Octacontagon - Octacontagon

Обычный восьмиугольник
Правильный многоугольник 80.svg
Правильный восьмиугольник
ТипПравильный многоугольник
Края и вершины80
Символ Шлефли{80}, t {40}, tt {20}, ttt {10}, tttt {5}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 8.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel 0x.pngCDel node 1.png
Группа симметрииДвугранный (D80), заказ 2 × 80
Внутренний угол (градусы )175.5°
Двойной многоугольникСебя
ХарактеристикиВыпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный

В геометрия, восьмиугольник (или же ogdoëcontagon или 80-угольник от Древнегреческий ὁγδοήκοντα, восемьдесят[1]) является восьмидесятиугольным многоугольник.[2][3] Сумма внутренних углов любого восьмиугольника равна 14040 градусы.

Обычный восьмиугольник

А обычный восьмиугольник представлен Символ Шлефли {80} а также может быть выполнен в виде усеченный тетраконтагон, t {40}, или дважды усеченный икосагон, tt {20}, или трижды усеченный десятиугольник, ttt {10} или четырехкратно усеченный пятиугольник, tttt {5}.

Один внутренний угол в правильном восьмиугольнике равен 175.12°, что означает, что один внешний угол будет 412°.

В площадь правильного восьмиугольника есть (с т = длина кромки)

и это inradius является

В по окружности правильного восьмиугольника

Строительство

Поскольку 80 = 24 × 5 правильный восьмиугольник конструктивный используя компас и линейка.[4] Как усеченный тетраконтагон, его можно построить с помощью ребраделение пополам правильного тетраконтагона. Это означает, что тригонометрические функции π / 80 можно выразить в радикалах:

Симметрия

Симметрии правильного восьмиугольника. Голубыми линиями показаны подгруппы индекса 2. Левый и правый подграфы позиционно связаны подгруппами индекса 5.

В правильный восьмиугольник есть Dih80 двугранная симметрия, порядок 80, представленный 80 линиями отражения. Dih40 имеет 9 диэдральных подгрупп: (Dih40, Ди20, Ди10, Ди5) и (Dih16, Ди8, Ди4, и Dih2, Ди1). Также есть еще 10 циклический симметрии как подгруппы: (Z80, Z40, Z20, Z10, Z5) и (Z16, Z8, Z4, Z2, Z1), причем Zп представляющий π /п радианная вращательная симметрия.

Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.[5] r160 представляет собой полную симметрию и а1 этикетки не симметричны. Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, п с зеркальными линиями по краям (перпендикулярно), я с зеркальными линиями через вершины и края, и грамм для вращательной симметрии.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные восьмиугольники. Только g80 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Рассечение

80-угольник с 3120 ромбами

Coxeter заявляет, что каждый зоногон (а 2м-угольник, противоположные стороны которого параллельны и равной длины) можно разрезать на м(м-1) / 2 параллелограмма.[6]В частности, это верно для правильные многоугольники с равным числом сторон, в этом случае все параллелограммы ромбовидны. Для правильный восьмиугольник, м= 40, и его можно разделить на 780: 20 квадратов и 19 наборов по 40 ромбов. Это разложение основано на Многоугольник Петри проекция 40-куб.

Примеры
Ромбическое рассечение 80-угольников.svgРомбическое рассечение 80-угольников2.svgРомбическое рассечение 80-угольниковx.svg

Октаконтаграмма

Октаконтаграмма - это 80-сторонняя звездный многоугольник. Есть 15 обычных форм, которые дает Символы Шлефли {80/3}, {80/7}, {80/9}, {80/11}, {80/13}, {80/17}, {80/19}, {80/21}, {80 / 23}, {80/27}, {80/29}, {80/31}, {80/33}, {80/37} и {80/39}, а также 24 обычных звездные фигуры с тем же конфигурация вершины.

Обычный звездные многоугольники {80 / к}
РисунокЗвездный многоугольник 80-3.svg
{80/3}
Звездный многоугольник 80-7.svg
{80/7}
Звездный многоугольник 80-9.svg
{80/9}
Звездный многоугольник 80-11.svg
{80/11}
Звездный многоугольник 80-13.svg
{80/13}
Звездный многоугольник 80-17.svg
{80/17}
Звездный многоугольник 80-19.svg
{80/19}
Звездный многоугольник 80-21.svg
{80/21}
Внутренний угол166.5°148.5°139.5°130.5°121.5°103.5°94.5°85.5°
РисунокЗвездный многоугольник 80-23.svg
{80/23}
Звездный многоугольник 80-27.svg
{80/27}
Звездный многоугольник 80-29.svg
{80/29}
Звездный многоугольник 80-31.svg
{80/31}
Звездный многоугольник 80-33.svg
{80/33}
Звездный многоугольник 80-37.svg
{80/37}
Звездный многоугольник 80-39.svg
{80/39}
 
Внутренний угол76.5°58.5°49.5°40.5°31.5°13.5°4.5° 

Рекомендации

  1. ^ Греческие числа и цифры (древние и современные) Гарри Фундэлис
  2. ^ Горини, Екатерина А. (2009), Справочник фактов о геометрии файлов, Издательство информационной базы, стр. 110, ISBN  9781438109572.
  3. ^ Новые элементы математики: алгебра и геометрия к Чарльз Сандерс Пирс (1976), стр.298
  4. ^ Конструируемый многоугольник
  5. ^ Симметрии вещей, Глава 20
  6. ^ Coxeter, Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, с.141