Циклический четырехугольник - Cyclic quadrilateral

Примеры вписанных четырехугольников.

В Евклидова геометрия, а циклический четырехугольник или вписанный четырехугольник это четырехугольник чей вершины все лежат на одном круг. Этот круг называется описанный круг или описанный круг, а вершины называются конциклический. Центр круга и его радиус называются центр окружности и по окружности соответственно. Другие названия этих четырехугольников: конциклический четырехугольник и хордовый четырехугольник, последнее, поскольку стороны четырехугольника равны аккорды описанной окружности. Обычно предполагается, что четырехугольник выпуклый, но есть и скрещенные вписанные четырехугольники. Приведенные ниже формулы и свойства справедливы в выпуклом случае.

Слово циклический происходит от Древнегреческий κύκλος (куклос), что означает «круг» или «колесо».

Все треугольники есть описанный круг, но не все четырехугольники. Пример четырехугольника, который не может быть вписанным, - это неквадратный ромб. Секция характеристики ниже указано, что необходимые и достаточные условия четырехугольник должен удовлетворять, чтобы иметь описанную окружность.

Особые случаи

Любой квадрат, прямоугольник, равнобедренная трапеция, или же антипараллелограмм циклический. А воздушный змей цикличен если и только если у него два прямых угла. А двухцентровый четырехугольник вписанный четырехугольник, который также тангенциальный и экс-бицентрический четырехугольник вписанный четырехугольник, который также эксантангенциальный. А гармонический четырехугольник представляет собой вписанный четырехугольник, в котором произведение длин противоположных сторон равны.

Характеристики

Круговой четырехугольник ABCD

Окружной центр

Выпуклый четырехугольник - вписанный если и только если четыре перпендикуляр биссектрисы в стороны одновременный. Эта общая точка - центр окружности.^[1]

Дополнительные углы

Выпуклый четырехугольник ABCD является циклическим тогда и только тогда, когда его противоположные углы равны дополнительный, то есть^[1][2]

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ radians(=180^{\circ }).}$

Прямая теорема была предложением 22 в книге 3 Евклид с Элементы.^[3] Эквивалентно выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда каждый внешний угол равно противоположному внутренний угол.

В 1836 году Дункан Грегори обобщил этот результат следующим образом: для любого выпуклого циклического числа 2п-угольник, затем две суммы чередовать внутренние углы каждый равен (п-1)${\displaystyle \pi }$.^[4]

Взяв стереографическую проекцию (тангенс половины угла) каждого угла, это можно переформулировать:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}$

Из чего следует, что^[5]

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1}$

Углы между сторонами и диагоналями

Выпуклый четырехугольник ABCD цикличен тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональ равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.^[6] Это, например,

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

Точки Паскаля

ABCD - вписанный четырехугольник. E - точка пересечения диагоналей и F - точка пересечения продолжений сторон до н.э и ОБЪЯВЛЕНИЕ. ${\displaystyle \omega }$ круг, диаметр которого - отрезок, EF. п и Q точки Паскаля, образованные кругом ${\displaystyle \omega }$.

Еще одно необходимое и достаточное условие выпуклого четырехугольника ABCD быть циклическими: пусть E - точка пересечения диагоналей, пусть F - точка пересечения продолжений сторон ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э, позволять ${\displaystyle \omega }$ круг, диаметр которого является отрезком, EF, и разреши п и Q быть точками Паскаля на сторонах AB и компакт диск образованный кругом ${\displaystyle \omega }$.
(1) ABCD вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки п и Q коллинеарны центру О, круга ${\displaystyle \omega }$.
(2) ABCD вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки п и Q середины сторон AB и компакт диск.^[2]

Пересечение диагоналей

Если две строки, одна содержит сегмент AC а другой содержащий сегмент BD, пересекаются в п, то четыре точки А, B, C, D совпадают тогда и только тогда, когда^[7]

