Кольца Борромео - Borromean rings

Кольца Борромео
Кольца Борромео Иллюзия.png
L6a4
Длина тесьмы6
Тесьма нет.3
Переход нет.6
Гиперболический объем7.327724753
Палка нет.9
Распутывания нет.2
Обозначение Конвея[.1]
Обозначения A-B63
2
ThistlethwaiteL6a4
Последний / следующийL6a3 / L6a5
Другой
чередование, гиперболический

В математика, то Кольца Борромео состоит из трех топологический круги которые связаны но когда удаление одного кольца оставляет два других несвязанными. Другими словами, никакие два из трех колец не связаны друг с другом как одно целое. Ссылка Хопфа, но, тем не менее, все три связаны. Кольца Борромео являются одним из класса таких связей, называемых Бруннские ссылки.

Имя и история

Валкнут на Stora Hammars I камень

Название «кольца Борромео» происходит от их использования в герб из аристократический Борромео семья в Северная Италия.[1] Сама ссылка намного старше и появилась в виде валкнуть, три связанных равносторонние треугольники с параллельными сторонами, на Норвежский изображения камней восходит к 7 веку.[2] Каменный столб в VI веке Храм Марундисварар в Индии показаны кольца Борромео в другой форме, три связанных равносторонних треугольника, повернутых друг относительно друга, образуя правильный эннеаграмма.[3] В Святилище Омива в Японии также украшен мотивом колец Борромео в их традиционной круглой форме.[4]

Кольца Борромео как символ христианства Троица, из рукописи XIII века.

Кольца Борромео использовались в разных контекстах для обозначения силы в единстве.[5] В частности, некоторые использовали дизайн, чтобы обозначить Троица.[6] Психоаналитик Жак Лакан нашел вдохновение в кольцах Борромео в качестве модели для своей топологии человеческой субъективности, где каждое кольцо представляет фундаментальный лакановский компонент реальности («реальный», «воображаемый» и «символический»).[7]

Кольца использовались как логотип Баллантайн пиво, и до сих пор используются пивом марки Ballantine, которое сейчас распространяет нынешний владелец бренда, Пабст Пивоваренная Компания.[8][9] По этой причине их иногда называют «кольцами Баллантайна».[6][8]

Поверхности Зейферта Кольца Борромео были представлены Мартин Гарднер в его сентябре 1961 г. "Колонка "Математические игры" " в Scientific American.[9] В 2006 г. Международный математический союз решил на 25-й Международный конгресс математиков в Мадриде, Испания, чтобы использовать новый логотип на основе колец Борромео.[4]

Частичные и множественные кольца

А кулак обезьяны морской узел

В Европе средневековья и эпохи Возрождения ряд визуальных знаков состоит из трех элементов, переплетенных вместе, так же, как кольца Борромео показаны переплетенными (в их обычном двухмерном изображении), но с отдельными элементами, которые не являются замкнутыми петлями. Примеры таких символов: Снолделевский камень рога[10] и Диана Пуатье полумесяцы.[6]

Аналогично кулак обезьяны узел - это, по сути, трехмерное представление колец Борромео, хотя в большинстве случаев с тремя слоями.[11]

Дискордианская «мандала», содержащая пять конфигураций колец Борромео

Некоторые теоретико-узловые ссылки содержат множественные конфигурации колец Борромео; одно пятиконтурное звено этого типа используется как символ в Дискордианство, основанный на изображении в Принципы Discordia.[12]

Физические реализации

Кристаллическая структура молекулярные кольца Борромео сообщает Стоддарт и другие. (Наука 2004)[13]

Молекулярные кольца Борромео являются молекулярными аналогами колец Борромео, которые молекулярные архитектуры с механической блокировкой. В 1997 г. биолог Чэндэ Мао и сотрудники Нью-Йоркский университет удалось построить набор колец из ДНК.[14] В 2003 г. химик Фрейзер Стоддарт и коллеги в UCLA использованный координационная химия построить набор колец за один шаг из 18 компонентов.[13] Было показано, что кольцевые структуры Борромео являются эффективным способом представления структуры определенных кластеров благородных металлов атомарной точности, которые экранированы поверхностным слоем тиолатных лигандов (-SR), таких как Au25(SR)18 и Ag25(SR)18.[15] Библиотека сетей Борромео была синтезирована по проекту Джузеппе Реснати и коллеги через галогенная связь ведомый самосборка.[16] Чтобы получить доступ к молекулярному кольцу Борромео, состоящему из трех неравных циклов, Джей С. Сигель и его коллеги предложили пошаговый синтез.[17]

