Чилигон - Chiliagon

Обычный чилигон
Многоугольник 1000.svg
Обычный чилигон
ТипПравильный многоугольник
Края и вершины1000
Символ Шлефли{1000}, т {500}, тт {250}, ттт {125}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 10.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node 1.png
Группа симметрииДвугранный (D1000), заказ 2 × 1000
Внутренний угол (градусы )179.64°
Двойной многоугольникСебя
ХарактеристикиВыпуклый, циклический, равносторонний, изогональный, изотоксальный
Целый правильный чилигон визуально не отличить от круга. Нижняя часть представляет собой часть правильного хилиагона, в 200 раз больше меньшего, с выделенными вершинами.

В геометрия, а чилигон (/ˈkɪляəɡɒп/) или 1000-угольник - это многоугольник с 1,000 стороны. Философы обычно ссылаются на хилиагоны, чтобы проиллюстрировать идеи о природе и работе мысли, значения и ментального представления.

Обычный чилигон

А обычный чилиагон представлен Символ Шлефли {1000} и может быть выполнен в виде усеченный 500-угольник, t {500}, или дважды усеченный 250-угольник, tt {250}, или трижды усеченный 125-угольник, ttt {125}.

Мера каждого внутренний угол в правильном хилиагоне - 179,64 °. В площадь из обычный чилиугольник со сторонами длины а дан кем-то

Этот результат отличается от площади его описанный круг менее чем на 4 частей на миллион.

Потому что 1000 = 23 × 53, количество сторон не является продуктом различных Простые числа Ферма ни степень двойки. Таким образом, обычный хилиагон не является конструктивный многоугольник. Более того, его невозможно построить даже с помощью Neusis или трехсекторный угол, поскольку количество сторон не является продуктом различных Простые числа Пьерпона, ни произведение степеней двойки и тройки. Поэтому для построения хилиагона требуются другие методы, такие как квадратик Гиппия, Архимедова спираль, или другие вспомогательные кривые. Например, сначала можно построить угол 9 ° с помощью циркуля и линейки, который затем можно дважды разрезать (разделить на пять равных частей) с помощью вспомогательной кривой для получения необходимого внутреннего угла 0,36 °.

Философское приложение

Рене Декарт использует хилиагон в качестве примера в своем Шестая медитация чтобы продемонстрировать разницу между чистым интеллектом и воображением. Он говорит, что, когда кто-то думает о хилиагоне, он «не представляет тысячи сторон и не видит их, как если бы они были» перед ним - как, например, когда кто-то представляет себе треугольник. Воображение конструирует «запутанное представление», которое ничем не отличается от того, что оно конструирует из мириагон (многоугольник с десятью тысячами сторон). Однако он ясно понимает, что такое хилиагон, точно так же, как он понимает, что такое треугольник, и может отличить его от мириагона. Следовательно, как утверждает Декарт, интеллект не зависит от воображения, поскольку он способен вырабатывать ясные и отчетливые идеи, когда воображение неспособно.[1] Философ Пьер Гассенди, современник Декарта, критически относился к этой интерпретации, полагая, что, хотя Декарт мог вообразить хилиагон, он не мог его понять: можно было «понять, что слово« хилиагон »означает фигуру с тысячей углов [но] это просто значение термина, и из этого не следует, что вы понимаете тысячу углов фигуры лучше, чем вы их представляете ».[2]

Пример хилиагона также упоминается другими философами, такими как Иммануил Кант.[3] Дэвид Хьюм указывает на то, что «невозможно определить, какие углы хилиагона равны прямым углам 1996 года, или сделать какое-либо предположение, приближающееся к этой пропорции».[4] Готфрид Лейбниц комментирует использование чилиагона Джон Локк, отмечая, что можно иметь представление о многоугольнике, не имея его изображения, и, таким образом, отличать идеи от изображений.[5]

Анри Пуанкаре использует хилиагон как доказательство того, что «интуиция не обязательно основана на свидетельствах чувств», потому что «мы не можем представить себе хилиагон, но все же мы рассуждаем интуитивно на многоугольниках в целом, которые включают хилиагон как частный случай. "[6]

Вдохновленный примером хилиагона Декарта, Родерик Чизхолм и другие философы 20-го века использовали похожие примеры, чтобы сделать аналогичные выводы. Чисхолма "крапчатая курица ", который не обязательно должен иметь определенное количество пятен, чтобы его можно было успешно представить, является, пожалуй, самым известным из них.[7]

Симметрия

Симметрии правильного хилиагона. Голубыми линиями показаны подгруппы индекса 2. Четыре подграфа в рамке позиционно связаны подгруппами индекса 5.

