Арф-инвариант узла - Arf invariant of a knot

В математической области теория узлов, то Инвариант Arf узла, названного в честь Cahit Arf, это инвариант узла полученный из квадратичной формы, ассоциированной с Поверхность Зейферта. Если F является поверхностью Зейферта узла, то группа гомологий H₁(F, Z/2Z) имеет квадратичную форму, значением которой является количество полных скручиваний по модулю 2 в окрестности вложенной окружности, представляющей элемент группы гомологий. В Инвариант Arf этой квадратичной формы является Арф-инвариантом узла.

Определение матрицей Зейферта

Позволять ${displaystyle V=v_{i,j}}$ быть Матрица Зейферта узла, построенного из набора кривых на Поверхность Зейферта рода грамм которые представляют собой основу для первых гомология поверхности. Это означает, что V это 2грамм × 2грамм матрица со свойством V − V^Т это симплектическая матрица. В Инвариант Arf узла - остаток

${displaystyle sum limits _{i=1}^{g}v_{2i-1,2i-1}v_{2i,2i}{pmod {2}}.}$

В частности, если ${displaystyle {a_{i},b_{i}},i=1...g}$, является симплектическим базисом формы пересечений на поверхности Зейферта, то

${displaystyle Arf(K)=sum limits _{i=1}^{g}lk(a_{i},a_{i}^{+})lk(b_{i},b_{i}^{+}){pmod {2}}.}$

куда ${displaystyle a^{+}}$ обозначает положительный сдвиг а.

Определение эквивалентности прохода

Такой подход к инварианту Арфа обусловлен Луи Кауфман.

Мы определяем два узла как пройти эквивалент если они связаны конечной последовательностью ходов-проходов,^[1] которые проиллюстрированы ниже: (сейчас нет рисунка)

Каждый узел проходно-эквивалентен развязанный или трилистник; эти два узла не эквивалентны проходу, и, кроме того, правый и левый трилистники эквивалентны проходу.^[2]

Теперь мы можем определить Arf-инвариант узла, равный 0, если он эквивалентен проходу без узла, или 1, если он эквивалентен проходу трилистнику. Это определение эквивалентно приведенному выше.

Определение по статистической сумме

Воан Джонс показал, что инвариант Арфа можно получить, взяв статистическую сумму знакового плоского графа, ассоциированного с диаграмма узла.

Определение полиномом Александера

Этот подход к инварианту Арфа принадлежит Раймонду Робертелло.^[3] Позволять

${displaystyle Delta (t)=c_{0}+c_{1}t+cdots +c_{n}t^{n}+cdots +c_{0}t^{2n}}$

- многочлен Александера узла. Тогда инвариант Арфа - это вычет

${displaystyle c_{n-1}+c_{n-3}+cdots +c_{r}}$

по модулю 2, где р = 0 для п странно, и р = 1 для п четное.

Кунио Мурасуги^[4] доказал, что инвариант Арфа равен нулю тогда и только тогда, когда ∆ (−1)${displaystyle equiv }$ ± 1 по модулю 8.

Arf как инвариант согласования узлов

Из критерия Фокса-Милнора, который говорит нам, что многочлен Александера срезанного узла${displaystyle Ksubset mathbb {S} ^{3}}$факторы как${displaystyle Delta (t)=p(t)p(t^{-1})}$ для некоторого полинома ${displaystyle p(t)}$ с целыми коэффициентами, мы знаем, что определитель ${displaystyle |Delta (-1)|}$узла среза представляет собой квадратное целое число. ${displaystyle |Delta (-1)|}$ является нечетным целым числом, оно должно быть сравнимо с 1 по модулю 8. В сочетании с результатом Мурасуги это показывает, что инвариант Arf узла среза равен нулю.

Примечания

1. Кауфман (1987) с.74
2. Кауфман (1987) стр.75–78
3. Робертелло, Раймонд, Инвариант узлового корбордизма, Сообщения по чистой и прикладной математике, Том 18, с. 543–555, 1965
4. Мурасуги, Кунио, Арф-инвариант для типов узлов, Труды Американского математического общества, Vol. 21, No. 1. (апрель 1969 г.), стр. 69–72.

Рекомендации

• Кауфман, Луи Х. (1983). Формальная теория узлов. Математические заметки. 30. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08336-3.
• Кауфман, Луи Х. (1987). На узлах. Анналы математических исследований. 115. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08435-1.
• Кирби, Робион (1989). Топология 4-многообразий. Конспект лекций по математике. 1374. Springer-Verlag. ISBN  0-387-51148-2.