Ромбический триаконтаэдр - Rhombic triacontahedron

Ромбический триаконтаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Каталонский твердый
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	jD
Тип лица	V3.5.3.5 ромб
Лица	30
Края	60
Вершины	32
Вершины по типу	20{3}+12{5}
Группа симметрии	ячас, H3, [5,3], (*532)
Группа вращения	Я, [5,3]^+, (532)
Двугранный угол	144°
Свойства	выпуклый, лицо переходный равногранный, изотоксальный, зоноэдр
Икосододекаэдр (двойственный многогранник )	Сеть

3D модель ромбического триаконтаэдра

В геометрия, то ромбический триаконтаэдр, иногда просто называют триаконтаэдр так как это самый распространенный тридцатигранный многогранник, это выпуклый многогранник с 30 ромбический лица. Имеет 60 края и 32 вершины двух типов. Это Каталонский твердый, а двойственный многогранник из икосододекаэдр. Это зоноэдр.

Грань ромбического триаконтаэдра. Длина диагоналей находятся в Золотое сечение.

Эта анимация показывает преобразование из куб к ромбическому триаконтаэдру, разделив квадратные грани на 4 квадрата и разделив средние ребра на новые ромбические грани.

Отношение длинной диагонали к короткой диагонали каждой грани в точности равно Золотое сечение, φ, таким образом острые углы по каждому лицу измерять 2 загар⁻¹(1/φ) = загар⁻¹(2), или примерно 63,43 °. Полученный таким образом ромб называется золотой ромб.

Будучи двойником Архимедово твердое тело, ромбический триаконтаэдр лицо переходный, имея в виду группа симметрии твердых актов переходно на множестве лиц. Это означает, что для любых двух граней A и B существует вращение или отражение твердого тела, которое покидает его, занимая ту же область пространства, перемещая грань A на грань B.

Ромбический триаконтаэдр является одним из девяти реберно-транзитивный выпуклые многогранники, остальные пять Платоновы тела, то кубооктаэдр, то икосододекаэдр, а ромбический додекаэдр.

Ромбический триаконтаэдр интересен еще и тем, что в его вершинах расположены четыре Платоновых тела. Он содержит десять тетраэдры, 5 кубики, икосаэдр и додекаэдр. Центры граней содержат пять октаэдры.

Его можно сделать из усеченный октаэдр разделив шестиугольные грани на 3 ромба:

Топологический ромбический триаконтаэдр в усеченный октаэдр

Декартовы координаты

Позволять ${\displaystyle \phi }$ быть Золотое сечение. 12 баллов, присвоенных ${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \phi )}$ а циклические перестановки этих координат являются вершинами правильный икосаэдр. Его двойная правильный додекаэдр, чьи ребра пересекаются с ребрами икосаэдра под прямым углом, имеет в качестве вершин 8 точек ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ вместе с 12 точками ${\displaystyle (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi )}$ и циклические перестановки этих координат. Все 32 точки вместе являются вершинами ромбического триаконтаэдра с центром в начале координат. Длина его краев ${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.175\,570\,504\,58}$. Его грани имеют диагонали с длиной. ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 2/\phi }$.

Габаритные размеры

Если длина ребра ромбического триаконтаэдра равна а, площадь поверхности, объем, радиус из вписанная сфера (касательная к каждой из граней ромбического триаконтаэдра) и средний радиус, который касается середины каждого ребра:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=12{\sqrt {5}}\,a^{2}&&\approx 26.8328a^{2}\\V&=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}&&\approx 12.3107a^{3}\\r_{\mathrm {i} }&={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a&&\approx 1.37638a\\r_{\mathrm {m} }&=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)\,a&&\approx 1.44721a\end{aligned}}}$

где φ это Золотое сечение.

В вдохновлять касается граней в центроидах их граней. Короткие диагонали принадлежат только ребрам вписанного правильного додекаэдра, а длинные диагонали включены только ребрам вписанного икосаэдра.

Рассечение

Ромбический триаконтаэдр можно разрезать на 20 частей. золотые ромбоэдры: 10 острых и 10 тупых.^[2][3]

10	10
Острая форма	Тупая форма

Ортогональные проекции

Ромбический триаконтаэдр имеет четыре положения симметрии: два с центрами вершин, одну среднюю грань и одну среднюю грань. В проекцию «10» встроены «толстый» ромб и «тощий» ромб, которые соединяются вместе для создания непериодической мозаики, часто называемой Плитка Пенроуза.

Ортогональные проекции

Проективный симметрия	[2]	[2]	[6]	[10]
Образ
Двойной образ

Звёздчатые

Ромбический гексеконтаэдр

Пример звёздчатости ромбического триаконтаэдра.

