Симплектическое векторное пространство - Symplectic vector space

В математика, а симплектическое векторное пространство это векторное пространство V через поле F (например, реальные числа р) с симплектическим билинейная форма.

А симплектическая билинейная форма это отображение ω : V × V → F то есть

билинейный: линейный в каждом аргументе отдельно,
чередование: ω(v, v) = 0 относится ко всем v ∈ V, и
невырожденный: ω(ты, v) = 0 для всех v ∈ V подразумевает, что ты равно нулю.

Если основной поле имеет характеристика не 2, чередование эквивалентно кососимметрия. Если характеристика равна 2, асимметрия подразумевается, но не подразумевает чередование. В этом случае каждая симплектическая форма является симметричная форма, но не наоборот. Работа в фиксированной основа, ω может быть представлен матрица. Условия выше говорят, что эта матрица должна быть кососимметричный, неособый, и пустой. Это нет то же самое, что и симплектическая матрица, которое представляет собой симплектическое преобразование пространства. Если V является конечномерный, то его размерность обязательно должна быть четное так как каждая кососимметричная полая матрица нечетного размера имеет детерминант нуль. Обратите внимание, что условие, что матрица должна быть полой, не является избыточным, если характеристика поля равна 2. Симплектическая форма ведет себя совершенно иначе, чем симметричная форма, например, скалярное произведение на евклидовых векторных пространствах.

Стандартное симплектическое пространство

Стандартное симплектическое пространство - это р^2п с симплектической формой, заданной неособый, кососимметричная матрица. Обычно ω выбран, чтобы быть блочная матрица

{ displaystyle omega = { begin {bmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0 end {bmatrix}}}

куда я_п это п × п единичная матрица. В терминах базисных векторов (Икс₁, ..., Икс_п, у₁, ..., у_п):

{ displaystyle omega (x_ {i}, y_ {j}) = - omega (y_ {j}, x_ {i}) = delta _ {ij} ,}

{ displaystyle omega (x_ {i}, x_ {j}) = omega (y_ {i}, y_ {j}) = 0. ,}

Модифицированная версия Процесс Грама – Шмидта показывает, что любое конечномерное симплектическое векторное пространство имеет такой базис, что ω принимает эту форму, часто называемую Основа Дарбу, или же симплектический базис.

Есть другой способ интерпретации этой стандартной симплектической формы. Поскольку модельное пространство р²ⁿ использованный выше несет в себе много канонической структуры, которая может легко привести к неправильной интерпретации, вместо этого мы будем использовать «анонимные» векторные пространства. Позволять V быть реальным векторным пространством размерности п и V^∗ это двойное пространство. Теперь рассмотрим прямая сумма W = V ⊕ V^∗ из этих пространств оборудованы следующей формой:

{ displaystyle omega (x oplus eta, y oplus xi) = xi (x) - eta (y).}

Теперь выберите любой основа (v₁, ..., v_п) из V и рассмотреть его двойная основа

{ displaystyle (v_ {1} ^ {*}, ldots, v_ {n} ^ {*}).}

Мы можем интерпретировать базисные векторы как лежащие в W если мы напишем Икс_я = (v_я, 0) и у_я = (0, v_я^∗). Взятые вместе, они составляют полную основу W,

{ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n}, y_ {1}, ldots, y_ {n}).}

Форма ω могут быть показаны как имеющие те же свойства, что и в начале этого раздела. С другой стороны, каждая симплектическая структура изоморфна одной из вида V ⊕ V^∗. Подпространство V не единственно, и выбор подпространства V называется поляризация. Подпространства, задающие такой изоморфизм, называются Лагранжевы подпространства или просто Лагранжианы.

Явно, учитывая лагранжево подпространство (как определено ниже), то выбор базиса (Икс₁, ..., Икс_п) определяет двойственный базис для дополнения, посредством ω(Икс_я, у_j) = δ_ij.

Аналогия со сложными структурами

Так же, как каждая симплектическая структура изоморфна одной из форм V ⊕ V^∗, каждый сложный структура на векторном пространстве изоморфна одному из видов V ⊕ V. Используя эти структуры, касательный пучок из п-многообразие, рассматриваемое как 2п-многообразие, имеет почти сложная структура, а coкасательный пучок из п-многообразие, рассматриваемое как 2п-многообразие, имеет симплектическую структуру: Т_∗(Т^∗M)_п = Т_п(M) ⊕ (Т_п(M))^∗.

Комплексным аналогом лагранжевого подпространства является настоящий подпространство, подпространство, комплексирование это все пространство: W = V ⊕ J V. Как видно из приведенной выше стандартной симплектической формы, любая симплектическая форма на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$ изоморфна мнимой части стандартного комплексного (эрмитова) скалярного произведения на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ (с условием, что первый аргумент антилинейен).

Форма объема

Позволять ω быть переменная билинейная форма на п-мерное реальное векторное пространство V, ω ∈ Λ²(V). потом ω невырожден тогда и только тогда, когда п даже и ω^п/2 = ω ∧ ... ∧ ω это объемная форма. Объемная форма на п-мерное векторное пространство V ненулевое кратное п-форма е₁^∗ ∧ ... ∧ е_п^∗ куда е₁, е₂, ..., е_п является основой V.

