Форма пересечения (4-многообразие) - Intersection form (4-manifold)

В математика, то форма пересечения ориентированного компакта 4-х коллекторный особый симметричный билинейная форма на 2-й (ко) группе гомологий 4-многообразия. Он отражает большую часть топологии 4-многообразий, включая информацию о существовании гладкая структура.

Определение с использованием пересечения

Позволять M - замкнутое 4-многообразие (PL или гладкое). Сделайте триангуляцию Т из M. Обозначим через ${ displaystyle T ^ {*}}$ то двойное подразделение клеток. Представляют классы ${ displaystyle a, b in H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})}$ на 2 цикла А и B по модулю 2 как объединение 2-симплексов Т и из ${ displaystyle T ^ {*}}$ соответственно. Определите форму пересечения по модулю 2

{ displaystyle cap _ {M, 2}: H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) times H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) to mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}

по формуле

{ Displaystyle a cap _ {M, 2} b = | A cap B | mod 2.}

Это хорошо определено, потому что пересечение цикла и границы состоит из четного числа точек (по определению цикла и границы).

Если M ориентирован аналогично (т.е. считая пересечения со знаками) определяется форма пересечения на 2-й группе гомологий

{ Displaystyle Q_ {M} = cap _ {M} = cdot _ {M}: H_ {2} (M; mathbb {Z}) times H_ {2} (M; mathbb {Z}) to mathbb {Z}.}

Используя понятие трансверсальности, можно сформулировать следующие результаты (которые составляют эквивалентное определение формы пересечения).

Если классы ${ displaystyle a, b in H_ {2} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})}$ представлены замкнутыми поверхностями (или 2-циклами по модулю 2) А и B встречу поперек, то ${ Displaystyle a cap _ {M, 2} b = | A cap B | mod 2.}$

Если M ориентирован и классы ${ displaystyle a, b in H_ {2} (M; mathbb {Z})}$ представлены замкнутыми ориентированными поверхностями (или 2-циклами) А и B встречу поперечно, то каждая точка пересечения в ${ displaystyle A cap B}$ имеет знак +1 или -1 в зависимости от ориентации, а ${ Displaystyle Q_ {M} (а, б)}$ сумма этих знаков.

Определение с использованием чашки продукта

Используя понятие чашка продукта ${ displaystyle smile}$ , можно дать двойной (и, следовательно, эквивалентное) определение следующим образом. Позволять M - замкнутое ориентированное 4-многообразие (PL или гладкое). Определите форму пересечения на 2-й группе когомологий

{ Displaystyle Q_ {M} двоеточие H ^ {2} (M; mathbb {Z}) times H ^ {2} (M; mathbb {Z}) to mathbb {Z}}

по формуле

{ displaystyle Q_ {M} (a, b) = langle a smile b, [M] rangle.}

Определение чашеобразного произведения двойственно (и поэтому аналогично) приведенному выше определению формы пересечения на гомологиях многообразия, но является более абстрактным. Однако определение чашеобразного произведения обобщается на комплексы и топологические многообразия. Это преимущество для математиков, интересующихся комплексами и топологическими многообразиями (не только PL и гладкими многообразиями).

Когда 4-многообразие гладкое, то в когомологии де Рама, если а и б представлены 2-формами ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ , то форму пересечения можно выразить интегралом

{ Displaystyle Q (а, Ь) = int _ {M} альфа клин бета}

где ${ Displaystyle клин}$ это клин.

Определение с использованием чашечного произведения имеет более простой аналог по модулю 2 (который работает для неориентируемых многообразий). Конечно, в когомологиях де Рама этого нет.

Свойства и приложения

Двойственность Пуанкаре утверждает, что форма пересечения унимодулярный (до кручения).

По формуле Ву a вращение 4-многообразие должно иметь четную форму пересечения, т. Е. ${ Displaystyle Q (х, х)}$ даже для каждого Икс. Для односвязный 4-многообразие (или, в более общем смысле, не имеющее 2-кручения, принадлежащее первым гомологиям), верно обратное.

Сигнатура формы пересечения является важным инвариантом. 4-многообразие ограничивает 5-многообразие тогда и только тогда, когда оно имеет нулевую сигнатуру. Из леммы Ван дер Блайя следует, что спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру кратную восьми. По факту, Теорема Рохлина следует, что гладкое компактное спиновое 4-многообразие имеет сигнатуру, кратную 16.

Майкл Фридман использовал форму пересечения для классификации односвязных топологических 4-многообразий. Для любой унимодулярной симметричной билинейной формы над целыми числами Q, существует односвязное замкнутое 4-многообразие M с формой пересечения Q. Если Q четное, такое многообразие только одно. Если Q нечетно, их два, при этом хотя бы один (возможно, оба) не имеет гладкой структуры. Таким образом, два односвязных замкнутых гладкий; плавный 4-многообразия с одинаковой формой пересечения гомеоморфны. В нечетном случае два многообразия различаются своими Инвариант Кирби – Зибенмана.

Теорема Дональдсона заявляет гладкий; плавный односвязное 4-многообразие с положительно определенной формой пересечения имеет диагональную (скалярную 1) форму пересечения. Итак, классификация Фридмана подразумевает, что существует много несглаживаемых 4-многообразий, например Коллектор E8.

использованная литература

Форма пересечения Cite имеет пустые неизвестные параметры: |1= и |2= (Помогите)

Пересечение_номер_покрытий Cite имеет пустые неизвестные параметры: |1= и |2= (Помогите)

Кирби, Робион (1989), Топология 4-многообразий, Конспект лекций по математике. 1374, Springer-Verlag Cite имеет пустой неизвестный параметр: |1= (Помогите)

Linking_form Cite имеет пустые неизвестные параметры: |1= и |2= (Помогите)

Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3749-4

Скопенков, Аркадий (2015), Алгебраическая топология с геометрической точки зрения., MCCME, ISBN 978-5-4439-0293-7