Двудольный граф - Bipartite graph

Пример двудольного графа без циклов

А полный двудольный граф при m = 5 и n = 3

в математический поле теория графов, а двудольный граф (или же биграф) это график чей вершины можно разделить на два непересекающийся и независимые множества ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ так что каждый край соединяет вершину в ${\displaystyle U}$ одному в ${\displaystyle V}$. Наборы вершин ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ обычно называют части графа. Эквивалентно двудольный граф - это граф, который не содержит никаких нечетных циклы.^[1][2]

Два набора ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ можно рассматривать как раскраска графа двумя цветами: если раскрасить все узлы в ${\displaystyle U}$ синий, и все узлы в ${\displaystyle V}$ зеленый, каждое ребро имеет концы разного цвета, как и требуется в задаче раскраски графа.^[3][4] Напротив, такая раскраска невозможна в случае недвудольного графа, такого как треугольник: после того, как один узел окрашен в синий цвет, а другой в зеленый, третья вершина треугольника соединяется с вершинами обоих цветов, предотвращая присвоение ей любого цвета.

Часто пишут ${\displaystyle G=(U,V,E)}$ для обозначения двудольного графа, разбиение которого имеет части ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$, с ${\displaystyle E}$ обозначающие ребра графа. Если двудольный граф не связаны, он может иметь более одного разбиения;^[5] в этом случае ${\displaystyle (U,V,E)}$ нотация помогает указать одно конкретное разделение, которое может иметь значение в приложении. Если ${\displaystyle |U|=|V|}$, то есть, если два подмножества имеют равные мощность, тогда ${\displaystyle G}$ называется сбалансированный двудольный граф.^[3] Если все вершины на одной стороне двудольного деления имеют одинаковые степень, тогда ${\displaystyle G}$ называется двурегулярный.

Примеры

При моделировании связи Между двумя разными классами объектов двудольные графы очень часто возникают естественным образом. Например, граф футболистов и клубов с преимуществом между игроком и клубом, если игрок играл за этот клуб, является естественным примером аффилированная сеть, тип двудольного графа, используемый в анализ социальных сетей.^[6]

Другой пример естественного появления двудольных графов - это (НП-полный ) задача оптимизации железных дорог, в которой входными данными является расписание поездов и их остановок, а цель состоит в том, чтобы найти как можно меньший набор железнодорожных станций, чтобы каждый поезд посещал хотя бы одну из выбранных станций. Эту проблему можно смоделировать как доминирующий набор задача в двудольном графе, у которого есть вершина для каждого поезда и каждой станции и ребро для каждой пары станции и поезда, который останавливается на этой станции.^[7]

Третий пример - академическая нумизматика. Старинные монеты изготовлены с использованием двух положительных впечатлений от дизайна (аверс и реверс). Таблицы, которые нумизматы создают для представления производства монет, представляют собой двудольные графики.^[8]

Более абстрактные примеры включают следующее:

• Каждый дерево двудольный.^[4]
• Графики цикла с четным числом вершин двудольны.^[4]
• Каждый планарный граф чей лица все имеют четную длину, двудольную.^[9] Частными случаями этого являются сеточные графики и квадратные графы, в котором каждая внутренняя грань состоит из 4 ребер, а каждая внутренняя вершина имеет четырех или более соседей.^[10]
• В полный двудольный граф на м и п вершины, обозначаемые K_{п, м} двудольный граф ${\displaystyle G=(U,V,E)}$, куда U и V непересекающиеся множества размера м и псоответственно и E соединяет каждую вершину в U со всеми вершинами в V. Следует, что K_{м, н} имеет млн края.^[11] С полными двудольными графами тесно связаны корона графики, образованный из полных двудольных графов удалением ребер идеальное соответствие.^[12]
• Графы гиперкуба, частичные кубики, и медианные графики двудольные. В этих графах вершины могут быть помечены битвекторы, таким образом, что две вершины являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие битовые векторы отличаются в одной позиции. Двудольность может быть образована путем отделения вершин, битовые векторы которых имеют четное число единиц, от вершин с нечетным числом единиц. Деревья и квадратные графы образуют примеры медианных графов, и каждый медианный граф является частичным кубом.^[13]

Характеристики

Характеристика

Двудольные графы можно охарактеризовать по-разному:

• Граф двудольный если и только если он не содержит нечетный цикл.^[14]
• Граф двудольный тогда и только тогда, когда он 2-раскрашиваем (т. Е. Его хроматическое число меньше или равно 2).^[3]
• В спектр графа симметрична тогда и только тогда, когда это двудольный граф.^[15]

Теорема Кёнига и совершенные графы

В двудольных графах размер минимальное покрытие вершины равен размеру максимальное соответствие; это Теорема Кёнига.^[16][17] Альтернативная и эквивалентная форма этой теоремы состоит в том, что размер максимальный независимый набор плюс размер максимального совпадения равен количеству вершин. В любом графе без изолированные вершины размер минимальное краевое покрытие плюс размер максимального совпадения равен количеству вершин.^[18] Комбинирование этого равенства с теоремой Кёнига приводит к тому, что в двудольных графах размер минимального покрытия ребер равен размеру максимального независимого множества, а размер минимального покрытия ребер плюс размер минимального покрытия вершин равно количеству вершин.

Другой класс связанных результатов касается идеальные графики: каждый двудольный граф дополнять каждого двудольного графа линейный график любого двудольного графа и дополнение к линейному графу каждого двудольного графа совершенны. Нетрудно заметить совершенство двудольных графов (их хроматическое число два и их максимальная клика размер тоже два) но совершенство дополняет двудольных графов менее тривиален и является еще одним подтверждением теоремы Кёнига. Это был один из результатов, который мотивировал первоначальное определение совершенных графов.^[19] Совершенство дополнений к линейным графам совершенных графов - это еще одно подтверждение теоремы Кёнига, а совершенство самих линейных графов - это переформулировка более ранней теоремы Кёнига о том, что каждый двудольный граф имеет окраска края используя количество цветов, равное его максимальной степени.

Согласно сильная теорема о совершенном графе, идеальные графы имеют характеристика запрещенного графа наподобие двудольных графов: граф двудольный тогда и только тогда, когда он не имеет нечетного цикла в качестве подграфа, а граф совершенен тогда и только тогда, когда он не имеет нечетного цикла или его дополнять как индуцированный подграф. Двудольные графы, линейные графы двудольных графов и их дополнения образуют четыре из пяти основных классов совершенных графов, используемых в доказательстве сильной теоремы о совершенных графах.^[20]

Степень

Для вершины количество смежных вершин называется числом степень вершины и обозначается ${\displaystyle \deg(v)}$. формула суммы степеней для двудольного графа утверждает, что

${\displaystyle \sum _{v\in V}\deg(v)=\sum _{u\in U}\deg(u)=|E|\,.}$

Последовательность степеней двудольного графа - это пара списков, каждый из которых содержит степени двух частей ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$. Например, полный двудольный граф K_3,5 имеет последовательность степеней ${\displaystyle (5,5,5),(3,3,3,3,3)}$. Изоморфные двудольные графы имеют одинаковую последовательность степеней. Однако последовательность степеней, как правило, не однозначно идентифицирует двудольный граф; в некоторых случаях неизоморфные двудольные графы могут иметь одинаковую последовательность степеней.

В проблема двусторонней реализации это проблема поиска простого двудольного графа с последовательностью степеней, являющейся двумя заданными списками натуральных чисел. (Завершающие нули можно игнорировать, поскольку они тривиально реализуются путем добавления соответствующего числа изолированных вершин к орграфу.)

Отношение к гиперграфам и ориентированным графам

В матрица двойственности двудольного графа ${\displaystyle (U,V,E)}$ это (0,1) матрица размера ${\displaystyle |U|\times |V|}$ который имеет единицу для каждой пары смежных вершин и ноль для несмежных вершин.^[21] Матрицы взаимосопряженности могут использоваться для описания эквивалентностей между двудольными графами, гиперграфами и ориентированными графами.