Для стандартного базиса, определенного в предыдущем разделе, мы имеем

{ displaystyle omega ^ {n} = (- 1) ^ {n / 2} x_ {1} ^ {*} wedge ldots wedge x_ {n} ^ {*} wedge y_ {1} ^ { *} wedge ldots wedge y_ {n} ^ {*}.}

Переупорядочив, можно написать

{ displaystyle omega ^ {n} = x_ {1} ^ {*} wedge y_ {1} ^ {*} wedge ldots wedge x_ {n} ^ {*} wedge y_ {n} ^ { *}.}

Авторы по-разному определяют ω^п или (−1)^п/2ω^п как стандартная форма тома. Случайный фактор п! может также появиться, в зависимости от того, является ли определение чередующийся продукт содержит фактор п! или нет. Форма объема определяет ориентация на симплектическом векторном пространстве (V, ω).

Симплектическая карта

Предположим, что (V, ω) и (W, ρ) - симплектические векторные пространства. Затем линейная карта ж : V → W называется симплектическая карта если откат сохраняет симплектическую форму, т.е. ж^∗ρ = ω, где форма отката определяется (ж^∗ρ)(ты, v) = ρ(ж(ты), ж(v)). Симплектические карты сохраняют объем и ориентацию.

Симплектическая группа

Если V = W, то симплектическое отображение называется линейное симплектическое преобразование из V. В частности, в этом случае ω(ж(ты), ж(v)) = ω(ты, v), и поэтому линейное преобразование ж сохраняет симплектическую форму. Множество всех симплектических преобразований образует группа и в частности Группа Ли, называется симплектическая группа и обозначается Sp (V) или иногда Sp (V, ω). В матричной форме симплектические преобразования имеют вид симплектические матрицы.

Подпространства

Позволять W быть линейное подпространство из V. Определить симплектическое дополнение из W быть подпространством

{ displaystyle W ^ { perp} = {v in V mid omega (v, w) = 0 { mbox {для всех}} w in W }.}

Симплектическое дополнение удовлетворяет:

{ Displaystyle (W ^ { perp}) ^ { perp} = W}

{ displaystyle dim W + dim W ^ { perp} = dim V.}

Однако в отличие от ортогональные дополнения, W^⊥ ∩ W не обязательно 0. Мы различаем четыре случая:

W является симплектический если W^⊥ ∩ W = {0}. Это правда если и только если ω ограничивается невырожденной формой на W. Симплектическое подпространство ограниченной формы является самостоятельным симплектическим векторным пространством.
W является изотропный если W ⊆ W^⊥. Это верно тогда и только тогда, когда ω ограничивается до 0 на W. Любое одномерное подпространство изотропно.
W является коизотропный если W^⊥ ⊆ W. W коизотропно тогда и только тогда, когда ω к невырожденному виду на факторное пространство W/W^⊥. Эквивалентно W коизотропно тогда и только тогда, когда W^⊥ изотропен. Любой коразмерность -один подпространство коизотропно.
W является Лагранжиан если W = W^⊥. Подпространство лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. В конечномерном векторном пространстве лагранжево подпространство является изотропным, размерность которого вдвое меньше размера V. Каждое изотропное подпространство можно продолжить до лагранжевого.

Ссылаясь на каноническое векторное пространство р^2п над,

подпространство, натянутое на {Икс₁, у₁} симплектический
подпространство, натянутое на {Икс₁, Икс₂} изотропный
подпространство, натянутое на {Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п, у₁} коизотропный
подпространство, натянутое на {Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п} лагранжев.

Группа Гейзенберга

А Группа Гейзенберга можно определить для любого симплектического векторного пространства, и это типичный способ, которым Группы Гейзенберга возникают.

Векторное пространство можно рассматривать как коммутативную группу Ли (при сложении) или, что то же самое, как коммутативную группу Ли. Алгебра Ли, то есть с тривиальной скобкой Ли. Группа Гейзенберга - это центральное расширение такой коммутативной группы / алгебры Ли: симплектическая форма определяет коммутацию, аналогично канонические коммутационные соотношения (CCR), а базис Дарбу соответствует канонические координаты - с точки зрения физики, чтобы операторы импульса и операторы позиции.

Действительно, по Теорема Стоуна – фон Неймана, каждое представление, удовлетворяющее CCR (каждое представление группы Гейзенберга), имеет эту форму или, точнее говоря, унитарно сопряжено со стандартным.

Далее групповая алгебра векторного пространства (двойственного) - это симметрическая алгебра, а групповая алгебра группы Гейзенберга (двойственной) - это Алгебра Вейля: центральное расширение можно рассматривать как соответствующее квантованию или деформация.

Формально симметрическая алгебра векторного пространства V над полем F - групповая алгебра двойственного, Сим (V) := F[V^∗], а алгебра Вейля - это групповая алгебра (дуальной) группы Гейзенберга W(V) = F[ЧАС(V^∗)]. Поскольку переход к групповым алгебрам контравариантный функтор, центральная карта расширения ЧАС(V) → V становится включением Сим (V) → W(V).

Смотрите также

А симплектическое многообразие это гладкое многообразие с плавно меняющимся закрыто симплектическая форма на каждом касательное пространство
Индекс Маслова
А симплектическое представление это групповое представительство где каждый элемент группы действует как симплектическое преобразование.