Инвариант Arf - Arf invariant

Arf и формула для инварианта Arf находятся на обратной стороне Банкнота номиналом 10 турецких лир 2009 года

В математика, то Инвариант Arf неособого квадратичная форма через поле из характеристика 2 был определен турецкий математик Cahit Arf  (1941 ), когда он начал систематическое изучение квадратичных форм над произвольными полями характеристики 2. Инвариант Арфа заменяет в характеристике 2 дискриминант квадратичных форм в характеристике не 2. Арф использовал свой инвариант, среди прочего, в своей попытке классифицировать квадратичные формы в характеристике 2.

В частном случае двухэлементного поля F₂ инвариант Арфа можно описать как элемент F₂ что чаще всего встречается среди значений формы. Две невырожденные квадратичные формы над F₂ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и один и тот же инвариант Arf. Этот факт был практически известен Леонард Диксон  (1901 ) даже для любого конечного поля характеристики 2, и Арф доказал это для произвольного идеальное поле.

Инвариант Арфа особенно применяемый в геометрическая топология, где он в основном используется для определения инварианта (4k + 2)-мерные многообразия (по отдельности даже -размерный коллекторы: поверхности (2-многообразия), 6-многообразия, 10-многообразия и т. д.) с некоторой дополнительной структурой, называемой обрамление, и, следовательно, Инвариант Арфа – Кервера. и Арф-инвариант узла. Инвариант Арфа аналогичен инварианту подпись многообразия, которая определена для 4k-мерные многообразия (вдвойне даже -размерный); эта 4-кратная периодичность соответствует 4-кратной периодичности L-теория. Инвариант Арфа также может быть определен в более общем виде для некоторых 2k-мерные многообразия.

Определения

Инвариант Арфа определен для квадратичная форма q над полем K характеристики 2 такой, что q невырождена в том смысле, что ассоциированная билинейная форма ${displaystyle b(u,v)=q(u+v)-q(u)-q(v)}$ является невырожденный. Форма ${displaystyle b}$ является чередование поскольку K имеет характеристику 2; отсюда следует, что неособая квадратичная форма характеристики 2 должна иметь четную размерность. Любая двоичная (двумерная) неособая квадратичная форма над K эквивалентно форме ${displaystyle q(x,y)=ax^{2}+xy+by^{2}}$ с ${displaystyle a,b}$ в K. Инвариант Arf определяется как произведение ${displaystyle ab}$. Если форма ${displaystyle q'(x,y)=a'x^{2}+xy+b'y^{2}}$ эквивалентно ${displaystyle q(x,y)}$, то продукты ${displaystyle ab}$ и ${displaystyle a'b'}$ отличаются элементом формы ${displaystyle u^{2}+u}$ с ${displaystyle u}$ в K. Эти элементы образуют аддитивную подгруппу U из K. Следовательно, смежный класс ${displaystyle ab}$ по модулю U инвариант ${displaystyle q}$, что означает, что он не меняется при ${displaystyle q}$ заменяется эквивалентной формой.

Всякая неособая квадратичная форма ${displaystyle q}$ над K эквивалентно прямой сумме ${displaystyle q=q_{1}+cdots +q_{r}}$ невырожденных бинарных форм. Это было показано Арфом, но ранее это наблюдалось Диксоном в случае конечных полей характеристики 2. Арфинвариант Arf (${displaystyle q}$) определяется как сумма инвариантов Arf ${displaystyle q_{i}}$. По определению это смежный класс K по модулю U. Арф^[1] показал, что действительно ${displaystyle operatorname {Arf} (q)}$ не меняется, если ${displaystyle q}$ заменяется эквивалентной квадратичной формой, то есть инвариантом ${displaystyle q}$.

Инвариант Arf аддитивен; другими словами, инвариант Arf ортогональной суммы двух квадратичных форм есть сумма их инвариантов Arf.

