Pierpont Prime - Pierpont prime

Pierpont Prime
Названный в честь	Джеймс Пирпонт
Нет. известных терминов	Тысячи
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
Подпоследовательность из	Число Пьерпон
Первые триместры	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Самый большой известный термин	9·213,334,487 + 1
OEIS индекс	A005109

А Pierpont Prime это простое число формы

{ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1 ,}

для некоторых неотрицательных целые числа $ты$ и $v$ . То есть это простые числа $п$ для которого $п - 1$ является 3-гладкий. Они названы в честь математика. Джеймс Пирпонт, который ввел их в изучение правильные многоугольники который может быть построен с использованием конические секции.

Простое число Пьерпона с $v = 0$ имеет форму ${ displaystyle 2 ^ {u} +1}$ , и поэтому Ферма Прайм (пока не $ты = 0$ ). Если $v$ является положительный тогда $ты$ также должно быть положительным (потому что число вида ${ displaystyle 3 ^ {v} +1}$ будет четным и, следовательно, непростым, поскольку 2 не может быть выражено как ${ displaystyle 3 ^ {v} +1}$ когда $v$ - целое положительное число), поэтому все простые числа Пермонта, не принадлежащие Ферма, имеют вид $6 k + 1$ , когда $k$ положительное целое число (кроме 2, когда $ты = v = 0$ ).

Первые несколько простых чисел Пьерпонта:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433 , 839809, 995329, ... (последовательность A005109 в OEIS )

Распределение

Нерешенная проблема в математике:

Бесконечно много простых чисел Пьерпонта?

(больше нерешенных задач по математике)

Распределение показателей для меньших простых чисел Пьерпонта

Эмпирически простые числа Пьерпонта не кажутся особенно редкими или редко распределенными. Имеется 42 простых числа Пьерпона меньше 10⁶, 65 менее 10⁹, 157 менее 10²⁰, и 795 меньше 10¹⁰⁰. Есть несколько ограничений от алгебраических разложений на простые числа Пьерпона, поэтому нет никаких требований, таких как Мерсенн прайм условие, что показатель должен быть простым. Таким образом, ожидается, что среди $п$ -цифровые номера правильной формы ${ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1}$ , доля простых чисел должна быть пропорциональна $1/ п$ , такая же пропорция, как и доля простых чисел среди всех $п$ -значные числа. ${ Displaystyle Theta (п ^ {2})}$ числа правильной формы в этом диапазоне, должно быть ${ Displaystyle Theta (п ^ {2})}$ Простые числа Пьерпона.

Эндрю М. Глисон сделал это рассуждение явным, предполагая, что существует бесконечно много простых чисел Пирпонта, а точнее, что должно быть приблизительно $9 п$ Pierpont грунтует до $10 п$ .^[1] Согласно гипотезе Глисона существуют ${ Displaystyle Theta ( журнал N)}$ Пьерпон простаивает меньше, чем N, в отличие от меньшего предполагаемого числа ${ Displaystyle О ( журнал журнал N)}$ простых чисел Мерсенна в этом диапазоне.

Проверка на первичность

Когда ${ displaystyle 2 ^ {u}> 3 ^ {v}}$ , первозданность ${ displaystyle 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1}$ может быть протестирован Теорема прота. С другой стороны, когда ${ displaystyle 2 ^ {u} <3 ^ {v}}$ альтернативные тесты на простоту ${ displaystyle M = 2 ^ {u} 3 ^ {v} +1}$ возможны на основе факторизации ${ displaystyle M-1}$ как маленькое четное число, умноженное на большую степень трех.^[2]

Простые числа Пьерпона, найденные как множители чисел Ферма

В рамках продолжающегося во всем мире поиска факторов Числа Ферма, некоторые простые числа Пьерпона были объявлены факторами. Следующая таблица^[3] дает значения м, k, и п такой, что

{ displaystyle k cdot 2 ^ {n} +1 { text {divides}} 2 ^ {2 ^ {m}} + 1. ,}

Левая часть - простое число Пьерпона, когда k это мощность из 3; правая часть - число Ферма.


м	k	п	Год	Первооткрыватель
38	3	41	1903	Каллен, Каннингем И западный
63	9	67	1956	Робинсон
207	3	209	1956	Робинсон
452	27	455	1956	Робинсон
9428	9	9431	1983	Келлер
12185	81	12189	1993	Дубнер
28281	81	28285	1996	Таура
157167	3	157169	1995	Молодой
213319	3	213321	1996	Молодой
303088	3	303093	1998	Молодой
382447	3	382449	1999	Cosgrave & Галлот
461076	9	461081	2003	Нохара, Джоблинг, Woltman & Галлот
495728	243	495732	2007	Кейзер, Джоблинг, Пенне и Фужерон
672005	27	672007	2005	Купер, Jobling, Woltman & Gallot
2145351	3	2145353	2003	Косгрейв, Джоблинг, Вольтман и Галлот
2478782	3	2478785	2003	Косгрейв, Джоблинг, Вольтман и Галлот
2543548	9	2543551	2011	Браун, Рейнольдс, Пенне и Фужерон

По состоянию на 2020 год^{[Обновить]}, наибольшее известное простое число Пьерпона равно 9 · 2^13334487 + 1, первичность которого была обнаружена в марте 2020 года.^[4]^[5]

