Хиральный узел - Chiral knot

в математический поле теория узлов, а хиральный узел это узел это не эквивалент к своему зеркальному отображению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отображению, называется амфихиральный узел, также называемый ахиральный узел. В хиральность узла - это инвариант узла. Хиральность узла может быть дополнительно классифицирована в зависимости от того, является ли он обратимый.

Существует всего пять типов симметрии узлов, на которые указывают хиральность и обратимость: полностью хиральная, обратимая, положительно амфихиральная необратимая, отрицательно амфихиральная необратимая и полностью амфихиральная обратимая.^[1]

Задний план

Долгое время подозревали хиральность некоторых узлов, и это доказали Макс Ден в 1914 г. П. Г. Тейт предположил, что все амфихиральные узлы имели даже номер перехода, но контрпример нашел Морвен Тистлтуэйт и другие. в 1998 г.^[2] Однако гипотеза Тейта подтвердилась для премьер, чередующиеся узлы.^[3]

Количество узлов каждого типа хиральности для каждого номер перехода

Количество переходов	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS последовательность
Хиральные узлы	1	0	2	2	7	16	49	152	552	2118	9988	46698	253292	1387166	Нет данных
Обратимые узлы	1	0	2	2	7	16	47	125	365	1015	3069	8813	26712	78717	A051769
Полностью хиральные узлы	0	0	0	0	0	0	2	27	187	1103	6919	37885	226580	1308449	A051766
Амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	5	0	13	0	58	0	274	1	1539	A052401
Положительные амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	6	0	65	A051767
Отрицательные амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	1	0	6	0	40	0	227	1	1361	A051768
Полностью амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	4	0	7	0	17	0	41	0	113	A052400

• Оба возможны трилистник.
• 

  Левосторонний узел-трилистник.

• 

  Правосторонний узел-трилистник.

Самый простой киральный узел - это трилистник, хиральность которого была показана Макс Ден. Все торические узлы хиральны. В Полином александра не может обнаружить хиральность узла, но Многочлен Джонса может в некоторых случаях; если V_k(q) ≠ V_k(q⁻¹), то узел киральный, но обратное неверно. В Полином ХОМФЛИ даже лучше при обнаружении киральности, но нет известного полинома инвариант узла который может полностью обнаружить хиральность.^[4]

Двусторонний узел

Киральный узел, который обратимый классифицируется как обратимый узел.^[5] Примеры включают узел трилистника.

Полностью хиральный узел

Если узел не эквивалентен своему обратный или его зеркальное отображение, это полностью хиральный узел, например 9 32 узла.^[5]

Амфихиральный узел

В узел восьмерка - простейший амфихиральный узел.

Амфихиральный узел - это узел, имеющий ориентация -реверсивный само-гомеоморфизм из 3-сфера, α, фиксируя узел по множеству. Все амфихиральные чередующиеся узлы есть даже номер перехода. Первый амфихиральный узел с нечетным числом пересечений - это узел с 15 пересечениями, открытый Хост и другие.^[3]

Полностью амфихиральный

Если узел изотопический Как в обратном, так и в зеркальном отражении он полностью амфихирален. Простейшим узлом с этим свойством является узел восьмерка.

Положительный амфихирал

Если самогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, он называется положительным амфихиральным. Это эквивалентно тому, что узел изотопен своему зеркалу. Узлы с числом пересечений менее двенадцати не являются положительными амфихиральными.^[5]

Отрицательный амфихирал

Первый отрицательный амфихиральный узел.

Если самогомеоморфизм α меняет ориентацию узла, он называется отрицательным амфихиральным. Это эквивалентно тому, что узел изотопен по отношению к своему зеркальному отображению. Узел с этим свойством, имеющий наименьшее количество пересечений, - это узел 8₁₇.^[5]

использованная литература

1. Хост, Джим; Тистлтуэйт, Морвен; Недели, Джефф (1998), «Первые 1701936 узлов» (PDF), Математический интеллект, 20 (4): 33–48, Дои:10.1007 / BF03025227, Г-Н  1646740, заархивировано из оригинал (PDF) на 2013-12-15.
2. Яблан, Славик и Сазданович, Радмила. "История теории узлов и некоторых приложений узлов и зацеплений В архиве 2011-08-20 на Wayback Machine ", LinKnot.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Амфихиральный узел». MathWorld. Доступ: 5 мая 2013 г.
4. «Хиральность узлов 9₄₂ и 10₇₁ и теория Черна-Саймонса »П. Рамадеви, Т. Р. Говиндараджана и Р. К. Кауля
5. "Трехмерные инварианты ", Узел Атлас.