Квантово-механический аналог колец Борромео называется состоянием гало или Ефимовское государство (существование таких состояний было предсказано физиком Виталий Ефимов, в 1970 г.). Впервые группа исследователей Рудольфа Гримма и Ханнса-Кристофа Нэгерла из Института экспериментальной физики (Университет Инсбрука, Австрия) экспериментально подтвердила такое состояние в ультрахолодном газе цезий атомов в 2006 году и опубликовали свои выводы в научном журнале Nature.[18] Группа физиков под руководством Рэндалла Хьюлета из Университет Райса в Хьюстоне достигли этого с помощью набора из трех связанных литий атомов и опубликовали свои выводы в онлайн-журнале Science Express.[19] В 2010 году команда под руководством К. Танака создала Ефимовское государство в ядро.[20]

Математические свойства

Форма кольца

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Существуют ли три кривые без узлов, а не все круги, которые не могут образовать кольца Борромео?
(больше нерешенных задач по математике)

Кольца Борромео обычно рисуются так, что их кольца выступают в окружности в плоскости чертежа, но трехмерные круговые кольца Борромео представляют собой невозможный объект: невозможно сформировать кольца Борромео из кругов в трехмерном пространстве.[21] Майкл Х. Фридман и Ричард Скора (1987 ) доказал, что определенный класс ссылок, включая ссылки Борромео, не может быть точно круговым.[22] Для трех колец в их обычном борромеевском расположении это можно увидеть, если рассмотреть схема связи. Если предположить, что два круга касаются двух точек пересечения, то они лежат либо в плоскости, либо в сфере. В любом случае третий круг должен пройти через эту плоскость или сферу четыре раза, не лежая в ней, что невозможно.[23]

Реализация колец Борромео с помощью эллипсов

Однако кольца Борромео можно реализовать с помощью эллипсов.[4] Их можно рассматривать как произвольно маленький эксцентриситет; т.е. независимо от того, насколько близка к округлости их форма, если они не являются идеально круглыми, они могут образовывать связи Борромео при правильном расположении.

Три связанных золотые прямоугольники в регулярном икосаэдр

Реализация колец Борромео тремя взаимно перпендикулярными золотые прямоугольники можно найти в обычном икосаэдр соединив три противоположные пары его краев.[4]

Каждые три без узлов полигоны в евклидовом пространстве могут быть объединены после подходящего масштабного преобразования для образования колец Борромео. Если все три полигона плоские, масштабирование не требуется. В более общем смысле, Мэтью Кук имеет предполагаемый что любые три несвязанные простые замкнутые кривые в пространстве, а не все окружности, могут быть объединены без масштабирования, чтобы сформировать кольца Борромео. После того, как Джейсон Кантарелла предложил возможный контрпример, Хью Нельсон Ховардс ослабил гипотезу, применив ее к любым трем плоским кривым, которые не все являются окружностями. С другой стороны, хотя существует бесконечно много брунновских зацеплений с тремя звеньями, кольца Борромео - единственные, которые могут быть образованы из трех выпуклых кривых.[24]

Связность

В теория узлов, кольца Борромео - простой пример Бруннская ссылка: хотя каждая пара колец несвязанный, ссылка не может быть разорвана. Есть несколько способов увидеть, что кольца Борромео связаны; нужно считать их Лиса праскраски. Тривиальная ссылка будет иметь 125 раскрасок Fox 5 (по одной на каждый выбор цвета для каждой из трех ссылок), но кольца Борромео имеют только пять.[21]

Теория чисел

В арифметическая топология, есть аналогия между узлы и простые числа в котором рассматриваются связи между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) связаны по модулю 2 ( Символ Редеи равно −1), но попарно несвязаны по модулю 2 ( Лежандровые символы все 1). Поэтому эти простые числа были названы «правильной тройкой Борромео по модулю 2».[25] или «mod 2 простых чисел Борромео».[26]

