L-теория - L-theory

В математика, алгебраический L-теория это K-теория из квадратичные формы; термин был придуман К. Т. К. Уолл, с участием L используется как буква после K. Алгебраический L-теория, также известная как "эрмитская" K-теория », важна в теория хирургии.^[1]

Определение

Можно определить L-группы для любых кольцо с инволюцией р: квадратичный L-группы ${\displaystyle L_{*}(R)}$ (Стена) и симметричный L-группы ${\displaystyle L^{*}(R)}$ (Мищенко, Раницки).

Четное измерение

Четномерное L-группы ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ определяются как Группы Витта из ε-квадратичные формы над кольцом р с участием ${\displaystyle \epsilon =(-1)^{k}}$. Точнее,

${\displaystyle L_{2k}(R)}$

абелева группа классов эквивалентности ${\displaystyle [\psi ]}$ невырожденных ε-квадратичных форм ${\displaystyle \psi \in Q_{\epsilon }(F)}$ над R, где лежащие в основе R-модули F конечно порождены свободными. Отношение эквивалентности задается стабилизацией относительно гиперболические ε-квадратичные формы:

${\displaystyle [\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}}$.

Добавление в ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ определяется

${\displaystyle [\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].}$

Нулевой элемент представлен ${\displaystyle H_{(-1)^{k}}(R)^{n}}$ для любого ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }_{0}}$. Обратное ${\displaystyle [\psi ]}$ является ${\displaystyle [-\psi ]}$.

Странное измерение

Определение нечетной размерности L-группы сложнее; дополнительные детали и определение нечетномерной L-группы можно найти в ссылках, указанных ниже.

Примеры и приложения

В L-группы группы ${\displaystyle \pi }$ являются L-группы ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ из групповое кольцо ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$. В приложениях к топологии ${\displaystyle \pi }$ это фундаментальная группа${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ пространства ${\displaystyle X}$. Квадратичный L-группы ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$играют центральную роль в хирургической классификации гомотопических типов ${\displaystyle n}$-размерный коллекторы измерения ${\displaystyle n>4}$, а в формулировке Гипотеза новикова.

Различие между симметричными L-группы и квадратичные L-группы, обозначенные верхним и нижним индексами, отражают использование в групповых гомологиях и когомологиях. В групповые когомологии ${\displaystyle H^{*}}$ циклической группы ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ имеет дело с неподвижными точками ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-действие, а групповая гомология ${\displaystyle H_{*}}$ имеет дело с орбитами ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-действие; сравнить ${\displaystyle X^{G}}$ (фиксированные точки) и ${\displaystyle X_{G}=X/G}$ (орбиты, частное) для обозначения верхнего / нижнего индекса.

Квадратичный L-группы: ${\displaystyle L_{n}(R)}$ и симметричный L-группы: ${\displaystyle L^{n}(R)}$ связаны отображением симметризации ${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$ который является изоморфизмом по модулю 2-кручения и соответствует поляризационные тождества.

Квадратичная и симметричная L-группы 4-кратно периодичны (комментарий Раницки, стр. 12, о непериодичности симметрических L-groups относится к другому типу L-группы, определяемые с помощью «коротких комплексов»).

С учетом заявок на классификация многообразий есть обширные вычисления квадратичного ${\displaystyle L}$-группы ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$. Для конечных ${\displaystyle \pi }$используются алгебраические методы, и в основном геометрические методы (например, управляемая топология) используются для бесконечных ${\displaystyle \pi }$.

В более общем плане можно определить L-группы для любых аддитивная категория с цепная двойственность, как у Раницкого (раздел 1).

Целые числа

В односвязный L-группы также L-группы целых чисел, как${\displaystyle L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )}$ для обоих ${\displaystyle L}$ = ${\displaystyle L^{*}}$ или ${\displaystyle L_{*}.}$ Для квадратичного L-группы, это операционные препятствия для односвязный хирургия.

Квадратичный L-группы целых чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

В вдвойне даже размер (4k) квадратичная L-группы обнаруживают подпись; в по отдельности даже размер (4k+2), L-группы обнаруживают Инвариант Arf (топологически Инвариант Кервера ).

Симметричный L-группы целых чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

В дважды четном измерении (4k) симметричная L-группы, как с квадратичными L-группы, обнаружение подписи; в размерности (4k+1), L-группы обнаруживают инвариант де Рама.

использованная литература

1. «L-теория, K-теория и инволюции, Левиков, Филипп, 2013, Об университете Абердина (ISNI: 0000 0004 2745 8820)».

• Люк, Вольфганг (2002), "Основы теории хирургии", Топология многомерных многообразий, №1, 2 (Триест, 2001). (PDF), ICTP Lect. Заметки, 9, Abdus Salam Int. Cent. Теорет. Phys., Триест, стр. 1–224, Г-Н  1937016
• Раники, Эндрю А. (1992), Алгебраическая L-теория и топологические многообразия (PDF), Кембриджские трактаты по математике, 102, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-42024-2, Г-Н  1211640
• Уолл, К. Т. С. (1999) [1970], Раники, Андрей (ред.), Хирургия компактных многообразий (PDF), Математические обзоры и монографии, 69 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0942-6, Г-Н  1687388