3 где тройка - количество элементов в этой вершинной фигуре. Частный случай - квадратные грани, порядок которых делится пополам на вырожденные дигоны. Так, например, куб 4.4.4 чередуется как 2.3.2.3.2.3 который сокращается до 3.3.3, будучи тетраэдр, и все 6 ребер тетраэдров также можно рассматривать как вырожденные грани исходного куба.
Курносый
А пренебрежительно (в Терминология Кокстера ) можно рассматривать как чередование из усеченный обычный или усеченный квазирегулярный многогранник. В общем случае многогранник можно пренебречь, если его усечение имеет только четные грани. Все усеченный исправленный многогранники можно обрезать, а не только правильные многогранники.
В курносая квадратная антипризма является примером общего пренебрежения и может быть представлен как ss {2,4} с квадратная антипризма, с {2,4}.
Альтернативные многогранники
Эта чередование операция применима также к многомерным многогранникам и сотам, но в целом результаты этой операции не будут одинаковыми. Пустоты, созданные удаленными вершинами, в общем случае не создают однородных фасетов, и обычно не хватает степеней свободы, чтобы позволить соответствующее изменение масштаба новых ребер. Однако существуют исключения, такие как вывод курносый 24-элементный от усеченный 24-элементный.
Примеры:
- Соты
- Альтернативный кубические соты это четырехгранно-октаэдрические соты.
- Альтернативный шестиугольные призматические соты это спиральные чередующиеся кубические соты.
- 4-многогранник
- Альтернативный усеченный 24-элементный это курносый 24-элементный.
- 4-соты:
- Альтернативный усеченные 24-ячеечные соты это курносый 24-элементный сотовый.
- А гиперкуб всегда можно переодеть в форму полугиперкуб.
- Куб → Тетраэдр (обычный)
→ 
- Тессеракт (8-элементный ) → 16 ячеек (обычный)
→ 
- Penteract → полусвободный (полурегулярный)
- Гексеракт → полугексеракт (униформа)
- ...
- Куб → Тетраэдр (обычный)
→ 
→ 
Измененные многогранники
Коксетер также использовал оператор а, который содержит обе половины, поэтому сохраняет исходную симметрию. Для четных правильных многогранников {2p, q} представляет собой составной многогранник с двумя противоположными копиями h {2p, q}. Для нечетных, больше трех правильных многогранников a {p, q} становится звездный многогранник.
Норман Джонсон расширил использование изменен оператор а{p, q}, б{p, q} для смешанный, и c{p, q} для преобразованный, так как 
, , и соответственно.
Составной многогранник, известный как звездчатый октаэдр может быть представлен как {4,3} (измененный куб ), и 
, 
.
Звездный многогранник, известный как малый дитригональный икосододекаэдр может быть представлен как {5,3} (измененный додекаэдр ), и 
, 
. Здесь все пятиугольники были преобразованы в пентаграммы, а треугольники были вставлены так, чтобы образовались свободные края.
Звездный многогранник, известный как большой дитригональный икосододекаэдр может быть представлен как {5 / 2,3} (измененный большой звездчатый додекаэдр ), и 
, 
. Здесь все пентаграммы были преобразованы обратно в пятиугольники, а треугольники были вставлены, чтобы занять свободные края.
Альтернативные усечения
Подобная операция может обрезать чередовать вершины, а не просто удалять их. Ниже представлен набор многогранников, которые можно создать из Каталонские твердые вещества. У них есть два типа вершин, которые можно поочередно обрезать. Усечение вершин «более высокого порядка» и обоих типов вершин дает следующие формы:
| имя | Оригинал | Альтернативный усечение | Усечение | Усеченное имя |
|---|---|---|---|---|
| Куб Двойник выпрямленного тетраэдра |  |  |  | Альтернативный усеченный куб |
| Ромбический додекаэдр Двойственный кубооктаэдра |  |  |  | Усеченный ромбический додекаэдр |
| Ромбический триаконтаэдр Двойник икосододекаэдра |  |  |  | Усеченный ромбический триаконтаэдр |
| Тетраэдр Триаки Двойник усеченного тетраэдра |  |  |  | Усеченный триакис тетраэдр |
| Октаэдр Триаки Двойник усеченного куба |  |  |  | Усеченный трехугольный октаэдр |
| Триакис икосаэдр Двойник усеченного додекаэдра |  |  | Усеченный триакис икосаэдр |
Смотрите также
использованная литература
- ^ Кокстер, Правильные многогранники, стр. 154–156. 8.6. Частичное усечение или чередование.
- Кокстер, H.S.M. Правильные многогранники, (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8
- Норман Джонсон Равномерные многогранники, Рукопись (1991)
- N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Вайсштейн, Эрик В. «Оскорбление». MathWorld.
- Ричард Клитцинг, Снабжения, чередующиеся фасетки и диаграммы Стотта-Кокстера-Дынкина, Симметрия: культура и наука, Vol. 21, № 4, 329-344, (2010) [1]
внешние ссылки
- Ольшевский, Георгий. «Чередование». Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинал 4 февраля 2007 г.
- Имена многогранников, курносый
| Семя | Усечение | Исправление | Bitruncation | Двойной | Расширение | Омнитуркация | Чередования | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
   | | | | | | |  | | |
 | |  |  |  |  |  |  |  |  |
| т0{p, q} {p, q} | т01{p, q} т {р, д} | т1{p, q} г {р, д} | т12{p, q} 2t {p, q} | т2{p, q} 2r {p, q} | т02{p, q} рр {р, q} | т012{p, q} tr {p, q} | ht0{p, q} ч {д, р} | ht12{p, q} s {q, p} | ht012{p, q} sr {p, q} |