Идеальный многогранник - Ideal polyhedron

Идеальный правильный октаэдр в Модель шара Пуанкаре гиперболического пространства (бесконечно удаленная сфера не показана). Все двугранные углы этой формы прямые углы.

Анимация идеала икосаэдр в Модель Кляйна гиперболического пространства

В трехмерном гиперболическая геометрия, идеальный многогранник это выпуклый многогранник все чьи вершины находятся идеальные точки, указывает "на бесконечность", а не внутрь трехмерного гиперболическое пространство. Его можно определить как выпуклый корпус конечного множества идеальных точек. Идеальный многогранник имеет идеальные многоугольники в качестве лица, пересекающиеся по линиям гиперболического пространства.

В Платоновы тела и Архимедовы тела имеют идеальные версии с той же комбинаторной структурой, что и их более знакомые евклидовы версии. Несколько униформ гиперболические соты разделите гиперболическое пространство на ячейки этих форм, что очень похоже на знакомое деление евклидова пространства на кубы. Однако не все многогранники могут быть представлены как идеальные многогранники - многогранник может быть идеальным только тогда, когда он может быть представлен в евклидовой геометрии со всеми его вершинами на ограниченная сфера. С помощью линейное программирование, можно проверить, имеет ли данный многогранник идеальную версию, в полиномиальное время.

Каждые два идеальных многогранника с одинаковым числом вершин имеют одинаковую площадь поверхности, и можно вычислить объем идеального многогранника, используя Функция Лобачевского. Поверхность идеального многогранника образует гиперболическое многообразие, топологически эквивалентный проколотой сфере, и каждое такое многообразие образует поверхность единственного идеального многогранника.

Примеры и контрпримеры

Идеальный многогранник может быть построен как выпуклая оболочка конечного множества идеальных точек гиперболического пространства, если не все точки лежат на одной плоскости. Полученная форма является пересечением всех замкнутых полупространства которые имеют заданные идеальные точки в качестве предельных точек. В качестве альтернативы любой выпуклый евклидов многогранник, имеющий ограниченная сфера может быть интерпретирован как идеальный многогранник, интерпретируя внутреннюю часть сферы как Модель Кляйна для гиперболического пространства.^[1] В модели Клейна каждый евклидов многогранник, заключенный в сферу, представляет собой гиперболический многогранник, а каждый евклидов многогранник со своими вершинами на сфере представляет собой идеальный гиперболический многогранник.^[2]

Каждый изогональный выпуклый многогранник (один с симметриями, соединяющими каждую вершину с каждой другой вершиной) может быть представлен как идеальный многогранник с соблюдением его симметрии, потому что он имеет описанную сферу с центром в центре симметрии многогранника.^[3] В частности, это означает, что Платоновы тела и Архимедовы тела все имеют идеальные формы. Однако другой высокосимметричный класс многогранников Каталонские твердые вещества, не все имеют идеальные формы. Каталонские тела являются двойными многогранниками по отношению к архимедовым телам и имеют симметрии, соединяющие любую грань с любой другой гранью. Каталонские твердые вещества, которые не могут быть идеальными, включают ромбический додекаэдр и триакис тетраэдр.^[4]

Удаление некоторых троек вершин из триакисного тетраэдра разделяет оставшиеся вершины на несколько компонент связности. Когда такого трехвершинного разделения не существует, многогранник называется 4-связный. Каждый четырехсвязный многогранник имеет представление в виде идеального многогранника; например, это верно для тетракис шестигранник, еще одно каталонское твердое тело.^[5]

Усечение одна вершина куба дает просто многогранник (один с тремя ребрами на вершину), который не может быть реализован как идеальный многогранник: Теорема Микеля о шести кругах, если семь из восьми вершин куба идеальны, восьмая вершина также идеальна, и поэтому вершины, созданные ее усечением, не могут быть идеальными. Существуют также многогранники с четырьмя ребрами на вершину, которые не могут быть реализованы как идеальные многогранники.^[6] Если симплициальный многогранник (один со всеми треугольниками граней) имеет все степени вершин от четырех до шести (включительно), тогда он имеет идеальное представление, но триакисный тетраэдр симплициальный и неидеальный, а приведенный выше 4-регулярный неидеальный пример показывает, что для несимплициальные многогранники, наличие всех степеней в этом диапазоне не гарантирует идеальной реализации.^[7]

Характеристики

Измерения

Каждый идеальный многогранник с ${\displaystyle n}$ вершины имеют поверхность, которую можно разделить на ${\displaystyle 2n-4}$ идеальные треугольники,^[8] каждый с площадью ${\displaystyle \pi }$.^[9] Следовательно, площадь поверхности точно равна ${\displaystyle (2n-4)\pi }$.