А гиперграф представляет собой комбинаторную структуру, которая, как неориентированный граф, имеет вершины и ребра, но в которой ребра могут быть произвольными наборами вершин, а не иметь ровно две конечные точки. Двудольный граф ${\displaystyle (U,V,E)}$ может использоваться для моделирования гиперграфа, в котором U - множество вершин гиперграфа, V - множество гиперребер, а E содержит ребро из вершины гиперграфа v к ребру гиперграфа е именно когда v одна из конечных точек е. При этом соответствии матрицы двойственности двудольных графов в точности соответствуют матрицы заболеваемости соответствующих гиперграфов. Как частный случай этого соответствия между двудольными графами и гиперграфами, любые мультиграф (граф, в котором может быть два или более ребра между одними и теми же двумя вершинами) может интерпретироваться как гиперграф, в котором некоторые гиперребра имеют равные множества конечных точек, и представлен двудольным графом, который не имеет множественных смежностей и в котором все вершины на одной стороне двудольного степень два.^[22]

Подобная переинтерпретация матриц смежности может использоваться, чтобы показать взаимно однозначное соответствие между ориентированные графы (на заданном количестве помеченных вершин, допускающих петли) и сбалансированных двудольных графах с одинаковым количеством вершин по обе стороны от двудольного графа. При матрица смежности ориентированного графа с п вершины могут быть любыми (0,1) матрица размера ${\displaystyle n\times n}$, который затем может быть интерпретирован как матрица смежности двудольного графа с п вершины по обе стороны от его двудольного.^[23] В этой конструкции двудольный граф - это двусторонняя двойная обложка ориентированного графа.

Алгоритмы

Проверка двудольности

Можно проверить, является ли граф двудольным, и вернуть либо двухкратную раскраску (если он двудольный), либо нечетный цикл (если это не так) в линейное время, с помощью поиск в глубину. Основная идея состоит в том, чтобы назначить каждой вершине цвет, который отличается от цвета ее родителя в лесу поиска в глубину, назначая цвета в обход предварительного заказа леса поиска в глубину. Это обязательно обеспечит двухцветную окраску покрывающий лес состоящий из ребер, соединяющих вершины с их родительскими вершинами, но он может неправильно окрасить некоторые ребра, не являющиеся лесами. В лесу поиска в глубину одна из двух конечных точек каждого края, не являющегося лесом, является предком другой конечной точки, и когда поиск в глубину обнаруживает ребро этого типа, он должен проверить, что эти две вершины имеют разные цвета. В противном случае путь в лесу от предка к потомку вместе с неправильно окрашенным ребром образует нечетный цикл, который возвращается из алгоритма вместе с результатом, что граф не является двудольным. Однако, если алгоритм завершается, не обнаружив нечетного цикла этого типа, то каждое ребро должно быть правильно раскрашено, и алгоритм возвращает раскраску вместе с результатом, что граф является двудольным.^[24]

В качестве альтернативы аналогичная процедура может использоваться с поиск в ширину вместо поиска в глубину. Опять же, каждому узлу в лесу поиска присваивается цвет, противоположный его родительскому, в порядке ширины. Если при раскрашивании вершины существует ребро, соединяющее ее с ранее окрашенной вершиной того же цвета, то это ребро вместе с путями в лесу поиска в ширину, соединяющими две его конечные точки с их наименьший общий предок образует нечетный цикл. Если алгоритм завершается, не обнаружив таким образом нечетного цикла, то он должен найти правильную раскраску и может с уверенностью заключить, что граф двудольный.^[25]

Для графы пересечений из ${\displaystyle n}$ отрезки линии или другие простые формы в Евклидова плоскость, можно проверить, является ли граф двудольным и вернуть либо двухкратную раскраску, либо нечетный цикл во времени ${\displaystyle O(n\log n)}$, даже если на самом графике может быть до ${\displaystyle O\left(n^{2}\right)}$ края.^[26]

Нечетный цикл поперечный

Основная статья: Нечетный цикл поперечный

Граф с нечетным циклом трансверсали размера 2: удаление двух синих нижних вершин оставляет двудольный граф.

Нечетный цикл поперечный является НП-полный алгоритмический проблема, которая задает, учитывая графикграмм = (V,E) и числоk, существует ли наборk вершины, удаление которых изграмм приведет к тому, что получившийся граф будет двудольным.^[27] Проблема в управляемый с фиксированными параметрами, что означает, что существует алгоритм, время работы которого может быть ограничено полиномиальной функцией размера графа, умноженной на большую функцию от k.^[28] Название поперечный нечетный цикл происходит из того факта, что граф двудольный тогда и только тогда, когда он не имеет нечетных циклы. Следовательно, чтобы удалить вершины из графа, чтобы получить двудольный граф, нужно «пройти весь нечетный цикл» или найти так называемый нечетный цикл поперечный набор. На иллюстрации каждый нечетный цикл в графе содержит синие (самые нижние) вершины, поэтому удаление этих вершин уничтожает все нечетные циклы и оставляет двудольный граф.

