Ориентируемость - Orientability

А тор ориентируемая поверхность

В Лента Мебиуса - неориентируемая поверхность. Обратите внимание, что краб-скрипач, перемещающийся вокруг него, переворачивается влево и вправо при каждом полном обращении. Этого бы не случилось, если бы краб был на торе.

В Римская поверхность неориентируемый

В математика, ориентируемость является собственностью поверхности в Евклидово пространство это измеряет, возможно ли сделать последовательный выбор нормальная поверхность вектор в каждой точке. Выбор вектора нормали позволяет использовать правило правой руки для определения направления петель на поверхности "по часовой стрелке", как того требует Теорема Стокса например. В более общем смысле ориентируемость абстрактной поверхности или многообразие, измеряет, можно ли последовательно выбрать ориентацию «по часовой стрелке» для всех петель в многообразии. Эквивалентно поверхность является ориентируемый если двумерный фигура (такие как ) в пространстве нельзя непрерывно перемещать по этой поверхности и обратно в исходную точку, чтобы она выглядела как ее собственная зеркальное изображение ().

Понятие ориентируемости можно обобщить на многомерные коллекторы также.^[1] Многообразие ориентируемо, если оно имеет последовательный выбор ориентация, а связаны ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В этом случае могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости, в зависимости от желаемого применения и уровня общности. В формулировках, применимых к общим топологическим многообразиям, часто используются методы теория гомологии, тогда как для дифференцируемые многообразия присутствует больше структуры, что позволяет формулировать в терминах дифференциальные формы. Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является понятие ориентируемости семейства пространств, параметризованных каким-либо другим пространством (a пучок волокон ), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, которая непрерывно изменяется в зависимости от изменений значений параметров.

Ориентируемые поверхности

В этой анимации проводится простая аналогия с использованием шестеренки, которая вращается в соответствии с правилом правой руки относительно вектора нормали поверхности. Ориентация кривых, задаваемая границами, определяется направлением движения точек, когда они толкаются движущейся шестерней. На неориентируемой поверхности, такой как лента Мёбиуса, граница должна перемещаться в обоих направлениях одновременно, что невозможно.

Поверхность S в Евклидово пространство р³ ориентируем, если двумерная фигура (например, ) нельзя перемещать по поверхности и возвращать туда, где он был начат, чтобы он выглядел как собственное зеркальное отображение (). В противном случае поверхность неориентируемый. Абстрактная поверхность (т. Е. Двумерная многообразие ) ориентируемо, если на поверхности можно непрерывным образом определить непротиворечивое понятие вращения по часовой стрелке. Другими словами, петля, проходящая по поверхности в одну сторону, никогда не может непрерывно деформироваться (без перекрытия) до петли, проходящей в противоположном направлении. Это оказывается эквивалентным вопросу о том, не содержит ли поверхность подмножества, которое гомеоморфный к Лента Мебиуса. Таким образом, для поверхностей ленту Мёбиуса можно рассматривать как источник всей неориентируемости.

Для ориентируемой поверхности последовательный выбор «по часовой стрелке» (а не против часовой стрелки) называется ориентация, а поверхность называется ориентированный. Для поверхностей, вложенных в евклидово пространство, ориентация задается выбором непрерывно меняющейся нормальная поверхность п в каждой точке. Если такая нормаль вообще существует, то всегда есть два способа ее выбрать: п или -п. В более общем плане ориентируемая поверхность допускает ровно две ориентации, и различие между ориентациейред поверхность и ориентацияспособный поверхность тонкая и часто размытая. Ориентируемая поверхность - это абстрактная поверхность, допускающая ориентацию, в то время как ориентированная поверхность - это поверхность, которая является абстрактно ориентируемой и имеет дополнительные данные для выбора одной из двух возможных ориентаций.

Примеры

Большинство поверхностей, с которыми мы сталкиваемся в физическом мире, ориентируемы. Сферы, самолеты, и тори ориентированы, например. Но Ленты Мебиуса, реальные проективные плоскости, и Бутылки Клейна неориентируемы. Все они в трехмерном представлении имеют только одну сторону. Реальная проективная плоскость и бутылка Клейна не могут быть вложены в р³, только погруженный с хорошими перекрестками.

Обратите внимание, что локально встроенная поверхность всегда имеет две стороны, поэтому близорукий муравей, ползающий по односторонней поверхности, будет думать, что есть «другая сторона». Суть односторонности в том, что муравей может переползать с одной стороны поверхности на «другую», не проходя через поверхность и не переворачиваясь за край, а просто проползая достаточно далеко.

