Ортодиагональный четырехугольник - Orthodiagonal quadrilateral

Ортодиагональный четырехугольник (желтый). Согласно характеристикам этих четырехугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырехугольника имеют такую ​​же общую площадь, как два синих квадрата на другой паре противоположных сторон.

В Евклидова геометрия, ортодиагональный четырехугольник это четырехугольник в которой диагонали крест на прямые углы. Другими словами, это четырехугольная фигура, в которой отрезки линии между несмежными вершины находятся ортогональный (перпендикулярно) друг другу.

Особые случаи

А летающий змей - это ортодиагональный четырехугольник, в котором одна диагональ является линией симметрии. Воздушные змеи - это в точности ортодиагональные четырехугольники, содержащие круг по касательной ко всем четырем сторонам; то есть воздушные змеи касательный ортодиагональные четырехугольники.^[1]

А ромб ортодиагональный четырехугольник с двумя парами параллельных сторон (то есть ортодиагональный четырехугольник, который также является параллелограмм ).

А квадрат является предельным случаем как воздушного змея, так и ромба.

Ортодиагональный равнодиагональный четырехугольники, в которых диагонали по крайней мере такие же, как все стороны четырехугольника имеют максимальную площадь для их диаметра среди всех четырехугольников, решая п = 4 случай самый большой маленький многоугольник проблема. Квадрат - один из таких четырехугольников, но существует бесконечно много других. Ортодиагональный четырехугольник, который также является равнодиагональным, называется средний квадрат четырехугольника потому что это Вариньонный параллелограмм это квадрат. Его площадь может быть выражена исключительно через его стороны.

Характеристики

Для любого ортодиагонального четырехугольника сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон: для следующих друг за другом сторон а, б, c, и d, у нас есть ^[2][3]

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.}$

Это следует из теорема Пифагора, с помощью которого любую из этих двух сумм двух квадратов можно разложить до суммы четырех квадратов расстояний от вершин четырехугольника до точки пересечения диагоналей. И наоборот, любой четырехугольник, в котором а² + c² = б² + d² должен быть ортодиагональным.^[4]Это можно доказать несколькими способами, в том числе с помощью закон косинусов, векторов, косвенное доказательство, и сложные числа.^[5]

Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны если и только если два бимедианцы иметь одинаковую длину.^[5]

Согласно другой характеристике, диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

куда п точка пересечения диагоналей. Из этого уравнения почти сразу следует, что диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда прогнозы диагонального пересечения на стороны четырехугольника - это вершины циклический четырехугольник.^[5]

Выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его Вариньонный параллелограмм (вершинами которого являются средние точки его сторон) является прямоугольник.^[5] Соответствующая характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины сторон и основания четырехугольника солодовые привычки восемь конциклические точки; то восьмиконечный круг. Центр этого круга - центроид четырехугольника. Четырехугольник, образованный ножками солодовни, называется главный ортогональный четырехугольник.^[6]

Если нормали сторонам выпуклого четырехугольника ABCD через диагональное пересечение пересекаются противоположные стороны в р, S, Т, U, и K, L, M, N стопы этих нормалей, то ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, р, S, Т и U совпадают; то второй восьмиконечный круг. Связанная характеристика утверждает, что выпуклый четырехугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда РГТУ это прямоугольник, стороны которого равны параллельно по диагоналям ABCD.^[5]

Есть несколько метрических характеристик четырех треугольники образованный диагональным пересечением п а вершины выпуклого четырехугольника ABCD. Обозначим через м₁, м₂, м₃, м₄ то медианы в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP из п в стороны AB, до н.э, CD, DA соответственно. Если р₁, р₂, р₃, р₄ и час₁, час₂, час₃, час₄ обозначить радиусы из окружности и высоты соответственно этих треугольников, то четырехугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих равенств:^[5]

• ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

Кроме того, четырехугольник ABCD с пересечением п диагоналей является ортодиагональной тогда и только тогда, когда центры описанных треугольников ABP, BCP, CDP и DAP - середины сторон четырехугольника.^[5]

Сравнение с тангенциальным четырехугольником

Несколько метрических характеристик касательные четырехугольники и ортодиагональные четырехугольники очень похожи по внешнему виду, как видно из этой таблицы.^[5] Обозначения по бокам а, б, c, d, окружные радиусы р₁, р₂, р₃, р₄, а высоты час₁, час₂, час₃, час₄ такие же, как указано выше, в обоих типах четырехугольников.

Тангенциальный четырехугольник	Ортодиагональный четырехугольник
${\displaystyle a+c=b+d}$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

Площадь

Площадь K ортодиагонального четырехугольника равна половине произведения длин диагоналей п и q:^[7]

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}.}$

И наоборот, любой выпуклый четырехугольник, площадь которого можно вычислить по этой формуле, должен быть ортодиагональным.^[5] У ортодиагонального четырехугольника наибольшая площадь из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями.

