Алгебра Вейля - Weyl algebra

В абстрактная алгебра, то Алгебра Вейля это звенеть из дифференциальные операторы с многочлен коэффициенты (в одной переменной), а именно выражения вида

${\displaystyle f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).}$

Точнее, пусть F быть основным поле, и разреши F[Икс] быть кольцо многочленов в одной переменной, Икс, с коэффициентами в F. Тогда каждый ж_я лежит в F[Икс].

∂_Икс это производная относительно Икс. Алгебра порождается Икс и ∂_Икс .

Алгебра Вейля является примером простое кольцо это не матричное кольцо через делительное кольцо. Это также некоммутативный пример домен, и пример Расширение руды.

Алгебра Вейля изоморфна частное из свободная алгебра на двух генераторах, Икс и Y, посредством идеальный генерируется элементом

${\displaystyle YX-XY-1~.}$

Алгебра Вейля - первая в бесконечном семействе алгебр, также известных как алгебры Вейля. В п-я алгебра Вейля, А_п, - кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от п переменные. Он создается Икс_я и ∂_Икся, я = 1, ..., п.

Алгебры Вейля названы в честь Герман Вейль, который познакомил их с изучением Гейзенберг принцип неопределенности в квантовая механика. Это частное из универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Гейзенберга, то Алгебра Ли из Группа Гейзенберга, задав центральный элемент алгебры Гейзенберга (а именно [Икс,Y]) равной единице универсальной обертывающей алгебры (названной выше 1).

Алгебру Вейля также называют симплектическая алгебра Клиффорда.^[1][2][3] Алгебры Вейля представляют собой ту же структуру для симплектических билинейные формы который Алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметрических билинейных форм.^[1]

Генераторы и отношения

Можно дать абстрактную конструкцию алгебр А_п с точки зрения генераторов и отношений. Начните с аннотации векторное пространство V (размерности 2п) оснащен симплектическая форма ω. Определим алгебру Вейля W(V) быть

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

куда Т(V) это тензорная алгебра на V, а обозначение ${\displaystyle (\!()\!)}$ означает " идеальный создано".

Другими словами, W(V) - алгебра, порожденная V при условии только отношения ву − УФ = ω(v, ты). Потом, W(V) изоморфна А_п выбором базиса Дарбу для ω.

Квантование

Алгебра W(V) это квантование из симметрическая алгебра Сим (V). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W(V) естественно изоморфно лежащему в основе векторному пространству симметрическая алгебра Сим (V) с деформированным изделием, называемым Groenewold–Мойял продукт (считая симметрическую алгебру полиномиальной функцией на V^∗, где переменные охватывают векторное пространство Vи заменив я в формуле продукта Мойал с 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации из Sym (V) к W(V)

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

Если кто-то предпочитает я и работать с комплексными числами, можно было бы вместо этого определить алгебру Вейля выше как сгенерированную Икс_я и iħ∂_Икся (согласно квантовая механика использование).

Таким образом, алгебра Вейля - это квантование симметрической алгебры, которое по сути то же самое, что и Мойял квантование (если для последнего один ограничивается полиномиальными функциями), но первый - в терминах генераторов и отношений (считающихся дифференциальными операторами), а последний - в терминах деформированного умножения.

На случай, если внешние алгебры, аналогичным квантованию Вейля является Алгебра Клиффорда, который также называют ортогональная алгебра Клиффорда.^[2][4]

Свойства алгебры Вейля

Дальнейшая информация: Теорема Стоуна – фон Неймана

В случае, если наземное поле F имеет нулевую характеристику, п-я алгебра Вейля является просто Нётерян домен. Она имеет глобальное измерение п, в отличие от кольца, которое оно деформирует, Sym (V), имеющая глобальную размерность 2п.

Он не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно более прямо показать, взяв след σ(Икс) и σ(Y) для некоторого конечномерного представления σ (куда [Икс,Y] = 1).

${\displaystyle tr([\sigma (X),\sigma (Y)])=tr(1)~.}$

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след единицы - это размерность матрицы, представление должно быть нулевым.

На самом деле есть более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Любому конечно порожденному А_п-модуль M, существует соответствующее подмногообразие Char (M) из V × V^∗ называется "характерным разнообразием"^{[требуется разъяснение ]} размер которого примерно соответствует размеру^{[требуется разъяснение ]} из M (конечномерный модуль имел бы нульмерное характеристическое многообразие). потом Неравенство Бернштейна заявляет, что для M ненулевой,

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

Еще более сильное утверждение Теорема Габбера, в котором говорится, что Char (M) это соизотропный подвид V × V^∗ для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристика п > 0.

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D^п является центральной, поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически, это конечно порожденный модуль над своим центром; более того, это Адзумая алгебра над его центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, которые все построены из простых представлений размерности. п.

Обобщения

Подробнее об этом квантовании в кейсе п = 1 (и расширение, использующее преобразование Фурье к классу интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. Преобразование Вигнера – Вейля.

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дальнейшую структуру *-алгебра, и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебра, как обсуждалось в CCR и CAR алгебры.

Аффинные разновидности

Алгебры Вейля также обобщаются на случай алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо многочленов

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}}$

то дифференциальный оператор определяется как композиция ${\displaystyle \mathbb {C} }$-линейные выводы ${\displaystyle R}$. Это можно явно описать как фактор-кольцо

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}:D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}}$

Рекомендации

• де Траубенберг, М. Рауш; Slupinski, M. J .; Танаса, А. (2006). «Конечномерные подалгебры Ли алгебры Вейля». J. Теория лжи. 16: 427–454. arXiv:математика / 0504224. (Классифицирует подалгебры одномерной алгебры Вейля над комплексными числами; показывает связь с SL (2, С) )
• Цит Юен Лам (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. п. 6. ISBN  978-0-387-95325-0.
• Коутиньо, С.С. (1997). «Множество аватаров простой алгебры». Американский математический ежемесячный журнал. 104 (7): 593–604. Дои:10.1080/00029890.1997.11990687.
• Травес, Уилл (2010). «Дифференциальные операции на многообразиях Грассмана». В Кэмпбелле, H .; Helminck, A .; Kraft, H .; Wehlau, D. (ред.). Симметрия и пространства. Успехи в математике. 278. Birkhäuse. С. 197–207. Дои:10.1007/978-0-8176-4875-6_10. ISBN  978-0-8176-4875-6.

1. Хельмштеттер, Жак; Микали, Артибано (2008). «Введение: алгебры Вейля». Квадратичные отображения и алгебры Клиффорда. Birkhäuser. п. xii. ISBN  978-3-7643-8605-4.
2. Абламович, Рафал (2004). «Предисловие». Алгебры Клиффорда: приложения к математике, физике и технике. Успехи математической физики. Birkhäuser. стр. xvi. ISBN  0-8176-3525-4.
3. Oziewicz, Z .; Sitarczyk, Cz. (1989). "Параллельное рассмотрение римановой и симплектической алгебр Клиффорда". В Микали, А .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике. Kluwer. стр. 83–96 см. стр.92. ISBN  0-7923-1623-1.
4. Озевич и Ситарчик 1989, п.83