В обычный чилигон есть Dih1000 двугранная симметрия, порядок 2000, представленный 1000 линиями отражения. Dih100 имеет 15 диэдральных подгрупп: Dih500, Ди250, Ди125, Ди200, Ди100, Ди50, Ди25, Ди40, Ди20, Ди10, Ди5, Ди8, Ди4, Ди2, и Dih1. Также есть еще 16 циклический симметрии как подгруппы: Z1000, Z500, Z250, Z125, Z200, Z100, Z50, Z25, Z40, Z20, Z10, Z5, Z8, Z4, Z2, а Z1, с Zп представляющий π /п радианная вращательная симметрия.

Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, а порядок симметрии следует за буквой.[8] Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, п с зеркальными линиями по краям (перпендикулярно), я с зеркальными линиями через вершины и края, и грамм для вращательной симметрии. а1 этикетки не симметричны.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные хилиагоны. Только g1000 подгруппа не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные края.

Хилиаграмма

Хилиаграмма - это 1000-гранный звездный многоугольник. Всего 199 обычных форм[9] данный Символы Шлефли формы {1000 /п}, куда п целое число от 2 до 500, т.е. совмещать до 1000. Также есть 300 обычных звездные фигуры в остальных случаях.

Например, правильный многоугольник {1000/499} состоит из 1000 почти радиальных ребер. Каждая звездная вершина имеет внутренний угол 0,36 градуса.[10]

{1000/499}
Звездный многоугольник 1000-499.svgЗвездный многоугольник 1000-499 center.png
Центральная зона с муаровые узоры

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Медитация VI Декарта (английский перевод).
  2. ^ Сепкоски, Дэвид (2005). «Номинализм и конструктивизм в математической философии семнадцатого века». Historia Mathematica. 32: 33–59. Дои:10.1016 / j.hm.2003.09.002.
  3. ^ Иммануил Кант, «Об открытии», пер. Генри Эллисон в Теоретическая философия после 1791 г., изд. Генри Эллисон и Питер Хит, Cambridge UP, 2002 [Akademie 8: 121]. Кант на самом деле не использует чилигон в качестве своего примера, вместо этого использует 96-гранная фигура, но он отвечает на тот же вопрос, поставленный Декартом.
  4. ^ Дэвид Хьюм, Философские работы Дэвида Юма, Том 1, Black and Tait, 1826 г., п. 101.
  5. ^ Джонатан Фрэнсис Беннетт (2001), Учимся у шести философов: Декарта, Спинозы, Лейбница, Локка, Беркли, Юма, Том 2, Oxford University Press, ISBN  0198250924, п. 53.
  6. ^ Анри Пуанкаре (1900) «Интуиция и логика в математике» Уильяма Брэгга Эвальда (редактор) От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2, Oxford University Press, 2007, ISBN  0198505361, п. 1015.
  7. ^ Родерик Чизхолм, "Проблема пятнистой курицы", Разум 51 (1942): стр. 368–373. «Все эти проблемы являются потомками аргумента Декарта о« хилиагоне »в шестой из его« Размышлений »» (Джозеф Хит, Следование правилам: практические рассуждения и деонтические ограничения, Оксфорд: ОУП, 2008, стр. 305, примечание 15).
  8. ^ Симметрии вещей, Глава 20
  9. ^ 199 = 500 случаев - 1 (выпуклый) - 100 (кратный 5) - 250 (кратный 2) + 50 (кратный 2 и 5)
  10. ^ 0.36=180(1-2/(1000/499))=180(1-998/1000)=180(2/1000)=180/500