${\displaystyle \displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}$

Перекресток п может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае вписанный четырехугольник равен ABCD, а в последнем случае вписанный четырехугольник равен ABDC. Когда пересечение является внутренним, равенство утверждает, что произведение длин отрезков, на которые п делит одну диагональ равняется другой диагонали. Это известно как теорема о пересечении хорд так как диагонали вписанного четырехугольника являются хордами описанной окружности.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея выражает произведение длин двух диагоналей е и ж кругового четырехугольника равным сумме произведений противоположных сторон:^{[8]:стр.25[2]}

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd.}$

В разговаривать тоже верно. То есть, если этому уравнению удовлетворяет выпуклый четырехугольник, то образуется вписанный четырехугольник.

Диагональный треугольник

ABCD - вписанный четырехугольник. EFG диагональный треугольник ABCD. Смысл Т пересечения бимедианов ABCD принадлежит девятиточечному кругу EFG.

В выпуклом четырехугольнике ABCD, позволять EFG быть диагональным треугольником ABCD и разреши ${\displaystyle \omega }$ быть девятиточечным кругом EFG.ABCD циклично тогда и только тогда, когда точка пересечения бимедианов ABCD принадлежит девятиконечной окружности ${\displaystyle \omega }$.^[9][10][2]

Площадь

В площадь K вписанного четырехугольника со сторонами а, б, c, d дан кем-то Формула Брахмагупты^{[8]:стр.24}

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

где s, то полупериметр, является s = 1/2(а + б + c + d). Это следствие из Формула Бретшнайдера для общего четырехугольника, так как противоположные углы являются дополнительными в циклическом случае. Если также d = 0, вписанный четырехугольник становится треугольником, а формула сводится к Формула Герона.

У кругового четырехугольника есть максимальный площадь среди всех четырехугольников с одинаковой длиной сторон (независимо от последовательности). Это еще одно следствие формулы Бретшнайдера. Это также можно доказать, используя исчисление.^[11]

Четыре неравных длины, каждая из которых меньше суммы трех других, являются сторонами каждого из трех несовпадающих вписанных четырехугольников,^[12] которые по формуле Брахмагупты имеют одинаковую площадь. Конкретно для сторон а, б, c, и d, сторона а может быть напротив любой стороны б, сторона c, или сторона d.

Площадь вписанного четырехугольника с последовательными сторонами а, б, c, d и угол B между сторонами а и б можно выразить как^{[8]:стр.25}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

или^{[8]:стр.26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

где θ это любой угол между диагоналями. При условии А не является прямым углом, площадь также можно выразить как^{[8]:стр.26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

Другая формула^{[13]:стр.83}

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

где р это радиус описанный круг. Как прямое следствие,^[14]

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

где есть равенство тогда и только тогда, когда четырехугольник - квадрат.

Диагонали

В вписанном четырехугольнике с последовательными вершинами А, B, C, D и стороны а = AB, б = до н.э, c = компакт диск, и d = DA, длины диагоналей п = AC и q = BD можно выразить через стороны как^{[8]:стр.25,[15][16]:п. 84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$ и ${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

так показывая Теорема Птолемея

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

Согласно с Вторая теорема Птолемея,^{[8]:стр.25,[15]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

используя те же обозначения, что и выше.

Для суммы диагоналей имеем неравенство^{[17]:стр.123, # 2975}

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

Равенство если и только если диагонали имеют одинаковую длину, что можно доказать с помощью AM-GM неравенство.

Более того,^{[17]:стр.64, №1639}

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

В любом выпуклом четырехугольнике две диагонали вместе делят четырехугольник на четыре треугольника; в круговом четырехугольнике противоположные пары этих четырех треугольников равны аналогичный друг другу.

Если M и N середины диагоналей AC и BD, тогда^[18]

${\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}$

где E и F являются точками пересечения продолжений противоположных сторон.