В общем, свойство быть ориентированным не эквивалентно двустороннему; однако это справедливо, когда окружающее пространство (например, р³ выше) ориентируемо. Например, тор, вложенный в

{ Displaystyle К ^ {2} раз S ^ {1}}

может быть односторонним, а бутылка Клейна в том же пространстве может быть двухсторонней; Вот ${ displaystyle K ^ {2}}$ относится к бутылке Клейна.

Ориентация по триангуляции

Любая поверхность имеет триангуляция: разбиение на треугольники, при котором каждое ребро треугольника приклеивается не более чем к одному другому ребру. Каждый треугольник ориентируется путем выбора направления по периметру треугольника, присвоения направления каждому краю треугольника. Если это сделано таким образом, что при склеивании соседние кромки направлены в противоположном направлении, то это определяет ориентацию поверхности. Такой выбор возможен только в том случае, если поверхность ориентируемая, а в этом случае есть ровно две разные ориентации.

Если фигура можно последовательно расположить во всех точках поверхности, не превращаясь в ее зеркальное отображение, тогда это вызовет ориентацию в указанном выше смысле на каждом из треугольников триангуляции путем выбора направления каждого из треугольников на основе порядка красных- зелено-голубой цвета любой из фигур внутри треугольника.

Этот подход распространяется на любые п-многообразие, имеющее триангуляцию. Однако некоторые 4-многообразия не имеют триангуляции, и в общем случае для п > 4 некоторые п-многообразия триангуляции неэквивалентны.

Ориентируемость и гомология

Если ЧАС₁(S) обозначает первую гомология группа поверхности S, тогда S ориентируем тогда и только тогда, когда ЧАС₁(S) имеет тривиальный торсионная подгруппа. Точнее, если S ориентируется тогда ЧАС₁(S) это свободная абелева группа, а если нет, то ЧАС₁(S) = F + Z/2Z где F является свободным абелевым, а Z/2Z фактор генерируется средней кривой в Лента Мебиуса встроенный в S.

Ориентируемость многообразий

Позволять M быть связным топологическим п-многообразие. Есть несколько возможных определений того, что это значит для M быть ориентированным. Некоторые из этих определений требуют, чтобы M имеет дополнительную структуру, например, дифференцируемость. Изредка, $п = 0$ должно быть оформлено в особый случай. Когда более чем одно из этих определений применяется к M, тогда M ориентируема по одному определению тогда и только тогда, когда она ориентируема по другим.^[2]^[3]

Ориентируемость дифференцируемых многообразий.

Наиболее интуитивно понятные определения требуют, чтобы M - дифференцируемое многообразие. Это означает, что переходные функции в атласе M находятся C¹-функции. Такая функция допускает Определитель якобиана. Когда определитель Якоби положителен, переходная функция называется сохранение ориентации. An ориентированный атлас на M атлас, для которого все функции перехода сохраняют ориентацию. M является ориентируемый если он допускает ориентированный атлас. Когда $п > 0$ , ориентация из M максимально ориентированный атлас. (Когда $п = 0$ , ориентация M это функция $M \to {\pm1$ }.)

Ориентируемость и ориентации также можно выразить в терминах касательного пучка. Касательное расслоение - это векторный набор, так что это пучок волокон с структурная группа $GL (п, р)$ . То есть функции перехода многообразия индуцируют функции перехода на касательном расслоении, которые являются послойными линейными преобразованиями. Если структурную группу можно свести к группе $GL + (п, р)$ положительных детерминантных матриц или, что то же самое, если существует атлас, функции переходов которого определяют сохраняющее ориентацию линейное преобразование на каждом касательном пространстве, то многообразие M ориентируемый. Наоборот, M ориентируемо тогда и только тогда, когда структурная группа касательного расслоения может быть сокращена таким образом. Аналогичные наблюдения можно сделать и для связки кадров.

Другой способ определения ориентации на дифференцируемом многообразии - через объемные формы. Объемная форма - это никуда не исчезающий раздел ω из $⋀ п Т * M$ , максимальная внешняя степень котангенсного пучка M. Например, р^п имеет стандартную форму объема, заданную $dx 1 \land ... \land dx п$ . Учитывая объемную форму на M, сборник всех графиков $U \to р п$ для которого стандартная форма объема возвращается к положительному кратному ω ориентированный атлас. Таким образом, существование формы объема равносильно ориентируемости многообразия.