Гиперболическая геометрия

Кольца Борромео гиперболическая ссылка: дополнение к кольцам Борромео в 3-сфере допускает полное гиперболический метрика конечного объема. Каноническое (Эпштейна – Пеннера) полиэдральное разложение дополнения состоит из двух идеальный правильные октаэдры. В объем является куда это Функция Лобачевского.[27] Это был центральный пример в видео. Не узел о узел дополняет, произведенный в 1991 г. Центр геометрии.[28]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Шек, Ричард Дж. (Весна 1968 г.), «Математика и языки литературной критики», Журнал эстетики и художественной критики, 26 (3): 367–376, Дои:10.2307/429121, JSTOR  429121
  2. ^ Bruns, Carson J .; Стоддарт, Дж. Фрейзер (2011), «Механическая связь: произведение искусства», в Fabbrizzi, L. (ed.), Красота в химии, Темы современной химии, 323, Springer-Verlag, стр. 19–72, Дои:10.1007/128_2011_296
  3. ^ Лакшминараян, Арул (май 2007 г.), «Треугольники Борромео и простые узлы в древнем храме», Резонанс, 12 (5): 41–47, Дои:10.1007 / s12045-007-0049-7
  4. ^ а б c d Ганн, Чарльз; Салливан, Джон М. (2008), «Кольца Борромео: видео о новом логотипе ИДУ» в Сарханги, Реза; Секин, Карло Х. (ред.), Мосты Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура, Лондон: Tarquin Publications, стр. 63–70, ISBN  9780966520194
  5. ^ Аравинд, П. К. (1997), "Борромео запутанность государства GHZ" (PDF)в Cohen, R. S .; Хорн, М .; Stachel, J. (ред.), Потенциальность, запутанность и страсть на расстоянии, Boston Studies in the Philosophy of Science, Springer, pp. 53–59, Дои:10.1007/978-94-017-2732-7_4, они олицетворяют девиз «едины мы стоим, разделяем мы падаем», так как если одно из колец разрезано, два других развалятся
  6. ^ а б c Кромвель, Питер; Бельтрами, Элизабетта; Рампичини, Марта (март 1998 г.), «Кольца Борромео», «Турист-математик», Математический интеллект, 20 (1): 53–62, Дои:10.1007 / bf03024401; см., в частности, «Круги в тринитарной иконографии», стр. 58–59.
  7. ^ Рэгланд-Салливан, Элли; Милованович, Драган (2004), «Введение: топологически говорящий», Лакан: топологически говорящий, Другая пресса, ISBN  9781892746764
  8. ^ а б Глик, Нед (сентябрь 1999 г.), «Символ с тремя кольцами пива Ballantine», «Турист-математик», Математический интеллект, 21 (4): 15–16, Дои:10.1007 / bf03025332
  9. ^ а б Гарднер, Мартин (Сентябрь 1961 г.), «Поверхности с краями, соединенными так же, как три кольца известного дизайна», Математические игры, Scientific American; перепечатано как Гарднер, Мартин (1991), «Узлы и кольца Борромео», Неожиданное зависание и другие математические отклонения, University of Chicago Press, стр. 24–33.
  10. ^ Бэрд, Джозеф Л. (1970), "Unferth the þyle", Средний объем, 39 (1): 1–12, Дои:10.2307/43631234, JSTOR  43631234, на камне также изображены переплетенные три рога.
  11. ^ Эшли, Клиффорд Уоррен (1993) [1944], Книга узлов Эшли, Doubleday, стр. 354
  12. ^ "Мандала", Принципы Discordia (4-е изд.), Март 1970 г., стр. 43
  13. ^ а б Келли С. Чичак; Стюарт Дж. Кантрилл; Энтони Р. Пиз; Шэн-Сянь Чиу; Гарет В. В. Кейв; Джерри Л. Этвуд; Дж. Фрейзер Стоддарт (28 мая 2004 г.), "Молекулярные кольца Борромео" (PDF), Наука, 304 (5675): 1308–1312, Bibcode:2004 Наука ... 304.1308C, Дои:10.1126 / science.1096914, PMID  15166376
  14. ^ К. Мао; W. Sun; Н. С. Симан (1997), "Сборка колец Борромео из ДНК", Природа, 386 (6621): 137–138, Bibcode:1997Натура.386..137М, Дои:10.1038 / 386137b0, PMID  9062186