В краевая бипартизация Проблема - это алгоритмическая проблема удаления как можно меньшего количества ребер, чтобы сделать граф двудольным, а также важная проблема в алгоритмике модификации графов. Эта проблема также управляемый с фиксированными параметрами, и можно решить вовремя ${\textstyle O\left(2^{k}m^{2}\right)}$,^[29] кудаk количество ребер для удаления им - количество ребер во входном графе.

Соответствие

Основная статья: Сопоставление (теория графов)

А соответствие в графе - это подмножество его ребер, никакие два из которых не имеют общей конечной точки. Полиномиальное время алгоритмы известны многими алгоритмическими проблемами сопоставлений, в том числе максимальное соответствие (поиск соответствия, в котором используется как можно больше ребер), максимальное соответствие веса, и стабильный брак.^[30] Во многих случаях задачи сопоставления проще решить на двудольных графах, чем на недвудольных графах,^[31] и многие алгоритмы сопоставления, такие как Алгоритм Хопкрофта – Карпа для максимального соответствия мощности^[32] корректно работать только с двудольными входами.

В качестве простого примера предположим, что набор ${\displaystyle P}$ людей все ищут работу среди множества ${\displaystyle J}$ рабочие места, причем не все люди подходят для всех рабочих мест. Эту ситуацию можно смоделировать как двудольный граф ${\displaystyle (P,J,E)}$ где ребро соединяет каждого соискателя с каждой подходящей работой.^[33] А идеальное соответствие описывает способ одновременно удовлетворить всех соискателей и заполнить все вакансии; Теорема холла о браке обеспечивает характеристику двудольных графов, которая допускает совершенное сопоставление. В Национальная программа подбора жильцов применяет методы сопоставления графов для решения этой проблемы для Студент-медик США ищущие работу и ординатура в больнице рабочие места.^[34]

В Разложение Дульмаджа – Мендельсона. представляет собой структурное разложение двудольных графов, которое полезно для поиска максимального совпадения.^[35]

Дополнительные приложения

Двудольные графы широко используются в современных теория кодирования, особенно для декодирования кодовые слова получено с канала. Факторные графики и Графики Таннера примеры этого. Граф Таннера - это двудольный граф, в котором вершины на одной стороне двудольного раздела представляют цифры кодового слова, а вершины на другой стороне представляют собой комбинации цифр, которые, как ожидается, будут без ошибок равны нулю в кодовом слове.^[36] Факторный график - это тесно связанный сеть убеждений используется для вероятностного декодирования LDPC и турбокоды.^[37]

В информатике Сеть Петри это инструмент математического моделирования, используемый при анализе и моделировании параллельных систем. Система моделируется как двудольный ориентированный граф с двумя наборами узлов: набором узлов «места», которые содержат ресурсы, и набором узлов «событий», которые генерируют и / или потребляют ресурсы. Есть дополнительные ограничения на узлы и ребра, которые ограничивают поведение системы. В сетях Петри используются свойства двудольных ориентированных графов и другие свойства, позволяющие математически доказывать поведение систем, а также позволяя легко реализовать моделирование системы.^[38]

В проективная геометрия, Графы Леви представляют собой форму двудольного графа, используемого для моделирования инцидентов между точками и линиями в конфигурация. В соответствии с геометрическим свойством точек и прямых, что каждые две прямые пересекаются не более чем в одной точке и каждые две точки соединяются одной линией, графы Леви обязательно не содержат никаких циклов длины четыре, поэтому их обхват должно быть шесть или больше.^[39]

Смотрите также

• Двудольное измерение, минимальное количество полных двудольных графов, объединением которых является данный граф
• Двусторонняя двойная обложка, способ преобразования любого графа в двудольный граф путем удвоения его вершин
• Двудольный гиперграф, обобщение двудольности на гиперграфы.
• Двудольный матроид, класс матроидов, включающий графические матроиды двудольных графов
• Двусторонняя сетевая проекция, метод взвешивания для сжатия информации о двудольных сетях
• Выпуклый двудольный граф, двудольный граф, вершины которого можно упорядочить так, чтобы окрестности вершин были смежными.
• Многостраничный граф, обобщение двудольных графов на более чем два подмножества вершин
• График четности, обобщение двудольных графов, в котором каждые два индуцированные пути между одними и теми же двумя точками одинаковая четность
• Квазидвудольный граф, тип экземпляра задачи дерева Штейнера, в котором терминалы образуют независимый набор, позволяющий использовать алгоритмы аппроксимации, которые обобщают алгоритмы для двудольных графов
• Разделить график, граф, вершины которого можно разбить на два подмножества, одно из которых является независимым, а другое является кликой
• Проблема заранкевича на максимальное количество ребер в двудольном графе с запрещенными подграфами