Формы объема и касательные векторы могут быть объединены, чтобы дать еще одно описание ориентируемости. Если $Икс 1, ..., Икс п$ является базисом касательных векторов в точке п, то базис называется правша если $ω (Икс 1, ..., Икс п) > 0$ . Функция перехода сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда она отправляет правые основания на правые. Существование формы объема означает сокращение структурной группы касательного расслоения или расслоения реперов до $GL + (п, р)$ . Как и прежде, отсюда следует ориентируемость M. Наоборот, если M является ориентируемым, то формы локальных объемов могут быть соединены вместе, чтобы создать форму глобального объема, при этом ориентируемость необходима для обеспечения того, чтобы глобальная форма никуда не исчезла.

Гомологии и ориентируемость общих многообразий

В основе всех приведенных выше определений ориентируемости дифференцируемого многообразия лежит понятие функции перехода, сохраняющей ориентацию. Возникает вопрос, что именно сохраняют такие переходные функции. Они не могут сохранять ориентацию многообразия, потому что ориентация многообразия является атласом, и нет смысла говорить, что функция перехода сохраняет или не сохраняет атлас, членом которого она является.

Этот вопрос можно решить, определив локальные ориентации. На одномерном многообразии локальная ориентация вокруг точки п соответствует выбору левого и правого рядом с этой точкой. На двумерном многообразии это соответствует выбору по часовой стрелке и против часовой стрелки. У этих двух ситуаций есть общая черта, заключающаяся в том, что они описываются в терминах поведения на высшем уровне вблизи п но не на п. В общем случае пусть M быть топологическим п-многообразие. А местная ориентация из M вокруг точки п выбор генератора группы

{ displaystyle H_ {n} left (M, M setminus {p }; mathbf {Z} right).}

Чтобы увидеть геометрическое значение этой группы, выберите диаграмму вокруг п. На этом графике есть окрестности п который является открытым мячом B вокруг происхождения О. Посредством теорема об удалении, ${ displaystyle H_ {n} left (M, M setminus {p }; mathbf {Z} right)}$ изоморфен ${ displaystyle H_ {n} left (B, B setminus {O }; mathbf {Z} right)}$ . Шар B стягиваемо, поэтому его группы гомологий обращаются в нуль, кроме нулевой степени, а пространство $B \ О$ является $(п - 1)$ -сферы, поэтому ее группы гомологий исчезают, кроме степеней $п - 1$ и $0$ . Расчет с длинная точная последовательность в относительная гомология показывает, что указанная группа гомологий изоморфна ${ Displaystyle Н_ {п-1} влево (S ^ {п-1}; mathbf {Z} right) cong mathbf {Z}}$ . Таким образом, выбор генератора соответствует решению, является ли на данной диаграмме сфера вокруг п положительный или отрицательный. Отражение $р п$ через происхождение действует отрицанием на ${ displaystyle H_ {n-1} left (S ^ {n-1}; mathbf {Z} right)}$ , поэтому геометрическое значение выбора генератора состоит в том, что он отличает диаграммы от их отражений.

На топологическом многообразии переходная функция есть сохранение ориентации если в каждой точке п в своей области он исправляет генераторы ${ displaystyle H_ {n} left (M, M setminus {p }; mathbf {Z} right)}$ . Отсюда соответствующие определения такие же, как и в дифференцируемом случае. An ориентированный атлас - функция, для которой все переходные функции сохраняют ориентацию, M является ориентируемый если он допускает ориентированный атлас, и когда $п > 0$ , ориентация из M максимально ориентированный атлас.

Интуитивно ориентация M должен определять уникальную локальную ориентацию M в каждой точке. Это уточняется, если отметить, что любая диаграмма ориентированного атласа п можно использовать для определения сферы вокруг п, и эта сфера определяет генератор ${ displaystyle H_ {n} left (M, M setminus {p }; mathbf {Z} right)}$ . Более того, любая другая диаграмма вокруг п связана с первой диаграммой функцией перехода, сохраняющей ориентацию, и это означает, что две диаграммы дают один и тот же генератор, поэтому генератор уникален.

