Полупространство (геометрия) - Half-space (geometry)

В геометрия, а полупространство является одной из двух частей, в которые самолет разделяет трехмерное Евклидово пространство. В более общем плане полупространство является одной из двух частей, в которые гиперплоскость разделяет аффинное пространство. То есть точки, не инцидентные гиперплоскости, разделенный на два выпуклые множества (т. е. полупространства), так что любое подпространство, соединяющее точку в одном наборе с точкой в ​​другом, должно пересекать гиперплоскость.

Полупространство может быть либо открыто или закрыто. An открытое полупространство один из двух открытые наборы полученный вычитанием гиперплоскости из аффинного пространства. А закрытое полупространство представляет собой объединение открытого полупространства и определяющей его гиперплоскости.

Если пространство двумерный, то полупространство называется полуплоскость (открытый или закрытый). Полупространство в одномерный пространство называется полупрямая линия или луч.

Полупространство может быть задано линейным неравенством, полученным из линейное уравнение который определяет определяющую гиперплоскость.

Строгий линейный неравенство определяет открытое полупространство:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b}$

Нестрогий определяет замкнутое полупространство:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b}$

Здесь предполагается, что не все действительные числа а₁, а₂, ..., а_п равны нулю.

Свойства

• Полупространство - это выпуклый набор.

Верхнее и нижнее полупространство

Открытый (закрытый) верхнее полупространство полупространство всех (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) такие, что Икс_п > 0 (≥ 0). Открытый (закрытый) нижнее полупространство определяется аналогично, требуя, чтобы Икс_п быть отрицательным (неположительным).

Смотрите также

• Линия (геометрия)
• Верхняя полуплоскость
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Верхнее полупространство Зигеля
• Неф многоугольник, строительство многогранники используя полупространства.

внешние ссылки

• "Полуплоскость", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Полупространство». MathWorld.