Идеальная точка - Ideal point - Wikipedia

Эта статья об идеальных точках в гиперболическая геометрия. Аналогичные точки в других геометриях см. Точка на бесконечность.

Три Идеальные треугольники в Модель диска Пуанкаре, то вершины находятся идеальные точки

В гиперболическая геометрия, идеальная точка, омега-точка^[1] или же точка в бесконечности это хорошо определенный точка вне гиперболической плоскости или пространства. л и точка п не на л, Право и лево-предельные параллели к л через п сходиться к л в идеальные точки.

В отличие от проективного случая идеальные точки образуют граница, а не подмногообразие. Итак, эти строки не пересекаться в идеальной точке и таких точках, хотя хорошо определенный, не принадлежат самому гиперболическому пространству.

Идеальные точки вместе образуют Кейли абсолют или граница гиперболическая геометрия. Например, единичный круг образует абсолют Кэли Модель диска Пуанкаре и Модель диска Клейна В то время как реальная линия образует абсолют Кэли Модель полуплоскости Пуанкаре .^[2]

Аксиома Паша и теорема о внешнем угле все еще верно для омега-треугольника, определяемого двумя точками в гиперболическом пространстве и омега-точкой.^[3]

Характеристики

• Гиперболическое расстояние между идеальной точкой и любой другой точкой или идеальной точкой бесконечно.
• Центры орициклы и Horoballs идеальные точки; два орициклы находятся концентрический когда у них один и тот же центр.

Полигоны с идеальными вершинами

Идеальные треугольники

Основная статья: Идеальный треугольник

если все вершины треугольник идеальные точки треугольник идеальный треугольник.

Идеальные треугольники обладают рядом интересных свойств:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• У любого идеального треугольника есть площадь ${\displaystyle \pi /-K}$ где K - (отрицательная) кривизна плоскости.^[4]

Идеальные четырехугольники

если все вершины четырехугольник - идеальные точки, четырехугольник - идеальный четырехугольник.

Хотя все идеальные треугольники конгруэнтны, но не все четырехугольники, диагонали могут образовывать разные углы друг с другом, что приводит к неконгруэнтным четырехугольникам.

• Все внутренние углы идеального четырехугольника равны нулю.
• Любой идеальный четырехугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеал (выпуклые непересекающиеся) четырехугольник имеет площадь ${\displaystyle 2\pi /-K}$ где K - (отрицательная) кривизна плоскости.

Идеальный квадрат

Идеальный четырехугольник с двумя диагоналями перпендикуляр друг к другу образуют идеальный квадрат.

Это использовалось Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме о том, что он назвал «астральной геометрией», одной из первых публикаций, признающих возможность гиперболическая геометрия.^[5]

Идеально п-угольники

Идеальный п-gon можно разделить на (п − 2) идеальные треугольники, с площадью (п − 2) умножить на площадь идеального треугольника.

Представления в моделях гиперболической геометрии

в Модель диска Клейна и Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости. В обеих дисковых моделях идеальные точки находятся на единичный круг (гиперболическая плоскость) или единичная сфера (высшие измерения), которая является недостижимой границей гиперболической плоскости.

При проецировании той же гиперболической линии на Модель диска Клейна и Модель диска Пуанкаре обе линии проходят через одни и те же две идеальные точки (идеальные точки в обеих моделях находятся в одном месте).

Модель диска Клейна

Учитывая две разные точки п и q в открытом единичном диске единственная соединяющая их прямая пересекает единичный круг пополам. идеальные точки, а и б, помечены так, чтобы точки были по порядку а, п, q, б так что | aq | > | ap | и | pb | > | qb |. Тогда гиперболическое расстояние между п и q выражается как

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Модель диска Пуанкаре

Учитывая две разные точки п и q в открытом единичном круге то единственный круг дуга ортогональная к соединяющей их границе пересекает единичный круг пополам. идеальные точки, а и б, помечены так, чтобы точки были по порядку а, п, q, б так что | aq | > | ap | и | pb | > | qb |. Тогда гиперболическое расстояние между п и q выражается как

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Где расстояния измеряются по отрезкам (прямой) aq, ap, pb и qb.

Модель полуплоскости Пуанкаре

в Модель полуплоскости Пуанкаре то идеальные точки - точки на граничной оси. Есть еще одна идеальная точка, которая не представлена ​​в модели полуплоскости (но к ней приближаются лучи, параллельные положительной оси y).

Модель гиперболоида

в модель гиперболоида нет идеальные точки.

Смотрите также

• Идеальный треугольник
• Идеальный многогранник
• Указывает на бесконечность для использования в других геометриях.

Рекомендации

1. Сибли, Томас К. (1998). Геометрическая точка зрения: обзор геометрии. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п.109. ISBN  0-201-87450-4.
2. Струве, Хорст; Струве, Рольф (2010), «Неевклидовы геометрии: подход Кэли-Клейна», Журнал геометрии, 89 (1): 151–170, Дои:10.1007 / s00022-010-0053-z, ISSN  0047-2468, МИСТЕР  2739193
3. Хвидстен, Майкл (2005). Геометрия с Geometry Explorer. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 276–283. ISBN  0-07-312990-9.
4. Терстон, Дилан (осень 2012 г.). «274 кривых на поверхностях, лекция 5» (PDF). Получено 23 июля 2013.
5. Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Несокращенный и неизмененный переиздание 1. английского перевода 1912. изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр. стр.75–77. ISBN  0486600270.