Дальнейшая информация: Ромбический гексеконтаэдр

Ромбический триаконтаэдр имеет 227 полностью опорных звездчатых элементов.^[4][5] Другая звездчатая форма ромбического триаконтаэдра - это соединение пяти октаэдров. Общее количество звёздчатых звёзд ромбического триаконтаэдра составляет 358 833 097.

Связанные многогранники

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия: [5,3], (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник является частью последовательности ромбические многогранники и мозаики с [п,3] Группа Кокстера симметрия. Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы также являются прямоугольниками.

Мутации симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n)^2
* n32	Сферический			Евклидово	Гиперболический
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Плитка
Конф.	В (3,3)^2	V (3,4)^2	В (3,5)^2	В (3,6)^2	В (3,7)^2	V (3.8)^2	V (3.∞)^2

• 

  Сферический ромбический триаконтаэдр

• 

  Ромбический триаконтаэдр с вписанным тетраэдром (красный) и куб (желтый).
  (Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)

• 

  Ромбический триаконтаэдр с вписанным додекаэдром (синий) и икосаэдр (фиолетовый).
  (Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)

• 

  Полностью усеченный ромбический триаконтаэдр

6-куб

Ромбический триаконтаэдр образует 32 вершины выпуклая оболочка одной проекции 6-куб до трех измерений.

Трехмерные базисные векторы [u, v, w]: u = (1, φ, 0, -1, φ, 0) v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1) w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Показано со скрытыми внутренними краями 20 из 32 внутренних вершин образуют додекаэдр, а остальные 12 образуют икосаэдр.

Использует

Пример использования ромбического триаконтаэдра в конструкции лампы

Датский дизайнер Хольгер Стрём использовал ромбический триаконтаэдр в качестве основы для дизайна своей сборной лампы IQ-light (IQ от «Переплетенные четырехугольники»).

STL модель ромбической триаконтаэдрической коробки, состоящей из шести панелей вокруг кубического отверстия - увеличьте масштаб модели, чтобы увидеть отверстие изнутри

Мастерица по дереву Джейн Костик строит коробки в форме ромбического триаконтаэдра.^[6] Простая конструкция основана на менее чем очевидной связи между ромбическим триаконтаэдром и кубом.

Роджер фон Ох "Ball of Whacks" имеет форму ромбического триаконтаэдра.

Ромбический триаконтаэдр используется как "d30 "тридцатигранная кость, иногда полезная в некоторых ролевые игры игры или другие места.

Кристофер Берд, соавтор Тайная жизнь растений написал статью для New Age Journal в мае 1975 года, популяризируя двойной икосаэдр и додекаэдр как «кристаллическую структуру Земли», модель «Земной (теллурической) Энергетической Решетки». Планета EarthStar Globe Билла Беккера и Бете А. Хагенс призвана показать «естественную геометрию Земли и геометрические отношения между священными местами, такими как Великая пирамида, Бермудский треугольник и остров Пасхи». Он напечатан в виде ромбического триаконтаэдра на 30 бриллиантах и ​​складывается в шар.^[7]

Смотрите также

• Золотой ромб
• Ромбильная плитка
• Усеченный ромбический триаконтаэдр

использованная литература

1. Стивен Вольфрам, "[1] " от вольфрам Альфа. Проверено 7 января 2013 года.
2. [2]
3. Рассечение ромбического триаконтаэдра
4. Поули, Г. С. (1975). «227 триаконтаэдров». Geometriae Dedicata. Kluwer Academic Publishers. 4 (2–4): 221–232. Дои:10.1007 / BF00148756. ISSN  1572-9168.
5. Мессер, П. В. (1995). «Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра и за его пределами». Структурная топология. 21: 25–46.
6. коробка триаконтаэдра - KO Sticks LLC
7. http://www.vortexmaps.com/grid-history.php

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511569371, ISBN  978-0-521-54325-5, Г-Н  0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, стр. 22, Ромбический триаконтаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 [3] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, Ромбический триаконтаэдр)

внешние ссылки

• Эрик В. Вайсштейн, Ромбический триаконтаэдр (Каталонский твердый ) в MathWorld.
• Ромбический триаконтраэдр - Интерактивная модель многогранника
• Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников
• Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра.
• Земной шар EarthStar - проекция карты ромбического триаконтаэдра
• IQ-свет - лампа датского дизайнера Хольгера Стрёма.
• Сделать свой собственный
• деревянная конструкция коробки ромбического триаконтаэдра - плотник Джейн Костик
• 120 ромбических триаконтаэдров, 30 + 12 ромбических триаконтаэдров, и 12 ромбических триаконтаэдров Шандор Кабаи, Демонстрационный проект Wolfram
• Змея, нарисованная на ромбическом триаконтаэдре.