Обратимый узел - Invertible knot

В математика, особенно в районе топология известный как теория узлов, обратимый узел это морской узел это может быть непрерывно деформированный к себе, но с обратной ориентацией. А необратимый узел - любой узел, не обладающий этим свойством. В обратимость узла - это инвариант узла. An обратимая ссылка это связь эквивалент обратимого узла.

Существует всего пять типов симметрии узлов, обозначенных хиральность и обратимость: полностью хиральная, обратимая, положительно амфихиральная необратимая, отрицательная амфихиральная необратимая и полностью амфихиральная обратимая.[1]

Фон

Количество обратимых и необратимых узлов для каждого номер перехода
Количество переходов345678910111213141516OEIS последовательность
Необратимые узлы00000123318711446919381182265811309875A052402
Обратимые узлы1123720471323651032306988542671278830A052403

Давно известно, что большинство простых узлов, таких как трилистник и узел восьмерка обратимы. В 1962 г. Ральф Фокс предположил, что некоторые узлы не обратимы, но не было доказано, что необратимые узлы существуют до тех пор, пока Хейл Троттер открыл бесконечное семейство крендельные узлы которые были необратимыми в 1963 году.[2] Теперь известно почти все узлы необратимы.[3]

Обратимые узлы

Простейший нетривиальный обратимый узел - трилистник. Поворот узла на 180 градусов в 3-м пространстве вокруг оси в плоскости диаграммы дает ту же диаграмму узла, но с обратным направлением стрелки.

Все узлы с номер перехода 7 или меньше, как известно, обратимы. Неизвестно ни одного общего метода, позволяющего определить, является ли данный узел обратимым.[4] Проблема может быть переведена на алгебраические термины:[5] но, к сожалению, нет известного алгоритма для решения этой алгебраической задачи.

Если узел обратимый и амфихиральный, он полностью амфихиральный. Самый простой узел с этим свойством - узел восьмерка. Киральный узел, который является обратимым, классифицируется как обратимый узел.[6]

Сильно обратимые узлы

Более абстрактный способ определить обратимый узел - сказать, что существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм 3-сферы, который переводит узел в себя, но меняет ориентацию вдоль узла. Наложив более сильное условие, что гомеоморфизм также является инволюция, т.е. имеют период 2 в группе гомеоморфизмов 3-сферы, приходим к определению сильно обратимый морской узел. Все узлы с номер туннеля один, такой как трилистник и узел восьмерка, сильно обратимы.[7]

Необратимые узлы

Необратимый узел 817, простейший из необратимых узлов.

Простейшим примером необратимого узла является узел 817 (Обозначение Александера-Бриггса) или .2.2 (Обозначение Конвея ). В крендель узел 7, 5, 3 необратимы, как и все крендельные узлы вида (2п + 1), (2q + 1), (2р + 1), где п, q, и р - различные целые числа, что является бесконечным семейством, которое, как доказал Троттер, необратимо.[2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Хост, Джим; Тистлтуэйт, Морвен; Недели, Джефф (1998), «Первые 1701936 узлов» (PDF), Математический интеллект, 20 (4): 33–48, Дои:10.1007 / BF03025227, МИСТЕР  1646740, заархивировано из оригинал (PDF) на 2013-12-15.
  2. ^ а б Троттер, Х. Ф. (1963), "Необратимые узлы существуют", Топология, 2: 275–280, Дои:10.1016/0040-9383(63)90011-9, МИСТЕР  0158395.
  3. ^ Мурасуги, Кунио (2007), Теория узлов и ее приложения, Springer, стр. 45, ISBN  9780817647186.
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Обратимый узел». MathWorld. Доступ: 5 мая 2013 г.
  5. ^ Куперберг, Грег (1996), "Обнаружение узловой обратимости", Журнал теории узлов и ее разветвлений, 5 (2): 173–181, arXiv:q-alg / 9712048, Дои:10.1142 / S021821659600014X, МИСТЕР  1395778.
  6. ^ Кларк, У. Эдвин; Эльхамдади, Мохамед; Сайто, Масахико; Йитман, Тимоти (2013), Квандл раскраски узлов и аппликаций, arXiv:1312.3307, Bibcode:2013arXiv1312.3307C.
  7. ^ Моримото, кандзи (1995), «Есть узлы, у которых номера туннелей уменьшаются под связанной суммой», Труды Американского математического общества, 123 (11): 3527–3532, Дои:10.1090 / S0002-9939-1995-1317043-4, JSTOR  2161103, МИСТЕР  1317043. См., В частности, лемму 5.

внешняя ссылка