Для поля K характеристики 2, Теория Артина-Шрайера определяет фактор-группу K подгруппой U выше с Когомологии Галуа группа ЧАС¹(K, F₂). Другими словами, ненулевые элементы K/U находятся во взаимно однозначном соответствии с отделяемый квадратичные поля расширения K. Таким образом, инвариант Арфа неособой квадратичной формы над K либо равен нулю, либо описывает сепарабельное квадратичное поле расширения K. Это аналогично дискриминанту неособой квадратичной формы над полем F характеристики not 2. В этом случае дискриминант принимает значения в F^*/(F^*)², который можно отождествить с ЧАС¹(F, F₂) к Теория Куммера.

Основные результаты Арфа

Если поле K совершенна, то любая неособая квадратичная форма над K однозначно (с точностью до эквивалентности) определяется своей размерностью и Arf-инвариантом. В частности, это имеет место над полем F₂. В этом случае подгруппа U выше равен нулю, и, следовательно, инвариант Arf является элементом базового поля F₂; либо 0, либо 1.

Если поле K характеристики 2 не идеальна (т. е. K отличается от своего подполя K² квадратов), то Алгебра Клиффорда - еще один важный инвариант квадратичной формы. Исправленная версия исходного заявления Арфа состоит в том, что если степень [K: K²] не превосходит 2, то любая квадратичная форма над K полностью характеризуется своей размерностью, инвариантом Арфа и алгеброй Клиффорда.^[2] Примеры таких полей: функциональные поля (или же поля степенного ряда ) одной переменной над совершенными базовыми полями.

Квадратичные формы над F₂

Над F₂, инвариант Arf равен 0, если квадратичная форма эквивалентна прямой сумме копий двоичной формы ${displaystyle xy}$, и он равен 1, если форма представляет собой прямую сумму ${displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ с рядом копий ${displaystyle xy}$.

Уильям Браудер назвал инвариант Арфа демократический инвариант^[3] потому что это значение, которое чаще всего принимает квадратичная форма.^[4] Другая характеристика: q имеет инвариант Arf 0 тогда и только тогда, когда лежащие в основе 2k-мерное векторное пространство над полем F₂ имеет k-мерное подпространство, на котором q тождественно 0, т. е. a полностью изотропный подпространство половинной размерности. Другими словами, неособая квадратичная форма размерности 2k имеет инвариант Arf 0 тогда и только тогда, когда его индекс изотропии является k (это максимальная размерность полностью изотропного подпространства неособой формы).

Инвариант Арфа в топологии

Позволять M быть компактный, связаны 2k-размерный многообразие с границей ${displaystyle partial M}$такие, что индуцированные морфизмы в ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-коэффициент гомологии

${displaystyle H_{k}(M,partial M;mathbb {Z} _{2}) o H_{k-1}(partial M;mathbb {Z} _{2}),quad H_{k}(partial M;mathbb {Z} _{2}) o H_{k}(M;mathbb {Z} _{2})}$

оба равны нулю (например, если ${displaystyle M}$ закрыто). В форма пересечения

${displaystyle lambda :H_{k}(M;mathbb {Z} _{2}) imes H_{k}(M;mathbb {Z} _{2}) o mathbb {Z} _{2}}$

неособен. (Топологи обычно пишут F₂ в качестве ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$.) А квадратичное уточнение за ${displaystyle lambda }$ это функция ${displaystyle mu :H_{k}(M;mathbb {Z} _{2}) o mathbb {Z} _{2}}$ что удовлетворяет

${displaystyle mu (x+y)+mu (x)+mu (y)equiv lambda (x,y){pmod {2}};forall ,x,yin H_{k}(M;mathbb {Z} _{2})}$

Позволять ${displaystyle {x,y}}$ - любое двумерное подпространство в ${displaystyle H_{k}(M;mathbb {Z} _{2})}$, так что ${displaystyle lambda (x,y)=1}$. Тогда есть две возможности. Либо все ${displaystyle mu (x+y),mu (x),mu (y)}$ равны 1, иначе только один из них равен 1, а два других равны 0. Назовите первый случай ${displaystyle H^{1,1}}$, а второй случай ${displaystyle H^{0,0}}$. Поскольку каждая форма эквивалентна симплектической форме, мы всегда можем найти подпространства ${displaystyle {x,y}}$ с Икс и у существование ${displaystyle lambda }$-двойной. Поэтому мы можем разделить ${displaystyle H_{k}(M;mathbb {Z} _{2})}$ в прямую сумму подпространств, изоморфных либо ${displaystyle H^{0,0}}$ или же ${displaystyle H^{1,1}}$. Кроме того, за счет хитрой смены основы ${displaystyle H^{0,0}oplus H^{0,0}cong H^{1,1}oplus H^{1,1}.}$ Поэтому мы определяем инвариант Арфа