Возможны и чисто гомологические определения. При условии, что M закрыт и подключен, M является ориентируемый если и только если пth группа гомологий ${ Displaystyle Н_ {п} (М; mathbf {Z})}$ изоморфна целым числам Z. An ориентация из M выбор генератора $α$ этой группы. Этот генератор определяет ориентированный атлас, фиксируя генератор бесконечной циклической группы ${ Displaystyle Н_ {п} (М; mathbf {Z})}$ и принимая ориентированные диаграммы за те, для которых $α$ толкает вперед к неподвижному генератору. И наоборот, ориентированный атлас определяет такой генератор, поскольку совместимые локальные ориентации могут быть склеены вместе, чтобы дать генератор для группы гомологий ${ Displaystyle Н_ {п} (М; mathbf {Z})}$ .^[4]

Ориентация и когомологии

Многообразие M ориентируем тогда и только тогда, когда первый Класс Штифеля – Уитни ${ displaystyle w_ {1} (M) in H ^ {1} (M; mathbf {Z} / 2)}$ исчезает. В частности, если первая группа когомологий с Z/ 2 равен нулю, то многообразие ориентируемо. Более того, если M ориентируемый и ш₁ исчезает, тогда ${ Displaystyle Н ^ {0} (М; mathbf {Z} / 2)}$ параметризует выбор ориентации.^[5] Эта характеристика ориентируемости распространяется на ориентируемость общих векторных расслоений над M, а не только касательный пучок.

Двойная крышка ориентации

Вокруг каждой точки M есть две локальные ориентации. Интуитивно понятно, что есть способ перейти от локальной ориентации в точке $п$ к местной ориентации в ближайшей точке $п'$ : когда две точки лежат в одной таблице координат $U \to р п$ , эта координатная карта определяет совместимые локальные ориентации в $п$ и $п'$ . Таким образом, множеству локальных ориентаций может быть задана топология, и эта топология превращает его в многообразие.

Точнее, пусть О - множество всех локальных ориентаций M. Топологизировать О мы укажем подбазу для ее топологии. Позволять U быть открытым подмножеством M выбран так, что ${ Displaystyle Н_ {п} (М, М setminus U; mathbf {Z})}$ изоморфен Z. Предположим, что α - образующая этой группы. Для каждого п в U, есть функция продвижения вперед ${ displaystyle H_ {n} (M, M setminus U; mathbf {Z}) to H_ {n} left (M, M setminus {p }; mathbf {Z} right)}$ . Кообласть этой группы имеет два образующих, и α отображается в один из них. Топология на О определяется так, что

{ displaystyle {{ text {Изображение}} alpha { text {in}} H_ {n} left (M, M setminus {p }; mathbf {Z} right) двоеточие п в U }}

открыт.

Есть каноническая карта $π: О \to M$ который отправляет местную ориентацию на п к п. Понятно, что каждая точка M имеет ровно два прообраза под $π$ . По факту, $π$ является даже локальным гомеоморфизмом, поскольку прообразы открытых множеств U упомянутые выше гомеоморфны несвязному объединению двух копий U. Если M ориентируемо, то M сам по себе является одним из этих открытых множеств, поэтому О несвязное объединение двух копий M. Если M неориентируема, то О связно и ориентируемо. Коллектор О называется двойная крышка ориентации.

Многообразия с краем

Если M является многообразием с краем, то ориентация M определяется как ориентация его внутренней части. Такая ориентация индуцирует ориентацию ∂M. Действительно, предположим, что ориентация M фиксированный. Позволять $U \to р п +$ быть картой в граничной точке M которые, будучи ограничены интерьером M, находится в выбранном ориентированном атласе. Ограничение этой карты на ∂M карта ∂M. Такие карты образуют ориентированный атлас для ∂M.

Когда M гладко, в каждой точке п из ∂M, ограничение касательного расслоения M к ∂M изоморфен $Т п \partial M \oplus р$ , где коэффициент р описывается направленным внутрь нормальным вектором. Ориентация Т_п∂M определяется условием, что основа Т_п∂M положительно ориентирован тогда и только тогда, когда он в сочетании с направленным внутрь нормальным вектором определяет положительно ориентированный базис Т_пM.

Ориентируемая двойная крышка

Воспроизвести медиа

Анимация ориентируемой двойной обложки Лента Мебиуса.

Близкое понятие использует идею покрывающее пространство. Для связного коллектора M взять M^∗, множество пар (Икс, о) где Икс это точка M и о ориентация на Икс; здесь мы предполагаем M либо гладко, поэтому мы можем выбрать ориентацию на касательном пространстве в точке, либо использовать особые гомологии определить ориентацию. Тогда для каждого открытого ориентированного подмножества M мы рассматриваем соответствующий набор пар и определяем его как открытое множество M^∗. Это дает M^∗ топология и отправка проекции (Икс, о) к Икс тогда является покрывающим отображением 2 к 1. Это накрытие называется ориентируемая двойная крышка, как ориентируемый. M^∗ связано тогда и только тогда, когда M не ориентируется.