Если ABCD вписанный четырехугольник, где AC встречает BD в E, тогда^[19]

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

Набор сторон, которые могут образовывать циклический четырехугольник, может быть расположен в любой из трех различных последовательностей, каждая из которых может образовывать циклический четырехугольник той же площади в одной описанной окружности (площади совпадают в соответствии с формулой площади Брахмагупты). Любые два из этих циклических четырехугольников имеют общую длину диагонали.^{[16]:п. 84}

Формулы углов

Для кругового четырехугольника с последовательными сторонами а, б, c, d, полупериметр s, и угол А между сторонами а и d, то тригонометрические функции из А даны^[20]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

Угол θ между диагоналями удовлетворяет^{[8]:стр.26}

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

Если расширения противоположных сторон а и c пересекаться под углом φ, тогда

${\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

где s это полупериметр.^{[8]:стр.31}

Формула окружности парамешвары

Круговой четырехугольник с последовательными сторонами а, б, c, d и полупериметр s имеет окружной радиус ( радиус из описанный круг ) предоставлено^[15][21]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Это было выведено индийским математиком Ватассери. Парамешвара в 15 веке.

С помощью Формула Брахмагупты, Формулу Парамешвары можно переформулировать как

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

где K - площадь вписанного четырехугольника.

Антицентр и коллинеарности

Четыре отрезка, каждый перпендикуляр к одной стороне вписанного четырехугольника и проходя через противоположную сторону середина, находятся одновременный.^{[22]:стр.131;[23]} Эти отрезки называются солодовые привычки,^[24] что является аббревиатурой от средней точки высоты. Их общая точка называется антицентр. Он имеет свойство отражать центр окружности в "центроид вершины". Таким образом, в циклическом четырехугольнике центр описанной окружности, "центр тяжести вершины" и антицентр равны коллинеарен.^[23]

Если диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точках п, а средние точки диагоналей M и N, то антицентром четырехугольника является ортоцентр из треугольник MNP.

Другие свойства

Японская теорема

• В круговом четырехугольнике ABCD, то стимуляторы M₁, M₂, M₃, M₄ (см. рисунок справа) в треугольники DAB, ABC, BCD, и CDA являются вершинами прямоугольник. Это одна из теорем, известных как Японская теорема. В ортоцентры из тех же четырех треугольников являются вершинами четырехугольника конгруэнтный к ABCD, а центроиды в этих четырех треугольниках - вершины другого вписанного четырехугольника.^[6]
• В круговом четырехугольнике ABCD с центром окружности О, позволять п быть точкой, где диагонали AC и BD пересекаются. Тогда угол APB это среднее арифметическое углов AOB и COD. Это прямое следствие теорема о вписанном угле и теорема о внешнем угле.
• Ни у одного вписанного четырехугольника с рациональной площадью и с неравными рациональными сторонами не бывает. арифметика или геометрическая прогрессия.^[25]

• Если вписанный четырехугольник имеет длину сторон, образующую арифметическая прогрессия четырехугольник также экс-бицентрический.
• Если противоположные стороны вписанного четырехугольника продолжаются до пересечения в E и F, то внутренний биссектриса угла углов на E и F перпендикулярны.^[12]

Четырехугольники Брахмагупты

А Брахмагупта четырехугольник^[26] представляет собой вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью. Все четырехугольники Брахмагупты со сторонами а, б, c, d, диагонали е, ж, площадь K, и радиус окружности р можно получить расчетные знаменатели из следующих выражений, включающих рациональные параметры т, ты, и v:

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

Ортодиагональный корпус

Циркумрадиус и площадь

Для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональный (имеет перпендикулярные диагонали), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной п₁ и п₂ и делит вторую диагональ на отрезки длины q₁ и q₂. потом^[27] (первое равенство - это предложение 11 в Архимед ' Книга лемм )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

где D это диаметр из описанный круг. Это верно, потому что диагонали перпендикулярны аккорды круга. Из этих уравнений следует, что по окружности р можно выразить как