В идеальном многограннике все углы граней и все телесные углы при вершинах равны нулю. Тем не менее двугранные углы на ребрах идеального многогранника отличны от нуля. В каждой вершине дополнительные углы двугранных углов, инцидентных этой вершине, в сумме ровно ${\displaystyle 2\pi }$.^[2] Этот факт можно использовать для расчета самих двугранных углов для правильной или ребро-симметричный идеальный многогранник (в котором все эти углы равны), подсчитывая, сколько ребер пересекаются в каждой вершине: идеальный правильный тетраэдр, куб или додекаэдр с тремя ребрами на вершину имеет двугранные углы ${\displaystyle 60^{\circ }=\pi /3=\pi (1-{\tfrac {2}{3}})}$, идеальный правильный октаэдр или кубооктаэдр, с четырьмя ребрами на вершину, имеет двугранные углы ${\displaystyle 90^{\circ }=\pi /2=\pi (1-{\tfrac {2}{4}})}$, а идеальный правильный икосаэдр с пятью ребрами на вершину имеет двугранные углы ${\displaystyle 108^{\circ }=3\pi /5=\pi (1-{\tfrac {2}{5}})}$.^[10]

Объем идеальный тетраэдр можно выразить через Функция Clausen или же Функция Лобачевского его двугранных углов, а объем произвольного идеального многогранника можно найти, разбив его на тетраэдры и просуммировав объемы тетраэдров.^[11]

В Инвариант Дена многогранника обычно находится путем комбинирования длин ребер и двугранных углов многогранника, но в случае идеального многогранника длины ребер бесконечны. Этой трудности можно избежать, используя горосфера к обрезать каждая вершина, оставляя конечную длину вдоль каждого края. Результирующая форма сама по себе не является многогранником, потому что усеченные грани не плоские, но она имеет конечную длину ребер, и ее инвариант Дена можно вычислить обычным способом, игнорируя новые ребра, где усеченные грани встречаются с исходными гранями многогранника. . Из-за способа определения инварианта Дена и ограничений на двугранные углы, пересекающиеся в одной вершине идеального многогранника, результат этого вычисления не зависит от выбора орисфер, используемых для усечения вершин.^[12]

Комбинаторная структура

В качестве Эрнст Стейниц  (1928 ) доказано, что максимальный независимый набор любого идеального многогранника (максимально возможное подмножество несмежных вершин) должно иметь не более половины вершин многогранника. Он может иметь ровно половину только тогда, когда вершины могут быть разбиты на два независимых множества одинакового размера, так что граф многогранника является сбалансированным. двудольный граф, как и для идеального куба.^[13] Более того, график любого идеального многогранника является 1-жесткий, что означает, что для любого ${\displaystyle k}$, удаление ${\displaystyle k}$ вершин графа остается не более ${\displaystyle k}$ связанные компоненты.^[14] Например, ромбический додекаэдр является двудольным, но имеет независимое множество с более чем половиной его вершин, а триакис тетраэдр имеет независимый набор ровно из половины вершин, но не является двудольным, поэтому ни одна из них не может быть реализована как идеальный многогранник.^[13]

Характеристика и признание

Не все выпуклые многогранники комбинаторно эквивалентны идеальным многогранникам. Попытка геометрической характеристики вписанных многогранников безуспешна. Рене Декарт в его рукописи 1630 г. De solidorum elementis.^[15] Вопрос о нахождении комбинаторной характеристики идеальных многогранников, аналогичной Теорема Стейница характеризующий выпуклые евклидовы многогранники, был поднят Якоб Штайнер  (1832 ); числовая (а не комбинаторная) характеризация была предоставлена Ходжсон, Ривин и Смит (1992). Их характеристика основана на том, что двугранные углы идеального многогранника, инцидентного одной идеальной вершине, должно иметь дополнительные углы эта сумма ровно ${\displaystyle 2\pi }$, а дополнительные углы, пересекаемые любыми Кривая Иордании на поверхности многогранника, имеющего более одной вершины с обеих сторон, должна быть больше. Например, для идеального куба двугранные углы равны ${\displaystyle \pi /3}$ и их добавки ${\displaystyle 2\pi /3}$. Сумма трех дополнительных углов в одной вершине равна ${\displaystyle 2\pi }$ но четыре угла, пересекаемые кривой на полпути между двумя противоположными гранями, составляют в сумме ${\displaystyle 8\pi /3>2\pi }$, а другие кривые пересекают еще большее количество этих углов с еще большими суммами. Ходжсон, Ривин и Смит (1992) показать, что выпуклый многогранник эквивалентен идеальному многограннику тогда и только тогда, когда его ребрам можно присвоить числа с одинаковыми свойствами: все эти числа лежат между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \pi }$, они складываются в ${\displaystyle 2\pi }$ в каждой вершине, и они в сумме составляют более ${\displaystyle 2\pi }$ на каждом не-лицевом цикле двойственный граф. Когда такое сопоставление существует, существует единственный идеальный многогранник, двугранные углы которого являются дополнительными к этим числам. Вследствие этой характеристики реализуемость как идеального многогранника может быть выражена как линейная программа с экспоненциально большим количеством ограничений (по одному для каждого нефимицевого цикла) и протестированы в полиномиальное время с использованием алгоритм эллипсоида.^[16]

