Расширение руды - Ore extension

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория колец, Расширение руды, названный в честь Øystein Ore, это особый тип расширение кольца чьи свойства относительно хорошо изучены. Элементы расширения Ore называются Полиномы руды.

Расширения руды появляются в нескольких естественных контекстах, включая перекос и дифференциал. кольца многочленов, групповые алгебры из полициклические группы, универсальные обертывающие алгебры из разрешимые алгебры Ли, и координационные кольца из квантовые группы.

Определение

Предположим, что р является (не обязательно коммутативным) звенеть, ${ Displaystyle sigma двоеточие R to R}$ кольцо гомоморфизм, и ${ displaystyle delta двоеточие R to R}$ это σ-деривация из р, что обозначает ${ displaystyle delta}$ является гомоморфизмом абелевы группы удовлетворение

{ displaystyle delta (r_ {1} r_ {2}) = sigma (r_ {1}) delta (r_ {2}) + delta (r_ {1}) r_ {2}}

.

Тогда Расширение руды ${ Displaystyle R [х; сигма, дельта]}$ , также называемый косое кольцо многочленов, это некоммутативное кольцо полученный путем предоставления кольцо многочленов ${ Displaystyle R [х]}$ новое умножение при условии тождества

{ displaystyle xr = sigma (r) x + delta (r)}

.

Если δ = 0 (т.е. является нулевым отображением), то расширение Оре обозначается р[Икс; σ]. Если σ = 1 (т. Е. Тождественное отображение), то расширение Оре обозначается р[Икс,δ] и называется кольцо дифференциальных многочленов.

Примеры

В Алгебры Вейля являются расширениями руды, с р любой коммутативный кольцо многочленов, σ эндоморфизм тождественного кольца, и δ полиномиальная производная. Ореалгебры являются классом повторных расширений Оре при подходящих ограничениях, которые позволяют развить некоммутативное расширение теории Базы Грёбнера.

Характеристики

Рудное расширение домен это домен.
Рудное расширение тело некоммутативный Основная идеальная область.
Если σ является автоморфизм и р левый Кольцо Нётериана затем расширение Ore р[λ;σ,δ] также остается нётерянским.

Элементы

Элемент ж рудного кольца р называется

двусторонний^[1] (или же инвариантный^[2] ), если R · f = f · R, и
центральный, если g · f = f · g для всех g ∈ R.

дальнейшее чтение

Goodearl, K. R .; Варфилд, Р. Б., младший (2004 г.), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, второе издание, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 61, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-54537-4, МИСТЕР 2080008
McConnell, J.C .; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца, Аспирантура по математике, 30, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2169-5, МИСТЕР 1811901
Азеддин Уарит (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á i.p, Comm. Алгебра, 20 № 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
Азеддин Уарит (1994) Замечание о свойстве Якобсона расширений П. И. Оре. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extension de Ore a I.P.) (французский) Zbl 0819.16024. Arch. Математика. 63, № 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, т. I, II, Чистая и прикладная математика, 127, 128, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN 0-12-599841-4, МИСТЕР 0940245