  15. ^ Натараджан, Ганапати; Мэтью, Амму; Негиси, Юичи; Whetten, Роберт Л .; Прадип, Талаппил (2015-12-02), «Единая структура для понимания структуры и модификаций атомно-точных защищенных однослойных кластеров золота», Журнал физической химии C, 119 (49): 27768–27785, Дои:10.1021 / acs.jpcc.5b08193, ISSN  1932-7447
  16. ^ Виджит Кумар; Туллио Пилати; Джанкарло Терранео; Франк Мейер; Пьеранджело Метранголо; Джузеппе Реснати (2017), «Галогенные связи Борромео сети по дизайну: топологическая инвариантность и настройка метрики в библиотеке многокомпонентных систем», Химическая наука, 8 (3): 1801–1810, Дои:10.1039 / C6SC04478F, ЧВК  5477818, PMID  28694953
  17. ^ Великс, Янис; Seifert, Helen M .; Frantz, Derik K .; Клостерман, Джереми К .; Ценг, Джуй-Чанг; Линден, Энтони; Сигел, Джей С. (2016), «К молекулярной связи Борромео с тремя неравными кольцами: двухниточные комплексы рутения (ii) кольцо в кольце», Границы органической химии, 3 (6): 667–672, Дои:10.1039 / c6qo00025h
  18. ^ Т. Кремер; М. Марк; П. Вальдбургер; J. G. Danzl; C. Чин; Б. Энгезер; А. Д. Ланге; К. Пильч; А. Яаккола; Х.-К. Нэгерл; Р. Гримм (2006), "Доказательства квантовых состояний Ефимова в ультрахолодном газе атомов цезия", Природа, 440 (7082): 315–318, arXiv:cond-mat / 0512394, Bibcode:2006Натура.440..315K, Дои:10.1038 / природа04626, PMID  16541068
  19. ^ Клара Московиц (16 декабря 2009 г.), Странная физическая теория, подтвержденная почти 40 лет спустя, Живая наука
  20. ^ К. Танака (2010), "Наблюдение большого сечения реакции в ядре капельной линии". 22C ", Письма с физическими проверками, 104 (6): 062701, Bibcode:2010PhRvL.104f2701T, Дои:10.1103 / PhysRevLett.104.062701, PMID  20366816
  21. ^ а б Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 15: Кольца Борромео не существуют», Доказательства из КНИГИ (6-е изд.), Springer, стр. 99–106, Дои:10.1007/978-3-662-57265-8_15, ISBN  978-3-662-57265-8
  22. ^ Фридман, Майкл Х.; Скора, Ричард (1987), "Странные действия групп на сферах", Журнал дифференциальной геометрии, 25: 75–98, Дои:10.4310 / jdg / 1214440725
  23. ^ Линдстрем, Бернт; Зеттерстрём, Ханс-Олов (1991), «Круги Борромео невозможны», Американский математический ежемесячный журнал, 98 (4): 340–341, Дои:10.2307/2323803, JSTOR  2323803. Однако обратите внимание, что Ганн и Салливан (2008) напишите, что эта ссылка, по-видимому, неправильно относится только к случаю, когда трехмерная конфигурация имеет проекцию, гомеоморфную "традиционному трехкружному рисунку связи.
  24. ^ Ховардс, Хью Нельсон (2013), «Формирование колец Борромео из произвольных многоугольных узлов», Журнал теории узлов и ее разветвлений, 22 (14): 1350083, 15, arXiv:1406.3370, Дои:10.1142 / S0218216513500831, МИСТЕР  3190121
  25. ^ Фогель, Денис (2005), Masseyprodukte in der Galoiskohomologie von Zahlkörpern [Произведения Масси в когомологиях Галуа числовых полей], Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminars Winter Term 2004/2005, Göttingen: Universitätsdrucke Göttingen, стр. 93–98, Дои:10.11588 / heidok.00004418, МИСТЕР  2206880
  26. ^ Моришита, Масанори (22 апреля 2009 г.), Аналогии между узлами и простыми числами, 3-многообразиями и числовыми кольцами, arXiv:0904.3399, Bibcode:2009arXiv0904.3399M
  27. ^ Уильям Терстон (Март 2002 г.), «7. Расчет объема» (PDF), Геометрия и топология трехмерных многообразий., п. 165
  28. ^ Эбботт, Стив (июль 1997 г.), "Обзор Не узел и Дополнение к Not Knot", Математический вестник, 81 (491): 340–342, Дои:10.2307/3619248, JSTOR  3619248

внешняя ссылка