Идеальный треугольник - Ideal triangle

Три идеальных треугольника в Модель диска Пуанкаре

Два идеальных треугольника в Модель полуплоскости Пуанкаре

В гиперболическая геометрия ан идеальный треугольник это гиперболический треугольник все три вершины идеальные точки. Идеальные треугольники также иногда называют тройные асимптотические треугольники или же тройные асимптотические треугольники. Вершины иногда называют идеальные вершины. Все идеальные треугольники конгруэнтный.

Характеристики

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны друг другу.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник - это самый большой треугольник в гиперболической геометрии.

В стандартной гиперболической плоскости (поверхность, на которой постоянная Гауссова кривизна равно −1) мы также обладаем следующими свойствами:

• Любой идеальный треугольник имеет площадь π.^[1]

Расстояния в идеальном треугольнике

Размеры идеального треугольника и вписанной в него окружности, изображенные на Модель Бельтрами – Клейна (слева) и Модель диска Пуанкаре (верно)

• В вписанный круг чтобы идеальный треугольник имел радиус

${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=}$${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0.549}$ .^[2]

Расстояние от любой точки треугольника до ближайшей стороны треугольника меньше или равно радиусу. р выше, с равенством только для центра вписанной окружности.

• Вписанный круг пересекает треугольник в трех точках касания, образуя равносторонний контактный треугольник с длиной стороны ${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962}$^[2] куда ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ это Золотое сечение.

Круг с радиусом d вокруг точки внутри треугольника будут встречаться или пересекаться по крайней мере две стороны треугольника.

• Расстояние от любой точки на одной стороне треугольника до другой стороны треугольника равно или меньше ${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$, с равенством только для точек касания, описанных выше.

а также высота из Швейкартский треугольник.

Если кривизна -K везде, а не −1, указанные выше площади следует умножить на 1 /K а длину и расстояние следует умножить на 1 /√K.^{[нужна цитата ]}

Условие тонкого треугольника

Условие δ-тонкого треугольника, используемое в δ-гиперболическое пространство

Поскольку идеальный треугольник - это самый большой из возможных треугольников в гиперболической геометрии, указанные выше меры являются максимально возможными для любого гиперболический треугольник, этот факт важен при изучении δ-гиперболическое пространство.

Модели

в Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости идеальный треугольник ограничен тремя окружностями, которые пересекают граничную окружность под прямым углом.

в Модель полуплоскости Пуанкаре, идеальный треугольник моделируется арбелос, фигура между тремя касательными полукруги.

в Модель Бельтрами – Клейна гиперболической плоскости идеальный треугольник моделируется евклидовым треугольником, который ограниченный пограничным кругом. Обратите внимание, что в модели Бельтрами-Клейна углы при вершинах идеального треугольника не равны нулю, потому что модель Бельтрами-Клейна, в отличие от моделей диска Пуанкаре и полуплоскостей, не является конформный т.е. не сохраняет углы.

Группа реальных идеальных треугольников

Модель диска Пуанкаре, выложенная идеальными треугольниками

Идеал (∞ ∞ ∞) группа треугольников

Еще одна идеальная плитка

Настоящий идеал группа треугольников это группа отражения порожденный отражениями гиперболической плоскости через стороны идеального треугольника. Алгебраически он изоморфен бесплатный продукт трех групп второго порядка (Schwarz 2001).

Рекомендации

1. Терстон, Дилан (осень 2012 г.). «274 кривых на поверхностях, лекция 5» (PDF). Получено 23 июля 2013.
2. «Каков радиус вписанной окружности идеального треугольника». Получено 9 декабря 2015.

Библиография

• Шварц, Ричард Эван (2001). «Группы идеальных треугольников, помятые торы и численный анализ». Анналы математики. Сер. 2. 153 (3): 533–598. arXiv:math.DG / 0105264. Дои:10.2307/2661362. JSTOR  2661362. МИСТЕР  1836282.