Мидсфера - Midsphere

Многогранник и его средняя сфера. Красные кружки - границы сферические крышки внутри которого поверхность сферы можно увидеть из каждой вершины.
Куб и двойственный октаэдр с общей средой

В геометрия, то средняя сфера или же межсфера из многогранник это сфера касающийся каждого край многогранника. То есть он касается любого заданного края ровно в одной точке. Не каждый многогранник имеет среднюю сферу, но для каждого многогранника существует комбинаторно эквивалентный многогранник, канонический многогранник, у которого есть мидсфера.

Мидсфера называется так потому, что для многогранников с средней сферой вписанная сфера (который касается каждой грани многогранника) и ограниченная сфера (который касается каждой вершины), средняя сфера находится посередине между двумя другими сферами. Радиус средней сферы называется средний радиус.

Примеры

В равномерные многогранники, в том числе обычный, квазирегулярный и полуправильный многогранники и их двойники у всех есть промежуточные сферы. В правильных многогранниках вписанная сфера, средняя сфера и описанная сфера существуют и являются концентрический.[1]

Касательные круги

Если О это середина многогранника п, то пересечение О с любым лицом п это круг. Таким образом образовались круги на всех гранях п образовать систему кругов на О которые касаются именно тогда, когда грани, на которых они лежат, имеют общее ребро.

Вдвойне, если v является вершиной п, то есть конус который имеет вершину в v и это касается О по кругу; этот круг образует границу сферическая крышка внутри которого поверхность сферы находится видимый из вершины. То есть круг - это горизонт средней сферы, если смотреть из вершины. Образованные таким образом круги касаются друг друга именно тогда, когда вершины, которым они соответствуют, соединены ребром.

Двойственность

Если многогранник п имеет среднюю часть О, то полярный многогранник относительно О также имеет О как его средняя сфера. Плоскости граней полярного многогранника проходят через окружности на О касательные к конусам, имеющим вершины п как их вершины.[2]

Канонический многогранник

Одна более сильная форма теорема об упаковке кругов, о представлении плоских графов системами касательных окружностей, утверждает, что каждый многогранный граф может быть представлен многогранником с серединой сферы. Окружности горизонта канонического многогранника можно преобразовать с помощью стереографическая проекция, в набор кругов в Евклидова плоскость которые не пересекаются друг с другом и касаются друг друга именно тогда, когда вершины, которым они соответствуют, смежны.[3] Напротив, существуют многогранники, которые не имеют эквивалентной формы с вписанной или описанной сферой.[4]

Любые два многогранника с одинаковым лицевая решетка и одна и та же средняя сфера может быть преобразована друг в друга с помощью проективное преобразование трехмерного пространства, которое оставляет среднюю сферу в том же положении. Ограничение этого проективного преобразования средней сферой есть Преобразование Мёбиуса.[5] Есть уникальный способ выполнить это преобразование, так что средняя сфера является единичная сфера и так что центроид из точек касания находится в центре сферы; это дает представление данного многогранника, единственное с точностью до соответствие, то канонический многогранник.[6] В качестве альтернативы преобразованный многогранник, который максимизирует минимальное расстояние вершины от средней сферы, можно найти в линейное время; выбранный таким образом канонический многогранник имеет максимальный симметрия среди всех выборов канонического многогранника.[7]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Кокстер (1973) утверждает это для правильных многогранников; Канди и Роллетт 1961 для архимедовых многогранников.
  2. ^ Кокстер (1973).
  3. ^ Шрамм (1992); Сакс (1994). Шрамм заявляет, что существование эквивалентного многогранника с средней сферой утверждалось Кебе (1936), но Кёбе доказал этот результат только для многогранников с треугольными гранями. Шрамм приписывает полный результат Уильям Терстон, но соответствующая часть лекций Терстона [1] снова только явно указывает результат для триангулированных многогранников.
  4. ^ Шрамм (1992); Стейниц (1928).
  5. ^ Сакс (1994).
  6. ^ Зиглер (1995).
  7. ^ Берн и Эппштейн (2001).

Рекомендации

  • Bern, M .; Эппштейн, Д. (2001), «Оптимальные преобразования Мёбиуса для визуализации информации и построения сеток», 7-й Worksh. Алгоритмы и структуры данных, Конспект лекций по информатике, 2125, Провиденс, Род-Айленд: Springer-Verlag, стр. 14–25, arXiv:cs.CG/0101006, Дои:10.1007/3-540-44634-6_3, S2CID  3266233.
  • Кокстер, Х. С. М. (1973), «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение», Правильные многогранники (3-е изд.), Довер, стр.16–17, ISBN  0-486-61480-8.
  • Cundy, H.M .; Роллетт, А. П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 117.
  • Кёбе, Пол (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Бер. Sächs. Акад. Wiss. Лейпциг, Math.-Phys. Kl., 88: 141–164.
  • Сакс, Хорст (1994), "Графы монет, многогранники и конформное отображение", Дискретная математика, 134 (1–3): 133–138, Дои:10.1016 / 0012-365X (93) E0068-F, МИСТЕР  1303402.
  • Шрамм, Одед (1992), «Как запереть яйцо» (PDF), Inventiones Mathematicae, 107 (3): 543–560, Bibcode:1992InMat.107..543S, Дои:10.1007 / BF01231901, МИСТЕР  1150601, S2CID  189830473.
  • Стейниц, Э. (1928 г.), «Убер изопериметрическая проблема с конвексом полядерн», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 159: 133–143.
  • Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Тексты для выпускников по математике, 152, Springer-Verlag, стр. 117–118, ISBN  0-387-94365-X.

внешняя ссылка