Рекомендации

1. Дистель, Рейнард (2005), Теория графов, Тексты для выпускников по математике, Спрингер, ISBN  978-3-642-14278-9
2. Асратян, Армен С .; Денли, Тристан М. Дж .; Хэггквист, Роланд (1998), Двудольные графы и их приложения, Кембриджские трактаты по математике, 131, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521593458.
3. Асратян, Денли и Хэггквист (1998), п. 7.
4. Шайнерман, Эдвард Р. (2012), Математика: дискретное введение (3-е изд.), Cengage Learning, стр. 363, г. ISBN  9780840049421.
5. Чартран, Гэри; Чжан, Пин (2008), Теория хроматических графов, Дискретная математика и ее приложения, 53, CRC Press, стр. 223, г. ISBN  9781584888000.
6. Вассерман, Стэнли; Фауст, Кэтрин (1994), Анализ социальных сетей: методы и приложения, Структурный анализ в социальных науках, 8, Cambridge University Press, стр. 299–302, ISBN  9780521387071.
7. Нидермайер, Рольф (2006), Приглашение к алгоритмам с фиксированными параметрами, Серия оксфордских лекций по математике и ее приложениям, Oxford University Press, стр. 20–21, ISBN  978-0-19-856607-6
8. Брейси, Роберт (2012), «О графической интерпретации монет третьего года Ирода», в Jacobson, David M .; Коккинос, Никос (ред.), Иудея и Рим в монетах 65 г. до н. Э. - 135 г. н. Э .: доклады, представленные на международной конференции, организованной Спинком, 13–14 сентября 2010 г., Спинк и сын, стр. 65–84
9. Сойфер Александр (2008), Математическая книжка-раскраска, Springer-Verlag, стр. 136–137, ISBN  978-0-387-74640-1. Этот результат иногда называют «теоремой двух цветов»; Сойфер приписывает это известной работе 1879 г. Альфред Кемпе содержащее ложное доказательство теорема четырех цветов.
10. Bandelt, H.J .; Чепой, В .; Эппштейн, Д. (2010), «Комбинаторика и геометрия конечных и бесконечных квадратных графов», Журнал SIAM по дискретной математике, 24 (4): 1399–1440, arXiv:0905.4537, Дои:10.1137/090760301, S2CID  10788524.
11. Асратян, Денли и Хэггквист (1998), п. 11.
12. Архидьякон, Д.; Дебовский, М .; Диниц, Дж.; Гавлас, Х. (2004), "Циклические системы в полном двудольном графе минус однофакторный", Дискретная математика, 284 (1–3): 37–43, Дои:10.1016 / j.disc.2003.11.021.
13. Овчинников, Сергей (2011), Графики и кубики, Universitext, Springer. См. Особенно главу 5, «Частичные кубы», стр. 127–181.
14. Асратян, Денли и Хэггквист (1998), Теорема 2.1.3, с. 8. Asratian et al. приписывают эту характеристику статье 1916 г. Денес Кёниг. Для бесконечных графов этот результат требует аксиома выбора.
15. Биггс, Норман (1994), Алгебраическая теория графов, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 53, ISBN  9780521458979.
16. Кениг, Денес (1931), "Графок матриксок", Matematikai és Fizikai Lapok, 38: 116–119.
17. Гросс, Джонатан Л .; Йеллен, Джей (2005), Теория графов и ее приложения, Дискретная математика и ее приложения (2-е изд.), CRC Press, стр. 568, г. ISBN  9781584885054.
18. Чартран, Гэри; Чжан, Пин (2012), Первый курс теории графов, Courier Dover Publications, стр. 189–190, ISBN  9780486483689.
19. Béla Bollobás (1998), Современная теория графов, Тексты для выпускников по математике, 184, Springer, стр. 165, ISBN  9780387984889.
20. Чудновский, Мария; Робертсон, Нил; Сеймур, Пол; Томас, Робин (2006), "Сильная теорема о совершенном графе", Анналы математики, 164 (1): 51–229, arXiv:математика / 0212070, CiteSeerX  10.1.1.111.7265, Дои:10.4007 / анналы.2006.164.51, S2CID  119151552.