${displaystyle operatorname {Arf} (H_{k}(M;mathbb {Z} _{2});mu )=({ ext{number of copies of }}H^{1,1}{ ext{ in a decomposition mod 2}})in mathbb {Z} _{2}.}$

Примеры

• Позволять ${displaystyle M}$ быть компактным, связным, ориентированный 2-х мерный многообразие, т.е. поверхность, из род ${displaystyle g}$ такая, что граница ${displaystyle partial M}$ либо пусто, либо связано. Встроить ${displaystyle M}$ в ${displaystyle S^{m}}$, куда ${displaystyle mgeq 4}$. Выберите обрамление M, то есть тривиализация нормального (м - 2) -самолет векторный набор. (Это возможно для ${displaystyle m=3}$, поэтому, безусловно, возможно ${displaystyle mgeq 4}$). Выберите симплектический базис ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{2g-1},x_{2g}}$ за ${displaystyle H_{1}(M)=mathbb {Z} ^{2g}}$. Каждый базовый элемент представлен встроенным кругом ${displaystyle x_{i}:S^{1}subset M}$. Нормальный (м - 1) -самолет векторный набор из ${displaystyle S^{1}subset Msubset S^{m}}$ имеет две тривиализации, одна из которых определяется стандартной обрамление стандартного вложения ${displaystyle S^{1}subset S^{m}}$ и один определяется обрамлением M, которые отличаются картой ${displaystyle S^{1} o SO(m-1)}$ т.е. элемент ${displaystyle pi _{1}(SO(m-1))cong mathbb {Z} _{2}}$ за ${displaystyle mgeq 4}$. Это также можно рассматривать как класс фреймированных кобордизмов ${displaystyle S^{1}}$ с этим оснащением в одномерной группе оснащенных кобордизмов ${displaystyle Omega _{1}^{ ext{framed}}cong pi _{m}(S^{m-1}),(mgeq 4)cong mathbb {Z} _{2}}$, порожденный кругом ${displaystyle S^{1}}$ с оснащением группы Ли. Изоморфизм здесь через Строительство Понтрягина-Тома. Определять ${displaystyle mu (x)in mathbb {Z} _{2}}$ быть этим элементом. Теперь определен Арф-инвариант оснащенной поверхности.

${displaystyle Phi (M)=operatorname {Arf} (H_{1}(M,partial M;mathbb {Z} _{2});mu )in mathbb {Z} _{2}}$

Обратите внимание, что ${displaystyle pi _{1}(SO(2))cong mathbb {Z} ,}$ поэтому нам пришлось стабилизироваться, взяв ${displaystyle m}$ быть не менее 4, чтобы получить элемент ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$. Дело ${displaystyle m=3}$ также допустимо, если взять вычет по модулю 2 оснащения.

• Инвариант Арфа ${displaystyle Phi (M)}$ оснащенной поверхности определяет, существует ли 3-многообразие, граница которого является данной поверхностью, продолжающей данное оснащение. Это потому что ${displaystyle H^{1,1}}$ не связывает. ${displaystyle H^{1,1}}$ представляет собой тор ${displaystyle T^{2}}$ с тривиализацией на обоих образующих ${displaystyle H_{1}(T^{2};mathbb {Z} _{2})}$ который скручивается нечетное количество раз. Ключевым фактом является то, что с точностью до гомотопии есть два варианта тривиализации тривиального 3-плоского расслоения над окружностью, соответствующих двум элементам ${displaystyle pi _{1}(SO(3))}$. Нечетное количество скручиваний, известное как обрамление группы Ли, не распространяется на диск, в то время как четное количество скручиваний распространяется. (Обратите внимание, что это соответствует помещению спиновая структура на нашей поверхности.) Понтрягин использовали инвариант Арфа оснащенных поверхностей для вычисления двумерных оснащенных кобордизм группа ${displaystyle Omega _{2}^{ ext{framed}}cong pi _{m}(S^{m-2}),(mgeq 4)cong mathbb {Z} _{2}}$, который порождается тор ${displaystyle T^{2}}$ с оснащением группы Ли. Изоморфизм здесь через Строительство Понтрягина-Тома.