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

или, исходя из сторон четырехугольника, как^[22]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

Отсюда также следует, что^[22]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Таким образом, согласно Четырехугольная теорема Эйлера, окружной радиус можно выразить через диагонали п и q, а расстояние Икс между серединами диагоналей как

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Формула для площадь K вписанного ортодиагонального четырехугольника по четырем сторонам получается непосредственно при объединении Теорема Птолемея и формула для площадь ортодиагонального четырехугольника. Результат^{[28]:стр.222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Другие свойства

• В круговом ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.^[22]
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного четырехугольника, который также ортодиагональный, перпендикуляр с любой стороны через точку пересечения диагоналей делит пополам противоположную сторону.^[22]
• Если вписанный четырехугольник также ортодиагонален, расстояние от центр окружности в любую сторону равна половине длины противоположной стороны.^[22]
• В круговом ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.^[22]

Циклические сферические четырехугольники

В сферическая геометрия, сферический четырехугольник, образованный четырьмя пересекающимися большими окружностями, является циклическим тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны, т.е. α + γ = β + δ для последовательных углов α, β, γ, δ четырехугольника.^[29] Одно направление этой теоремы было доказано И. А. Лекселлом в 1786 г. Лекселл.^[30] показал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном в маленький круг сферы, суммы противоположных углов равны, а в описанном четырехугольнике - суммы противоположных сторон. Первая из этих теорем является сферическим аналогом теоремы о плоскости, а вторая теорема двойственная к ней, то есть результат перестановки больших кругов и их полюсов.^[31] Кипер и др.^[32] доказал обратное теореме: если суммы противоположных сторон равны в сферическом четырехугольнике, то существует вписывающая окружность для этого четырехугольника.

Смотрите также

• Теорема бабочки
• Циклический многоугольник
• Сила точки
• Таблица аккордов Птолемея
• Пентагон Роббинса

