Квадратный узел (математика) - Square knot (mathematics)

Квадратный узел
Трехмерный вид
Распространенное имя	Рифовый узел
Переход нет.	6
Палка нет.	8
Обозначения A-B	${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}^{*}}$
Другой
составной, крендель, кусочек, амфихиральный, трехцветный

Квадратный узел, нарисованный как ленточный узел

Квадратный узел = трилистник + отражение трилистника. Изображены палочки.

В теория узлов, то квадратный узел это составной узел полученный путем взятия связанная сумма из трилистник с этими отражение. Это тесно связано с бабушка узел, который также является связанной суммой двух трилистников. Поскольку узел-трилистник является простейшим нетривиальным узлом, квадратный узел и узел-бабушка являются простейшими из всех составных узлов.

Квадратный узел - это математическая версия обычного рифовый узел.

строительство

Квадратный узел может быть построен из двух узлов-трилистников, один из которых должен быть левым, а другой правым. Каждый из двух узлов разрезается, а затем свободные концы попарно соединяются. Полученная связная сумма и есть квадратный узел.

Важно, чтобы оригинальные узлы-трилистники были зеркальным отображением друг друга. Если вместо этого использовать два одинаковых узла-трилистника, получится бабушкин-узел.

Свойства

Квадратный узел амфихиральный, что означает, что он неотличим от собственного зеркального отображения. В номер перехода квадратного узла - шесть, что является наименьшим возможным числом пересечений для составного узла.

В Полином александра квадратного узла

${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},\,}$

что просто квадрат полинома Александера трилистного узла. Точно так же Полином Александера – Конвея квадратный узел

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

Эти два полинома такие же, как и для бабушкиного узла. Однако Многочлен Джонса для квадратного узла

${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}.\,}$

Это произведение полиномов Джонса для правостороннего и левостороннего узлов-трилистников и отличается от полинома Джонса для бабушкиного узла.

В группа узлов квадратного узла дается презентацией

${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle .\,}$^[1]

Это изоморфный к группе узлов бабушкиного узла и является простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

В отличие от бабушкиного узла, квадратный узел - это ленточный узел, и, следовательно, также разрезать узел.

использованная литература

1. Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный узел». MathWorld.