• Позволять ${displaystyle (M^{2},partial M)subset S^{3}}$ быть Поверхность Зейферта для узла, ${displaystyle partial M=K:S^{1}hookrightarrow S^{3}}$, который можно представить в виде диска ${displaystyle D^{2}}$ с прикрепленными лентами. Полосы обычно скручиваются и завязываются узлами. Каждая полоса соответствует генератору ${displaystyle xin H_{1}(M;mathbb {Z} _{2})}$. ${displaystyle x}$ может быть представлен кружком, пересекающим одну из полос. Определять ${displaystyle mu (x)}$ - количество полных скручиваний в ленте по модулю 2. Пусть ${displaystyle S^{3}}$ граница ${displaystyle D^{4}}$, и нажмите на поверхность Зайферта ${displaystyle M}$ в ${displaystyle D^{4}}$, так что его граница все еще находится в ${displaystyle S^{3}}$. Вокруг любого генератора ${displaystyle xin H_{1}(M,partial M)}$, теперь у нас есть тривиальное нормальное 3-плоское векторное расслоение. Сделайте его тривиальным, используя тривиальное оснащение нормального расслоения до вложения ${displaystyle Mhookrightarrow D^{4}}$ для 2-х разделов требуется. Для третьего выберите участок, который остается нормальным для ${displaystyle x}$, при этом всегда оставаясь касательной к ${displaystyle M}$. Эта тривиализация снова определяет элемент ${displaystyle pi _{1}(SO(3))}$, который мы считаем ${displaystyle mu (x)}$. Обратите внимание, что это совпадает с предыдущим определением ${displaystyle mu }$.

• В Арф-инвариант узла определяется через его поверхность Зейферта. Это не зависит от выбора поверхности Зейферта (базовое хирургическое изменение S-эквивалентности, добавление / удаление трубки, добавление / удаление ${displaystyle H^{0,0}}$ прямое слагаемое), а также инвариант узла. Добавка под связанная сумма, и исчезает на нарезать узлы, так это узловое соответствие инвариантный.

• В форма пересечения на (2k + 1)-размерный ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$-коэффициент гомологии ${displaystyle H_{2k+1}(M;mathbb {Z} _{2})}$ из обрамленный (4k + 2)-мерное многообразие M имеет квадратичное измельчение ${displaystyle mu }$, который зависит от кадрирования. За ${displaystyle keq 0,1,3}$ и ${displaystyle xin H_{2k+1}(M;mathbb {Z} _{2})}$ представлен встраивание ${displaystyle xcolon S^{2k+1}subset M}$ Значение ${displaystyle mu (x)in mathbb {Z} _{2}}$ равно 0 или 1 в соответствии с нормальным набором ${displaystyle x}$ банально или нет. В Инвариант Кервера оформленных (4k + 2)-мерное многообразие M является инвариантом Арфа квадратичного уточнения ${displaystyle mu }$ на ${displaystyle H_{2k+1}(M;mathbb {Z} _{2})}$. Инвариант Кервера - это гомоморфизм ${displaystyle pi _{4k+2}^{S} o mathbb {Z} _{2}}$ на (4k + 2)-мерная стабильная гомотопическая группа сфер. Инвариант Кервера также можно определить для (4k + 2)-мерное многообразие M который обрамлен за исключением точки.