21. Асратян, Денли и Хэггквист (1998), п. 17.
22. Сапоженко А.А. (2001) [1994], «Гиперграф», Энциклопедия математики, EMS Press
23. Brualdi, Ричард А .; Харари, Фрэнк; Миллер, Зеви (1980), "Биграфы против орграфов через матрицы", Журнал теории графов, 4 (1): 51–73, Дои:10.1002 / jgt.3190040107, МИСТЕР  0558453. Brualdi et al. приписывают идею этой эквивалентности Dulmage, A. L .; Мендельсон, Н.С. (1958), «Покрытия двудольных графов», Канадский математический журнал, 10: 517–534, Дои:10.4153 / CJM-1958-052-0, МИСТЕР  0097069.
24. Седжвик, Роберт (2004), Алгоритмы в Java, часть 5: Графические алгоритмы (3-е изд.), Addison Wesley, стр. 109–111..
25. Клейнберг, Джон; Тардос, Ива (2006), Разработка алгоритма, Эддисон Уэсли, стр. 94–97..
26. Эппштейн, Дэвид (2009), «Проверка двудольности геометрических графов пересечений», ACM-транзакции на алгоритмах, 5 (2): Ст. 15, arXiv:cs.CG/0307023, Дои:10.1145/1497290.1497291, МИСТЕР  2561751, S2CID  60496.
27. Яннакакис, Михалис (1978), "NP-полные проблемы с удалением узлов и ребер", Материалы 10-го симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '78), стр. 253–264, Дои:10.1145/800133.804355, S2CID  363248
28. Рид, Брюс; Смит, Кейли; Ветта, Адриан (2004), "Нахождение трансверсалей нечетного цикла", Письма об исследованиях операций, 32 (4): 299–301, CiteSeerX  10.1.1.112.6357, Дои:10.1016 / j.orl.2003.10.009, МИСТЕР  2057781.
29. Го, Цзюн; Грамм, Йенс; Хюффнер, Фальк; Нидермайер, Рольф; Вернике, Себастьян (2006), "Основанные на сжатии алгоритмы с фиксированными параметрами для набора вершин обратной связи и бипартизации ребер", Журнал компьютерных и системных наук, 72 (8): 1386–1396, Дои:10.1016 / j.jcss.2006.02.001
30. Ахуджа, Равиндра К .; Magnanti, Thomas L .; Орлин, Джеймс Б. (1993), «12. Назначения и сопоставления», Сетевые потоки: теория, алгоритмы и приложения, Prentice Hall, стр. 461–509..
31. Ахуджа, Маньянти и Орлин (1993), п. 463: «Проблемы недвусольного сопоставления труднее решить, потому что они не сводятся к стандартным проблемам сетевого потока».
32. Хопкрофт, Джон Э.; Карп, Ричард М. (1973), "Ан п^5/2 алгоритм максимальных паросочетаний в двудольных графах », SIAM Журнал по вычислениям, 2 (4): 225–231, Дои:10.1137/0202019.
33. Ахуджа, Маньянти и Орлин (1993), Приложение 12.1 Двустороннее назначение персонала, стр. 463–464.
34. Робинсон, Сара (апрель 2003 г.), «Встречаются ли студенты-медики со своим (наилучшим) совпадением?» (PDF), Новости SIAM (3): 36, архивировано с оригинал (PDF) в 2016-11-18, получено 2012-08-27.
35. Дульмадж и Мендельсон (1958).
36. Луна, Тодд К. (2005), Кодирование с исправлением ошибок: математические методы и алгоритмы, John Wiley & Sons, стр. 638, г. ISBN  9780471648000.
37. Луна (2005), п. 686.
38. Cassandras, Christos G .; Лафортюн, Стефан (2007), Введение в дискретные системы событий (2-е изд.), Springer, p. 224, г. ISBN  9780387333328.
39. Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий, Аспирантура по математике, 103, Американское математическое общество, п. 28, ISBN  9780821843086.

внешняя ссылка

• «График, двудольный», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Информационная система по классам графов и их включениям: двудольный граф
• Вайсштейн, Эрик В., «Двудольный граф», MathWorld
• Двудольные графы в системной биологии и медицине