Более комбинаторную характеристику дал Дилленкур и Смит (1995) для особого случая простые многогранники, многогранники только с тремя гранями и тремя ребрами, пересекающимися в каждой (идеальной) вершине. Согласно их характеристике простой многогранник идеален или вписан тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий: либо график многогранника есть двудольный граф и это двойственный граф является 4-связный, или это 1-сверхжесткий граф. В этом состоянии 1-сверхтвердость является разновидностью графическая стойкость; это означает, что для каждого набора ${\displaystyle S}$ более чем одной вершины графа, удаление ${\displaystyle S}$ из графа остается количество компонент связности, которое строго меньше, чем ${\displaystyle |S|}$. На основе этой характеристики они нашли линейное время комбинаторный алгоритм проверки реализуемости простых многогранников как идеальных многогранников.^[17]

Соты

Соты из идеальных правильных многогранников

тетраэдр порядка 6

порядка-6 куб.

октаэдрический порядок 4

додекаэдр порядка 6

Поскольку идеальный правильный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр имеют двугранные углы, которые являются целыми долями ${\displaystyle 2\pi }$, все они могут выложить плитку гиперболическое пространство, образуя регулярное соты.^[18] Этим они отличаются от обычных евклидовых тел, среди которых только куб может замощить пространство.^[18] Идеальный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр образуют соответственно четырехгранные соты порядка 6, порядка-6 кубических сот, октаэдрические соты порядка 4, и додекаэдрические соты порядка 6; здесь порядок относится к количеству ячеек, встречающихся на каждом краю. Однако идеальный икосаэдр не укладывает пространство таким же образом.^[18]

Разложение Эпштейна – Пеннера, конструкция Д. Б. А. Эпштейн и Р. К. Пеннер  (1988 ), можно использовать для разложения любых гиперболическое 3-многообразие с каспами в идеальные многогранники и представить многообразие как результат склейки этих идеальных многогранников.^[19] Каждое многообразие, которое можно представить таким образом, имеет конечное число представлений.^[20] В универсальный чехол многообразия наследует такое же разбиение, которое образует соты из идеальных многогранников. Примеры коллекторов с острием, приводящие таким образом к сотам, естественно возникают как узел дополняет из гиперболические ссылки, которые имеют перегиб для каждого компонента ссылки. Например, дополнение узел восьмерка таким образом ассоциируется с тетраэдрическими сотами порядка 6,^[21] и дополнение Кольца Борромео таким же образом ассоциируется с октаэдрическими сотами четвертого порядка.^[22] Эти две соты и еще три с использованием идеального кубооктаэдр, треугольная призма, и усеченный тетраэдр, возникают при изучении Группы Бьянки, и происходят из многообразий с каспами, образованных как факторы гиперболического пространства подгруппами групп Бьянки. Эти же многообразия также можно интерпретировать как дополнительные звенья.^[23]

Поверхностный коллектор

Поверхность идеального многогранника (без его вершин) образует многообразие, топологически эквивалентный проколотой сфере, с однородной двумерной гиперболической геометрией; складки поверхности при ее вхождении в гиперболическое пространство не обнаруживаются как складки во внутренней геометрии поверхности. Поскольку эту поверхность можно разбить на идеальные треугольники, его общая площадь конечна. Наоборот и аналогично Теорема единственности Александрова, каждое двумерное многообразие с однородной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное сфере с конечными точками прокола, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника. (Как и в случае с теоремой Александрова, такие поверхности должны содержать идеальные дигедра.)^[24] С этой точки зрения теория идеальных многогранников тесно связана с дискретными приближениями к конформные карты.^[25]

