Подпись (топология) - Signature (topology)

В области топология, то подпись это целое число инвариантный который определен для ориентированного многообразие M измерения делится на четыре.

Этот инвариант многообразия подробно изучен, начиная с Теорема Рохлина для 4-многообразий и Теорема Хирцебруха о сигнатуре.

Определение

Учитывая связаны и ориентированный многообразие M размерности 4k, то чашка продукта рождает квадратичная форма Q на "средней" реальности группа когомологий

${\displaystyle H^{2k}(M,\mathbf {R} )}$.

Базовый стиль чашечного продукта

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

показывает это с п = q = 2k продукт симметричный. Он принимает значения в

${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {R} )}$.

Если предположить также, что M является компактный, Двойственность Пуанкаре отождествляет это с

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {R} )}$

который можно отождествить с ${\displaystyle \mathbf {R} }$. Следовательно, в соответствии с этими гипотезами чашечный продукт действительно вызывает симметричная билинейная форма на ЧАС^2k(M,р); и, следовательно, к квадратичной форме Q. Форма Q является невырожденный из-за двойственности Пуанкаре, поскольку она невырожденно спаривается сама с собой.^{[1] [2]} В более общем смысле подпись может быть определена таким образом для любого общего компакта. многогранник с 4n-мерная двойственность Пуанкаре.

В подпись из M по определению подпись из Q, упорядоченная тройка по определению. Если M не является связным, его сигнатура определяется как сумма подписей его связных компонентов.

Другие размеры

Дальнейшая информация: L-теория

Если M имеет размерность, не делящуюся на 4, его сигнатура обычно определяется равной 0. Есть альтернативные обобщения в L-теория: подпись можно интерпретировать как 4k-мерная (односвязная) симметрическая L-группа ${\displaystyle L^{4k},}$ или как 4k-мерная квадратичная L-группа ${\displaystyle L_{4k},}$ и эти инварианты не всегда исчезают для других измерений. В Инвариант Кервера является модулем 2 (т. е. элементом ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$) для оснащенных многообразий размерности 4k+2 (квадратичная L-группа ${\displaystyle L_{4k+2}}$), в то время как инвариант де Рама является инвариантом по модулю 2 многообразий размерности 4k+1 (симметричная L-группа ${\displaystyle L^{4k+1}}$); остальные размерные L-группы обращаются в нуль.

Инвариант Кервера

Основная статья: Инвариант Кервера

Когда ${\displaystyle d=4k+2=2(2k+1)}$ дважды нечетное целое число (по отдельности даже ), та же конструкция дает антисимметричная билинейная форма. Такие формы не имеют инварианта подписи; если они невырождены, любые две такие формы эквивалентны. Однако если взять квадратичное уточнение формы, которая возникает, если есть рамный коллектор, то полученный ε-квадратичные формы не должны быть эквивалентными, будучи различимыми Инвариант Arf. Полученный инвариант многообразия называется Инвариант Кервера.

Характеристики

Рене Том (1954) показали, что сигнатура многообразия является инвариантом кобордизма и, в частности, задается некоторой линейной комбинацией его Понтрягин числа.^[3] Например, в четырех измерениях он определяется как ${\displaystyle {\frac {p_{1}}{3}}}$. Фридрих Хирцебрух (1954) нашли явное выражение для этой линейной комбинации как Род L коллектора. Уильям Браудер (1962) доказал, что односвязный компакт многогранник с 4п-размерный Двойственность Пуанкаре гомотопически эквивалентно многообразию тогда и только тогда, когда его сигнатура удовлетворяет выражению Теорема Хирцебруха о сигнатуре.

Смотрите также

• Теорема Хирцебруха о сигнатуре
• Род мультипликативной последовательности
• Теорема Рохлина

Рекомендации

1. Милнор, Джон; Сташеф, Джеймс (1962). Характерные классы. Анналы математических исследований 246. с. 224. CiteSeerX  10.1.1.448.869. ISBN  978-0691081229.
2. Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология (PDF) (Ред. Ред.). Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п. 250. ISBN  978-0521795401. Получено 8 января 2017.
3. Том, Рене. "Quelques proprietes globales des varietes дифференцируемые" (PDF) (На французском). Comm. Математика. Helvetici 28 (1954), S. 17–86.. Получено 26 октября 2019.