Другие свойства

• Ортодиагональные четырехугольники - единственные четырехугольники, для которых стороны и угол, образованный диагоналями, не определяют однозначно площадь.^[3] Например, два ромба с общей стороной а (и, как и все ромбы, оба имеют прямой угол между диагоналями), но один имеет меньший острый угол чем другой, имеют разные площади (площадь первого приближается к нулю, когда острый угол приближается к нулю).
• Если квадраты возводятся наружу по бокам любых четырехугольник (выпуклые, вогнутые или скрещенные), то их центры (центроиды ) являются вершинами ортодиагонального четырехугольника, который также является равнодиагональный (то есть диагонали одинаковой длины). Это называется Теорема Ван Обеля.
• Каждая сторона ортодиагонального четырехугольника имеет хотя бы одну общую точку с окружностью точек Паскаля. ^[8]

Свойства ортодиагональных четырехугольников, которые также являются вписанными

Циркумрадиус и площадь

Для циклический ортодиагональный четырехугольник (тот, который может быть вписанный в круг ), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной п₁ и п₂ и делит вторую диагональ на отрезки длины q₁ и q₂. потом^[9] (первое равенство - это предложение 11 в Архимед Книга лемм )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

куда D это диаметр из описанный круг. Это верно, потому что диагонали перпендикулярны аккорды круга. Эти уравнения дают по окружности выражение

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

или, исходя из сторон четырехугольника, как^[2]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

Отсюда также следует, что^[2]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Таким образом, согласно Четырехугольная теорема Эйлера радиус описанной окружности можно выразить через диагонали п и q, а расстояние Икс между серединами диагоналей как

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Формула для площадь K вписанного ортодиагонального четырехугольника по четырем сторонам получается непосредственно при объединении Теорема Птолемея и формула для площадь ортодиагонального четырехугольника. Результат^{[10]:стр.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Другие свойства

• В круговом ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.^[2]
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для циклического ортодиагонального четырехугольника перпендикуляр с любой стороны, проходящей через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторону.^[2]
• Если ортодиагональный четырехугольник также является вписанным, расстояние от центр окружности (центр описанного круга) с любой стороны равна половине длины противоположной стороны.^[2]
• В круговом ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.^[2]

Бесконечные наборы вписанных прямоугольников

${\displaystyle ABCD}$ - ортодиагональный четырехугольник, ${\displaystyle P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}}$ прямоугольники, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника.

${\displaystyle ABCD}$ - ортодиагональный четырехугольник. ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{1}}$ точки Паскаля, образованные кругом ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \sigma _{P_{1}Q_{1}}}$ круг точек Паскаля, определяющий прямоугольник ${\displaystyle P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}}$. ${\displaystyle P_{2}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ точки Паскаля, образованные окружностью ${\displaystyle \omega _{2}}$, ${\displaystyle \sigma _{P_{2}Q_{2}}}$ круг точек Паскаля, определяющий прямоугольник ${\displaystyle P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}}$.

В каждый ортодиагональный четырехугольник можно вписать два бесконечных набора прямоугольников:

(i) набор прямоугольников, стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника

(ii) набор прямоугольников, определяемых окружностями точек Паскаля.^[11]

Рекомендации

1. Йозефссон, Мартин (2010), «Расчеты касательной длины и касательной хорды касательного четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 10: 119–130.
2. Альтшиллер-Корт, Н. (2007), Колледж Геометрия, Dover Publications. Переиздание второго издания, 1952 г., Barnes & Noble, стр. 136-138.
3. Митчелл, Дуглас, В. (2009), "Площадь четырехугольника", Математический вестник, 93 (Июль): 306–309.
4. Исмаилеску, Дэн; Войданы, Адам (2009), «Класс-сохраняющие разрезы выпуклых четырехугольников» (PDF), Форум Geometricorum, 9: 195–211.
5. Йозефссон, Мартин (2012), "Характеристики ортодиагональных четырехугольников" (PDF), Форум Geometricorum, 12: 13–25.
6. Маммана, Мария Флавия; Микале, Бьяджо; Пенниси, Марио (2011), "Круги Дроз-Фарни выпуклого четырехугольника" (PDF), Форум Geometricorum, 11: 109–119.
7. Харрис, Дж. (2002), "Площадь четырехугольника", Математический вестник, 86 (Июль): 310–311
8. Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства паскаля: точки окружности в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF), Форум Geometricorum, 17: 509–526.
9. Позаментьер, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1996), Сложные задачи геометрии (второе изд.), Dover Publications, стр. 104–105, № 4–23.
10. Йозефссон, Мартин (2016), «Свойства пифагоровых четырехугольников», Математический вестник, 100 (Июль): 213–224.
11. Дэвид, Фрайверт (2019), "Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определенных окружностями точек Паскаля", Журнал геометрии и графики, 23: 5–27.