Другой способ создать это покрытие - разделить петли, основанные на базовой точке, на петли, сохраняющие ориентацию или меняющие ориентацию. Сохраняющие ориентацию петли порождают подгруппу фундаментальной группы, которая является либо всей группой, либо показатель два. В последнем случае (что означает наличие пути с изменением ориентации) подгруппа соответствует связному двойному покрытию; это покрытие ориентируемо по построению. В первом случае можно просто взять две копии M, каждая из которых соответствует разной ориентации.

Ориентация векторных пучков

Настоящая векторный набор, который априори имеет GL (n) структурная группа, называется ориентируемый когда структурная группа может быть уменьшенный к ${ Displaystyle GL ^ {+} (п)}$ , группа матрицы с положительным детерминант. Для касательный пучок, это сокращение всегда возможно, если лежащее в основе базовое многообразие ориентируемо, и на самом деле это дает удобный способ определить ориентируемость гладкий; плавный настоящий многообразие: гладкое многообразие называется ориентируемым, если его касательный пучок ориентируемо (как векторное расслоение). Заметим, что как самостоятельное многообразие касательное расслоение всегда ориентируемые, даже над неориентируемыми многообразиями.

Связанные понятия

Линейная алгебра

Понятие ориентируемости по сути происходит из топологии реального общая линейная группа

{ Displaystyle OperatorName {GL} (п, mathbf {R})}

, в частности, что самый низкий гомотопическая группа является

{ Displaystyle pi _ {0} ( OperatorName {GL} (п, mathbf {R})) = mathbf {Z} / 2}

обратимое преобразование реального векторного пространства либо сохраняет ориентацию, либо меняет ориентацию.

Это верно не только для дифференцируемых многообразий, но и для топологических многообразий, как пространство само-гомотопические эквивалентности сферы также имеет два связанные компоненты, которые можно обозначить как карты "сохраняющие ориентацию" и "меняющие ориентацию".

Аналогичное понятие для симметричная группа это переменная группа из даже перестановки.

Лоренцева геометрия

В Лоренцева геометрия, существует два вида ориентируемости: ориентация в пространстве и ориентированность во времени. Они играют роль в причинная структура пространства-времени.^[6] В контексте общая теория относительности, а пространство-время многообразие ориентировано в пространстве, если, когда два праворуких наблюдателя направляются на ракетных кораблях, стартуя в одной точке пространства-времени, а затем снова встречаются в другой точке, они остаются правыми по отношению друг к другу. Если пространство-время ориентировано во времени, то два наблюдателя всегда согласятся о направлении времени в обеих точках встречи. Фактически, пространство-время ориентируется во времени тогда и только тогда, когда любые два наблюдателя могут договориться, какая из двух встреч предшествовала другой.^[7]

Формально псевдоортогональная группа O (п,q) имеет пару символы: характер пространственной ориентации σ₊ и характер ориентации времени σ₋,

{ displaystyle sigma _ { pm}: operatorname {O} (p, q) to {- 1, + 1 }.}

Их произведение σ = σ₊σ₋ - определитель, придающий характер ориентации. Пространственная ориентация псевдориманова многообразия отождествляется с раздел из связанный пакет

{ displaystyle operatorname {O} (M) times _ { sigma _ {+}} {- 1, + 1 }}

где O (M) - пучок псевдоортогональных реперов. Точно так же временная ориентация - это часть связанного пакета

{ displaystyle operatorname {O} (M) times _ { sigma _ {-}} {- 1, + 1 }.}

Смотрите также

внешняя ссылка

Ориентация многообразий в Manifold Atlas.
Ориентационное покрытие в Manifold Atlas.
Ориентация многообразий в обобщенных теориях когомологий в Manifold Atlas.
Статья в энциклопедии математики о Ориентация.

[1] Манро, Маршалл Эванс (1963). Современное многомерное исчисление. Аддисон-Уэсли Паб. Co. p. 263.

[2] Спивак Михаил (1965). Исчисление на многообразиях. ХарперКоллинз. ISBN 978-0-8053-9021-6.

[3] Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521795401.

[4] Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521795401., Теорема 3.26 (a) на с. 236

[5] Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия. Princeton University Press. ISBN 0-691-08542-0., Теорема 1.2 на с. 79

[6] С.В. Хокинг, G.F.R. Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-20016-4.

[7] Марк Дж. Хэдли (2002) Ориентируемость пространства-времени, Классическая и квантовая гравитация 19: 4565-4571 arXiv: gr-qc / 0202031v4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]