Поверхности идеальных многогранников также можно рассматривать более абстрактно как топологические пространства, образованные склейкой идеальные треугольники к изометрия по их краям. Для каждой такой поверхности и каждой замкнутой кривой, которая не просто огибает одну вершину многогранника (один или несколько раз), не разделяя никакие другие, существует уникальная геодезический на поверхности, которая гомотопный к заданной кривой. В этом отношении идеальные многогранники отличаются от евклидовых многогранников (и от их евклидовых моделей Клейна): например, на евклидовом кубе любая геодезическая может пересекать не более двух ребер, инцидентных одной вершине последовательно, прежде чем пересечь неинцидентное ребро. , но геодезические на идеальном кубе этим не ограничиваются.^[26]

Смотрите также

• Канонический многогранник, многогранник, каждое ребро которого касается общей сферы

Примечания

1. Терстон (1997), Пример 3.3.7 (дополнение узла восьмеркой), с. 128.
2. Ходжсон, Ривин и Смит (1992).
3. Леопольд (2014), п. 3.
4. Падрол и Циглер (2016); видеть § Комбинаторная структура.
5. Дилленкур и Смит (1996).
6. Дилленкур и Эппштейн (2003).
7. Дилленкур и Смит (1996); Падрол и Циглер (2016) процитируйте этот результат, но неправильно опустите квалификатор, который имеет место только для симплициальных многогранников.
8. См., Например, стр. 272 из Фейес Тот (1981).
9. Терстон (1997), Предложение 2.4.12, с. 83.
10. Кокстер (1956).
11. Чо и Ким (1999).
12. Дюпон и Сах (1982); Coulson et al. (2000). Дюпон и Сах приписывают эту конструкцию Уильям Терстон.
13. Стейниц (1928); Падрол и Циглер (2016).
14. Дилленкур (1990); Падрол и Циглер (2016).
15. Федерико (1982), п. 52.
16. Ходжсон, Ривин и Смит (1992); Ривин (1996); Герито (2004).
17. Дилленкур и Смит (1995).
18. Кокстер (1956); Эпштейн и Пеннер (1988); Нельсон и Сегерман (2017).
19. Эпштейн и Пеннер (1988).
20. Акиёси (2001).
21. Хэтчер (1983); Эпштейн и Пеннер (1988).
22. Хэтчер (1983); Эбботт (1997).
23. Хэтчер (1983).
24. Ривин (1994); Спрингборн (2020).
25. Бобенко, Пинкал и Спрингборн (2015).
26. Charitos (1996).