Рекомендации

1. Усискин, Залман; Гриффин, Дженнифер; Витонский, Давид; Уиллмор, Эдвин (2008), «10. Циклические четырехугольники», Классификация четырехугольников: изучение определения, Исследования в области математического образования, ИПФ, стр. 63–65, ISBN  978-1-59311-695-8
2. Fraivert, Дэвид; Сиглер, Ави; Ступель, Моше (2020), "Необходимые и достаточные свойства вписанного четырехугольника", Международный журнал математического образования в науке и технологиях, 51 (6): 913–938, Дои:10.1080 / 0020739X.2019.1683772, S2CID  209930435
3. Джойс, Д. Э. (июнь 1997 г.), «Книга 3, Предложение 22», Элементы Евклида, Университет Кларка
4. Грегори, Дункан (1836 г.), «Геометрическая теорема», Кембриджский математический журнал, 1: 92.
5. Хаджа, Mowaffaq (2008), «Условие того, что описываемый четырехугольник является вписанным» (PDF), Форум Geometricorum, 8: 103–6
6. Андрееску, Титу; Энеску, Богдан (2004), «2.3 Циклические квадроциклы», Сокровища математической олимпиады, Springer, стр.44–46, 50, ISBN  978-0-8176-4305-8, Г-Н  2025063
7. Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты, Высокое восприятие, стр. 179, ISBN  978-1906338008, OCLC  213434422
8. Durell, C.V .; Робсон, А. (2003) [1930], Продвинутая тригонометрия, Курьер Дувр, ISBN  978-0-486-43229-8
9. Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточной окружности». Математический вестник. 103 (557): 222–232. Дои:10.1017 / mag.2019.53.
10. Fraivert, Дэвид (2018). «Новые приложения метода комплексных чисел в геометрии циклических четырехугольников» (PDF). Международный журнал геометрии. 7 (1): 5–16.
11. Питер, Томас (сентябрь 2003 г.), «Увеличение площади четырехугольника», Математический журнал колледжа, 34 (4): 315–6, Дои:10.2307/3595770, JSTOR  3595770
12. Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд; Грейцер, Сэмюэл Л. (1967), «3.2 Циклические четырехугольники; формула Брахмагупты», Возвращение к геометрии, Математическая ассоциация Америки, стр. 57, 60, ISBN  978-0-88385-619-2
13. Прасолов Виктор, Задачи плоской и твердотельной геометрии: v.1 Плоская геометрия (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) 21 сентября 2018 г., получено 6 ноября, 2011
14. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), «4.3 Циклические, тангенциальные и бицентрические четырехугольники», Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств, Математическая ассоциация Америки, стр. 64, ISBN  978-0-88385-342-9
15. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «По диагоналям вписанного четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 7: 147–9
16. Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).
17. Неравенства, предложенные в "Crux Mathematicorum ", 2007, [1].
18. "ABCD - вписанный четырехугольник. Позволять M, N быть серединами диагоналей AC, BD соответственно..." Искусство решения проблем. 2010.
19. А. Богомольный, Тождество в (циклических) четырехугольниках, Интерактивная математика и головоломки,[2], По состоянию на 18 марта 2014 г.
20. Siddons, A.W .; Хьюз, Р. Т. (1929), Тригонометрия, Cambridge University Press, стр. 202, OCLC  429528983
21. Хоэн, Ларри (март 2000), "Окружной радиус вписанного четырехугольника", Математический вестник, 84 (499): 69–70, Дои:10.2307/3621477, JSTOR  3621477
22. Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN  978-0-486-45805-2, OCLC  78063045
23. Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков, Новая математическая библиотека, 37, Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN  978-0-88385-639-0
24. Вайсштейн, Эрик В. "Мальтитуд". MathWorld.
25. Buchholz, R. H .; Макдугалл, Дж. А. (1999), "Четырехугольники Герона со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии", Бюллетень Австралийского математического общества, 59 (2): 263–9, Дои:10.1017 / S0004972700032883, Г-Н  1680787
26. Састри, К. (2002). "Четырехугольники Брахмагупты" (PDF). Форум Geometricorum. 2: 167–173.
27. Posamentier, Alfred S .; Залкинд, Чарльз Т. (1970), «Решения: 4-23. Докажите, что сумма квадратов мер отрезков, образованных двумя перпендикулярными хордами, равна квадрату меры диаметра данного круга»., Сложные задачи геометрии (2-е изд.), Courier Dover, стр.104–5, ISBN  978-0-486-69154-1
28. Йозефссон, Мартин (2016), «Свойства пифагоровых четырехугольников», Математический вестник, 100 (Июль): 213–224, Дои:10.1017 / mag.2016.57.
29. Виммер, Линхард (2011). «Циклические многоугольники в неевклидовой геометрии». Elemente der Mathematik. 66 (2): 74–82. Дои:10.4171 / EM / 173.
30. Лекселл, А. Дж. (1786). "De proprietatibus circorum в superficie sphaerica descriptorum". Acta Acad. Sci. Петрополь. 6 (1): 58–103.
31. Розенфельд, Б.А. (1988). История неевклидовой геометрии - Спрингер. Исследования по истории математики и физических наук. 12. Дои:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN  978-1-4612-6449-1.
32. Кипер, Гекхан; Сойлемез, Эрес (1 мая 2012 г.). «Гомотетические связи, подобные джиттербагу». Механизм и теория машин. 51: 145–158. Дои:10.1016 / j.mechmachtheory.2011.11.014.

дальнейшее чтение

• Д. Фрайвер: Четырехугольники точек Паскаля, вписанные в вписанный четырехугольник

внешняя ссылка

• Вывод формулы для площади циклического четырехугольника
• Центры в циклическом четырехугольнике в завязать узел
• Четыре параллельные линии в циклическом четырехугольнике в завязать узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический четырехугольник». MathWorld.