• В теория хирургии, для любого ${displaystyle 4k+2}$-мерная карта нормалей ${displaystyle (f,b):M o X}$ определена неособая квадратичная форма ${displaystyle (K_{2k+1}(M;mathbb {Z} _{2}),mu )}$ на ${displaystyle mathbb {Z} _{2}}$ядро гомологии коэффициентов

${displaystyle K_{2k+1}(M;mathbb {Z} _{2})=ker(f_{*}:H_{2k+1}(M;mathbb {Z} _{2}) o H_{2k+1}(X;mathbb {Z} _{2}))}$

уточнение гомологического форма пересечения ${displaystyle lambda }$. Арф-инвариантом этой формы является Инвариант Кервера из (ж,б). В частном случае ${displaystyle X=S^{4k+2}}$ это Инвариант Кервера из M. Инвариантные особенности Кервера в классификации экзотические сферы к Мишель Кервер и Джон Милнор, и в более общем смысле при классификации многообразий теория хирургии. Уильям Браудер определенный ${displaystyle mu }$ используя функциональные Квадраты Стинрода, и К. Т. К. Уолл определенный ${displaystyle mu }$ используя рамку погружения. Квадратичное усиление ${displaystyle mu (x)}$ критически предоставляет больше информации, чем ${displaystyle lambda (x,x)}$ : убить можно Икс хирургическим путем тогда и только тогда, когда ${displaystyle mu (x)=0}$. Соответствующий инвариант Кервера обнаруживает препятствие операциям ${displaystyle (f,b)}$ в L-группа ${displaystyle L_{4k+2}(mathbb {Z} )=mathbb {Z} _{2}}$.

Смотрите также

• инвариант де Рама, инвариант по модулю 2 ${displaystyle (4k+1)}$-мерные многообразия

Примечания

1. Арф (1941)
2. Фалько Лоренц и Питер Рокетт. Кахит Арф и его инвариант. Раздел 9.
3. Мартино и Придди, стр. 61
4. Браудер, Предложение III.1.8

Рекомендации

• См. Lickorish (1997) относительно связи между инвариантом Арфа и Многочлен Джонса.
• См. Главу 3 книги Картера для другого эквивалентного определения инварианта Арфа в терминах самопересечений дисков в 4-мерном пространстве.
• Арф, Каит (1941), "Untersuchungen über quadratische Formen in Körpern der Charakteristik 2, I", J. Reine Angew. Математика., 183: 148–167
• Глен Бредон: Топология и геометрия, 1993, ISBN  0-387-97926-3.
• Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных многообразий, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0358813
• Дж. Скотт Картер: Как поверхности пересекаются в космосе, Серия о узлах и обо всем, 1993, ISBN  981-02-1050-7.
• СРЕДНИЙ. Чернавский (2001) [1994], «Арф-инвариант», Энциклопедия математики, EMS Press
• Диксон, Леонард Юджин (1901), Линейные группы: с изложением теории поля Галуа, Нью-Йорк: Dover Publications, МИСТЕР  0104735
• Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий, Конспект лекций по математике, 1374, Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0089031, ISBN  0-387-51148-2, МИСТЕР  1001966
• В. Б. Раймонд Ликориш, Введение в теорию узлов, Тексты для выпускников по математике, Springer, 1997, ISBN  0-387-98254-X
• Мартино, Дж .; Придди, С. (2003), "Расширения групп и групповые кольца автоморфизмов", Гомологии, гомотопии и приложения, 5 (1): 53–70, arXiv:0711.1536, Дои:10.4310 / hha.2003.v5.n1.a3
• Лев Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий Переводы Американского математического общества, сер. 2, т. 11. С. 1–114 (1959).

дальнейшее чтение

• Лоренц, Фалько; Рокетт, Питер (2013), «Кахит Арф и его инвариант», Вклад в историю теории чисел в 20 веке (PDF), Наследие европейской математики, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 189–222, ISBN  978-3-03719-113-2, МИСТЕР  2934052, Zbl  1276.11001
• Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Берлин: Springer-Verlag, стр. 211–222, Дои:10.1007/978-3-642-75401-2, ISBN  3-540-52117-8, МИСТЕР  1096299, Zbl  0756.11008