Строительство многоугольника

в математика складывания бумаги, то Аксиомы Хузиты определите шесть из семи возможных типов складки. Было показано, что этих складок достаточно для построения точек, которые решают любые кубическое уравнение.^[6]Отсюда следует, что они допускают любые правильный многоугольник из $N$ стороны должны быть сформированы, пока $N \geq 3$ и формы $2 м 3 п ρ$ , куда $ρ$ является произведением различных простых чисел Пьерпона. Это тот же класс правильных многоугольников, что и те, которые можно построить с помощью компас, прямая грань, и угол-трисектор.^[1] Правильные многоугольники, которые можно построить только с помощью циркуля и линейки (конструктивные многоугольники ) являются частным случаем, когда $п = 0$ и $ρ$ является продуктом различных Простые числа Ферма, сами являются подмножеством простых чисел Пьерпонта.

В 1895 г. Джеймс Пирпонт изучил тот же класс правильных многоугольников; его работа - это то, что дало название простым числам Пьерпонта. Пирпон по-другому обобщил конструкции компаса и линейки, добавив возможность рисовать конические секции коэффициенты которого берутся из ранее построенных точек. Как он показал, обычный $N$ -угольники, которые могут быть построены с помощью этих операций, - это такие, что тотент из $N$ 3-гладкая. Так как сумма простого числа образуется вычитанием из него единицы, простые числа $N$ для которых конструкции Пьерпона являются в точности простыми числами Пьерпона. Однако Пьерпон не описал форму составных чисел с 3-мя гладкими числами.^[7] Как позже показал Глисон, эти числа как раз и имеют вид $2 м 3 п ρ$ приведено выше.^[1]

Наименьшее простое число, не являющееся простым числом Пирпонта (или Ферма), равно 11; Следовательно девичник - это наименьший правильный многоугольник, который нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трехугольника (оригами или конических секций). Все остальные обычные $N$ -угольники с $3 \leq N \leq 21$ может быть построен с помощью циркуля, линейки и трисектора.^[1]

Обобщение

А Пьерпон прайм второго рода простое число вида 2^ты3^v - 1. Эти числа

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (последовательность A005105 в OEIS )

Самые большие известные простые числа этого типа: Простые числа Мерсенна; в настоящее время самый крупный из известных ${ displaystyle 2 ^ {82589933} -1}$ . Наибольшее известное простое число Пирпонта второго типа, не являющееся простым числом Мерсенна, является ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {11895718} -1}$ найден PrimeGrid.^[8]

А обобщенное простое число Пьерпона простое число вида ${ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} cdot ... cdot p_ {k } ^ {n_ {k}} + 1}$ с k фиксированные простые числа {п₁, п₂, п₃, ..., п_k}, п_я < п_j за я < j. А обобщенное простое число Пьерпона второго рода простое число вида ${ displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} cdot p_ {2} ^ {n_ {2}} cdot p_ {3} ^ {n_ {3}} cdot ... cdot p_ {k } ^ {n_ {k}} - 1}$ с k фиксированные простые числа {п₁, п₂, п₃, ..., п_k}, п_я < п_j за я < j. Поскольку все простые числа больше 2 нечетны, в обоих видах п₁ должно быть 2. Последовательности таких простых чисел в OEIS следующие:

{п₁, п₂, п₃, ..., п_k}	+1	−1
{2}	OEIS: A092506	OEIS: A000668
{2, 3}	OEIS: A005109	OEIS: A005105
{2, 5}	OEIS: A077497	OEIS: A077313
{2, 3, 5}	OEIS: A002200	OEIS: A293194
{2, 7}	OEIS: A077498	OEIS: A077314
{2, 3, 5, 7}	OEIS: A174144
{2, 11}	OEIS: A077499	OEIS: A077315
{2, 13}	OEIS: A173236	OEIS: A173062

Смотрите также

Безопасный прайм, простые числа, для которых $п - 1$ максимально негладкий

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Глисон, Эндрю М. (1988), «Трисечение угла, семиугольник и трехугольник», Американский математический ежемесячный журнал, 95 (3): 185–194, Дои:10.2307/2323624, МИСТЕР 0935432. Сноска 8, стр. 191.
^ Кирфель, Кристоф; Рёдсет, Ойстейн Дж. (2001), «О первичности ${ displaystyle 2h cdot 3 ^ {n} +1}$ ", Дискретная математика, 241 (1–3): 395–406, Дои:10.1016 / S0012-365X (01) 00125-X, МИСТЕР 1861431.
^ Уилфрид Келлер, Статус факторинга Fermat.
^ Колдуэлл, Крис. «Самые большие известные простые числа». В Prime Pages. Получено 8 мая 2020.
^ "База данных Prime: 9 * 2 ^ 13334487 + 1". В Prime Pages. Получено 8 мая 2020.
^ Халл, Томас С. (2011), «Решение кубиков со складками: работы Белоха и Лилла», Американский математический ежемесячный журнал, 118 (4): 307–315, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307, МИСТЕР 2800341.
^ Пьерпон, Джеймс (1895), «О недоказанной теореме арифметики Disquisitiones», Бюллетень Американского математического общества, 2 (3): 77–83, Дои:10.1090 / S0002-9904-1895-00317-1, МИСТЕР 1557414.
^ 3*2^11895718 - 1, от Prime Pages.

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел