Спутниковый узел - Satellite knot

в математическая теория узлов, а спутниковый узел это морской узел который содержит несжимаемый, не гранично-параллельный тор в его дополнять.^[1] Каждый узел является либо гиперболическим, либо тором, либо узлом-спутником. К классу спутниковых узлов относятся: составной узлы кабельные узлы и Уайтхед удваивается. (Видеть Основные семьи, ниже определения двух последних классов.) Спутник связь тот, который вращается вокруг компаньона K в том смысле, что он находится внутри обычного соседства с компаньоном.^[2]:217

Пример 1: сумма соединения трилистника и узла в форме восьмерки.

Спутниковый узел ${displaystyle K}$ можно живописно описать так: начнем с нетривиального узла ${displaystyle K'}$ лежащий внутри незаузленного полнотория ${displaystyle V}$. Здесь «нетривиальный» означает, что узел ${displaystyle K'}$ не разрешается сидеть внутри 3-мяча в ${displaystyle V}$ и ${displaystyle K'}$ не допускается быть изотопным центральной кривой ядра полнотория. Затем свяжите полноторие в нетривиальный узел.

Пример 2: Двойник Уайтхеда восьмерки.

Это означает, что существует нетривиальное вложение ${displaystyle fcolon V o S^{3}}$ и ${displaystyle K=f(K')}$. Центральная кривая ядра полнотория ${displaystyle V}$ отправляется в узел ${displaystyle H}$, который называется «узел-спутник» и считается планетой, вокруг которой «узел-спутник» ${displaystyle K}$ орбиты. Конструкция гарантирует, что ${displaystyle f(partial V)}$ - неграничный параллельный несжимаемый тор в дополнении к ${displaystyle K}$. Составные узлы содержат несжимаемый тор определенного вида, называемый глотать-следовать тор, который можно представить как проглатывание одного слагаемого и следование другому слагаемому.

Пример 3: кабель соединительной суммы.

С ${displaystyle V}$ - полноторий без узлов, ${displaystyle S^{3}setminus V}$ трубчатая окрестность узла ${displaystyle J}$. Двухкомпонентное звено ${displaystyle K'cup J}$ вместе с вложением ${displaystyle f}$ называется шаблон связанных с эксплуатацией спутника.

Условие: люди обычно требуют, чтобы встраивание ${displaystyle fcolon V o S^{3}}$ является раскрученный в том смысле, что ${displaystyle f}$ должен послать стандартную долготу ${displaystyle V}$ к стандартной долготе ${displaystyle f(V)}$. Сказал по-другому, учитывая любые две непересекающиеся кривые ${displaystyle c_{1},c_{2}subset V}$, ${displaystyle f}$ сохраняет их связывающие номера, то есть: ${displaystyle lk(f(c_{1}),f(c_{2}))=lk(c_{1},c_{2})}$.

Основные семьи

Когда ${displaystyle K'subset partial V}$ это торический узел, тогда ${displaystyle K}$ называется кабельный узел. Примеры 3 и 4 - кабельные узлы.

Если ${displaystyle K'}$ является нетривиальным узлом в ${displaystyle S^{3}}$ а если сжимающий диск для ${displaystyle V}$ пересекает ${displaystyle K'}$ ровно в одной точке, то ${displaystyle K}$ называется коннект-сумма. Другой способ сказать это: шаблон ${displaystyle K'cup J}$ является связной суммой нетривиального узла ${displaystyle K'}$ со ссылкой Хопфа.

Если ссылка ${displaystyle K'cup J}$ это Ссылка Уайтхеда, ${displaystyle K}$ называется Двойник Уайтхеда. Если ${displaystyle f}$ раскручивается, ${displaystyle K}$ называется раскрученным двойником Уайтхеда.

Примеры

Пример 1: сумма соединения узла в форме восьмерки и трилистника.

Пример 2: Раскрученный дубль Уайтхеда восьмерки.

Пример 3: Кабель соединительной суммы.

Пример 4: Трос из трилистника.

Примеры 5 и 6 представляют собой варианты одной и той же конструкции. У них обоих есть два непараллельных, не гранично-параллельных несжимаемых тора в своих дополнениях, разбивающих дополнение на объединение трех многообразий. В примере 5 такими многообразиями являются: Кольца Борромео дополнение, трилистник и восьмерка. В примере 6 дополнение в виде восьмерки заменено другим дополнением в виде трилистника.

Пример 4: Трос трилистника.

Пример 5: Узел, который представляет собой 2-кратный спутник, то есть: он имеет непараллельные торы типа ласточкиного следования.

Пример 6: Узел, который представляет собой 2-кратный спутник, то есть: он имеет непараллельные торы типа ласточкиного следа.

Происхождение

В 1949 г. ^[3] Хорст Шуберт доказал, что каждый ориентированный узел в ${displaystyle S^{3}}$ разлагается как связная сумма простых узлов уникальным способом, вплоть до переупорядочения, в результате чего моноид ориентированных изотопических классов узлов в ${displaystyle S^{3}}$ свободный коммутативный моноид на счетно-бесконечном множестве образующих. Вскоре после этого он понял, что может дать новое доказательство своей теоремы путем тщательного анализа несжимаемых торов, присутствующих в дополнении связной суммы. Это привело его к изучению общих несжимаемых торов в узловых дополнениях в его эпической работе. Knoten und Vollringe,^[4] где он определил спутник и сопутствующие узлы.

Последующая работа

Доказательство Шуберта того, что несжимаемые торы играют важную роль в теории узлов, было одним из первых открытий, ведущих к объединению теории трехмерных многообразий и теории узлов. Это привлекло внимание Вальдхаузена, который позже использовал несжимаемые поверхности, чтобы показать, что большой класс трехмерных многообразий гомеоморфен тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы изоморфны.^[5] Вальдхаузен предположил, что сейчас Разложение Жако – Шалена – Йохансона 3-многообразий, которая является разложением 3-многообразий по сферам и несжимаемым торам. Позже это стало основным ингредиентом в разработке геометризация, который можно рассматривать как частичную классификацию трехмерных многообразий. Разветвления теории узлов были впервые описаны в давно неопубликованной рукописи Бонахона и Зибенмана.^[6]

Уникальность спутниковой декомпозиции

В Knoten und Vollringe, Шуберт доказал, что в некоторых случаях, по сути, существует единственный способ выразить узел как спутник. Но есть также много известных примеров, когда разложение не уникально.^[7] С соответствующим расширенным понятием работы спутников, называемым сращиванием, Разложение JSJ дает правильную теорему единственности для узлов-спутников.^[8][9]

Смотрите также

• Гиперболический узел
• Узел тора

Рекомендации

1. Колин Адамс, Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов, (2001), ISBN  0-7167-4219-5
2. Менаско, Уильям; Thistlethwaite, Морвен, ред. (2005). Справочник по теории узлов. Эльзевир. ISBN  0080459544. Получено 2014-08-18.
3. Шуберт, Х. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104.
4. Шуберт, Х. Нотен и Фоллиндж. Acta Math. 90 (1953), 131–286.
5. Вальдхаузен Ф. О достаточно больших неприводимых трехмерных многообразиях. Ann. математики. (2) 87 (1968), 56–88.
6. Ф. Бонахон, Л. Зибенманн, Новые геометрические расщепления классических узлов, а также классификация и симметрии древовидных узлов. [1]
7. Мотеги, К. Узловые типы узлов-спутников и скрученных узлов. Лекции в Узлах-96. World Scientific.
8. Эйзенбуд, Д. Нойман, В. Трехмерная теория зацеплений и инварианты особенностей плоских кривых. Анна. математики. Stud. 110
9. Будни, Р. JSJ-разложения дополнений узлов и зацеплений в S ^ 3. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv: math.GT/0506523