Полуправильный многогранник - Semiregular polyhedron

Полуправильные многогранники:
Архимедовы тела, призмы, и антипризмы
Усеченный тетраэдр.pngCuboctahedron.pngУсеченный шестигранник.pngУсеченный октаэдр.png
Маленький ромбокубооктаэдр.pngБольшой ромбокубооктаэдр.pngSnub hexahedron.pngIcosidodecahedron.png
Усеченный додекаэдр.pngУсеченный икосаэдр.pngМаленький ромбоикосододекаэдр.pngБольшой ромбоикосододекаэдр.png
Курносый додекаэдр ccw.pngТреугольная призма.pngПятиугольная призма.pngГексагональная призма.png
Призма 7.pngSquare antiprism.pngПятиугольная антипризма.pngГексагональная антипризма.png

Период, термин полуправильный многогранник (или же полуправильный многогранник) по-разному используется разными авторами.

В своем первоначальном определении это многогранник с правильный многоугольник лица, а группа симметрии который переходный на его вершины; сегодня это чаще называют равномерный многогранник (это следует из Торольд Госсет определение более общего полурегулярного многогранник ).[1][2] Эти многогранники включают:

Эти полуправильные тела может быть полностью определен конфигурация вершины: список граней по количеству сторон в порядке их расположения вокруг вершины. Например: 3.5.3.5 представляет икосододекаэдр, который чередует два треугольники и два пятиугольники вокруг каждой вершины. В отличие: 3.3.3.5 это пятиугольная антипризма. Эти многогранники иногда называют вершинно-транзитивный.

С Госсет, другие авторы использовали термин полуправильный по-разному по отношению к многогранникам высшей размерности. Э. Л. Элте [3] дал определение, которое Кокстер счел слишком искусственным. Сам Коксетер окрестил цифры Госсета униформа, и только весьма ограниченное подмножество классифицируется как полуправильное.[4]

Третьи пошли по противоположному пути, отнесли большее количество многогранников к полурегулярным. К ним относятся:

  • Три набора звездные многогранники которые соответствуют определению Госсета, аналогичному трем выпуклым множествам, перечисленным выше.
  • В двойники описанных выше полуправильных тел, утверждая, что, поскольку двойственные многогранники обладают той же симметрией, что и исходные, их также следует рассматривать как полуправильные. Эти двойники включают Каталонские твердые вещества, то выпуклый дипирамиды и антидипирамиды или трапецоэдры, и их невыпуклые аналоги.

Еще один источник путаницы заключается в том, что Архимедовы тела определены, опять же с разными интерпретациями.

Определение полурегулярности Госсета включает фигуры более высокой симметрии, обычный и квазирегулярный многогранники. Некоторые более поздние авторы предпочитают говорить, что они не являются полурегулярными, потому что они более регулярны, чем это - равномерные многогранники тогда говорят, что они включают регулярные, квазирегулярные и полурегулярные. Эта система именования работает хорошо и устраняет многие (но далеко не все) недоразумения.

На практике даже самые выдающиеся авторитеты могут запутаться, определяя данный набор многогранников как полуправильные и / или Архимедов, а затем предполагая (или даже заявляя) другой набор в последующих обсуждениях. Предположение, что сформулированное определение применимо только к выпуклым многогранникам, вероятно, является наиболее частой ошибкой. Кокстер, Кромвель[5] и Канди и Роллетт[6] все виноваты в таких оплошностях.

Основные пометки

Во многих произведениях полуправильный многогранник используется как синоним Архимедово твердое тело.[7] Например, Cundy & Rollett (1961).

Мы можем различать лицевые регулярные и вершинно-транзитивный фигуры, основанные на Госсе, и их вертикально-регулярные (или верси-регулярные) и лицево-транзитивные двойники.

Coxeter et al. (1954) используют термин полуправильные многогранники классифицировать однородные многогранники с Символ Wythoff формы p q | р, определение, охватывающее только шесть из архимедовых тел, а также обычные призмы (но нет правильные антипризмы) и многочисленные невыпуклые тела. Позже Коксетер (1973) цитирует определение Госсета без комментариев, тем самым принимая его косвенно.

Эрик Вайсштейн, Роберт Уильямс и другие используют этот термин для обозначения выпуклый равномерные многогранники за исключением пяти правильные многогранники - включая архимедовы тела, униформа призмы, а униформа антипризмы (перекрывается кубом как призма и правильным октаэдром как антипризма).[8][9]

Питер Кромвель (1997) пишет в сноске к стр. 149, что «в современной терминологии« полуправильные многогранники »относятся к архимедовым и Каталонский (Архимедовы двойственные) твердые тела ». На странице 80 он описывает тринадцать архимедов как полуправильные, а на страницах 367 и далее он обсуждает каталонцев и их отношение к« полурегулярным »архимедам. Подразумевается, что каталонцы не являются полурегулярными, что эффективно противоречит (или по крайней мере сбивает с толку) определению, которое он дал в предыдущей сноске. Он игнорирует невыпуклые многогранники.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Торольд Госсет О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Посланник математики, Макмиллан, 1900 г.
  2. ^ Кокстер, H.S.M. Правильные многогранники, 3-е изд., Дувр (1973)
  3. ^ Элте, Э. Л. (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств, Гронинген: Университет Гронингена
  4. ^ Кокстер, H.S.M., Лонге-Хиггинс, М. и Миллер, J.C.P. Равномерные многогранники, Философские труды Лондонского королевского общества 246 А (1954), стр. 401-450. (Архив JSTOR, требуется подписка).
  5. ^ Кромвель, П. Многогранники, Издательство Кембриджского университета (1977)
  6. ^ Канди Х.М., Роллетт А.П. Математические модели, 2-е изд. Издательство Оксфордского университета (1961)
  7. ^ "Архимед". (2006). В Британская энциклопедия. Получено 19 декабря 2006, с Энциклопедия Britannica Online (требуется подписка).
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Полуправильный многогранник». MathWorld. Определение здесь не исключает случай, когда все грани конгруэнтны, но Платоновы тела не входят в перечень статей.
  9. ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Глава 3: Многогранники)

внешняя ссылка