Рекомендации

• Эбботт, Стив (июль 1997 г.), "Обзор Не узел и Дополнение к Not Knot", Математический вестник, 81 (491): 340–342, Дои:10.2307/3619248, JSTOR  3619248
• Акиёси, Хиротака (2001), "Конечность полиэдральных разложений гиперболических многообразий с каспами, полученных методом Эпштейна – Пеннера", Труды Американского математического общества, 129 (8): 2431–2439, Дои:10.1090 / S0002-9939-00-05829-9, МИСТЕР  1823928
• Бобенко, Александр I .; Пинкал, Ульрих; Спрингборн, Борис А. (2015), "Дискретные конформные отображения и идеальные гиперболические многогранники", Геометрия и топология, 19 (4): 2155–2215, Дои:10.2140 / gt.2015.19.2155, МИСТЕР  3375525
• Charitos, C. (1996), "Замкнутые геодезические на идеальных многогранниках размерности 2", Журнал математики Роки-Маунтин, 26 (2): 507–521, Дои:10.1216 / rmjm / 1181072071, МИСТЕР  1406493
• Чо, Юнхи; Ким, Хюк (1999), "О формуле объема для гиперболических тетраэдров", Дискретная и вычислительная геометрия, 22 (3): 347–366, Дои:10.1007 / PL00009465, МИСТЕР  1706606
• Коулсон, Дэвид; Гудман, Оливер А .; Ходжсон, Крейг Д.; Нойман, Уолтер Д. (2000), «Вычисление арифметических инвариантов трехмерных многообразий», Экспериментальная математика, 9 (1): 127–152, Дои:10.1080/10586458.2000.10504641, МИСТЕР  1758805, S2CID  1313215
• Кокстер, Х. С. М. (1956), "Регулярные соты в гиперболическом пространстве", Труды Международного конгресса математиков, 1954, Амстердам, т. III, Амстердам: Северная Голландия, стр. 155–169, МИСТЕР  0087114
• Дилленкур, Майкл Б. (1990), "Триангуляции прочности и Делоне", Дискретная и вычислительная геометрия, 5 (6): 575–601, Дои:10.1007 / BF02187810, МИСТЕР  1067787
• Дилленкур, Майкл Б.; Эппштейн, Дэвид (2003), «Неописуемый 4-правильный многогранник», Электронные геометрические модели, Арт. № 2003.08.001
• Дилленкур, Майкл Б.; Смит, Уоррен Д. (1995), «Алгоритм линейного времени для проверки вписываемости трехвалентных многогранников», Международный журнал вычислительной геометрии и приложений, 5 (1–2): 21–36, Дои:10.1142 / S0218195995000039, МИСТЕР  1331174
• Дилленкур, Майкл Б.; Смит, Уоррен Д. (1996), «Теоретико-графовые условия вписываемости и реализуемости Делоне», Дискретная математика, 161 (1–3): 63–77, Дои:10.1016 / 0012-365X (95) 00276-3, МИСТЕР  1420521
• Dupont, Johan L .; Сах, Чи Хан (1982), "Ножницы сравнения. II", Журнал чистой и прикладной алгебры, 25 (2): 159–195, Дои:10.1016/0022-4049(82)90035-4, МИСТЕР  0662760
• Эпштейн, Д. Б. А.; Пеннер, Р. (1988), «Евклидовы разложения некомпактных гиперболических многообразий», Журнал дифференциальной геометрии, 27 (1): 67–80, Дои:10.4310 / jdg / 1214441650, МИСТЕР  0918457
• Федерико, Паскуале Жозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование "De solidorum elementis", Источники по истории математики и физических наук, 4, Springer
• Фейес Тот, Л. (1981), «Некоторые исследования, вдохновленные Х. С. М. Коксетером», в Дэвисе, Чандлер; Грюнбаум, Бранко; Шерк, Ф.А. (ред.), Геометрическая вена: Кокстерский фестиваль, Нью-Йорк: Springer, стр. 271–277, Дои:10.1007/978-1-4612-5648-9_18
• Guéritaud, François (2004), "Об элементарном доказательстве характеристики Ривена выпуклых идеальных гиперболических многогранников их двугранными углами", Geometriae Dedicata, 108: 111–124, Дои:10.1007 / s10711-004-3180-у, МИСТЕР  2112668, S2CID  122106334
• Хэтчер, Аллен (1983), "Гиперболические структуры арифметического типа на некоторых дополнительных звеньях", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 27 (2): 345–355, Дои:10.1112 / jlms / s2-27.2.345, МИСТЕР  0692540
• Ходжсон, Крейг Д.; Ривин Игорь; Смит, Уоррен Д. (1992), "Характеристика выпуклых гиперболических многогранников и выпуклых многогранников, вписанных в сферу", Бюллетень Американского математического общества, Новая серия, 27 (2): 246–251, Дои:10.1090 / S0273-0979-1992-00303-8, МИСТЕР  1149872
• Леопольд, Ундина (2014), Вершинно-транзитивные многогранники в трехмерном пространстве, Докторская диссертация, Северо-Восточный университет, HDL:2047 / d20005074
• Нельсон, Ройс; Сегерман, Генри (январь 2017 г.), «Визуализация гиперболических сот», Журнал математики и искусств, 11 (1): 4–39, arXiv:1511.02851, Дои:10.1080/17513472.2016.1263789, S2CID  119164821
• Падрол, Арнау; Циглер, Гюнтер М. (2016), «Шесть тем о вписываемых многогранниках», Бобенко, Александр I. (ред.), Достижения в дискретной дифференциальной геометрии, Springer Open, стр. 407–419, Дои:10.1007/978-3-662-50447-5_13
• Ривин Игорь (1994), "Внутренняя геометрия выпуклых идеальных многогранников в трехмерном гиперболическом пространстве", Анализ, алгебра и компьютеры в математических исследованиях (Лулео, 1992), Конспект лекций по чистой и прикладной математике, 156, Нью-Йорк: Деккер, стр. 275–291, МИСТЕР  1280952
• Ривин, Игорь (1996), "Характеристика идеальных многогранников в трехмерном гиперболическом пространстве", Анналы математики, Вторая серия, 143 (1): 51–70, Дои:10.2307/2118652, JSTOR  2118652, МИСТЕР  1370757
• Спрингборн, Борис (2020), "Идеальные гиперболические многогранники и дискретная униформизация", Дискретная и вычислительная геометрия, 64 (1): 63–108, Дои:10.1007 / s00454-019-00132-8, МИСТЕР  4110530, S2CID  203035718
• Штайнер, Якоб (1832), Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, Финке
• Стейниц, Эрнст (1928), "Убер isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1928 (159): 133–143, Дои:10.1515 / crll.1928.159.133, S2CID  199546274
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1, Принстонская математическая серия, 35, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, ISBN  0-691-08304-5, МИСТЕР  1435975