Верхняя полуплоскость - Upper half-plane

В математика, то верхняя полуплоскость ЧАС это набор точек (Икс, у) в Декартова плоскость с у > 0.

Комплексная плоскость

Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексная плоскость, и тогда верхняя полуплоскость соответствует набору сложные числа с положительным мнимая часть:

${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}.}$

Термин возникает из-за обычной визуализации комплексного числа. Икс + иу как точка (Икс, у) в самолет наделены Декартовы координаты. Когда Ось Y ориентирована вертикально, верхний полуплоскость "соответствует области над осью X и, следовательно, комплексным числам, для которыху > 0.

Это домен многих интересующих функций в комплексный анализ, особенно модульные формы. Нижняя полуплоскость, определяемая у <0, одинаково хорошо, но меньше используется по соглашению. В открытый единичный диск D (набор всех комплексных чисел абсолютная величина меньше единицы) эквивалентно конформное отображение к ЧАС (видеть "Метрика Пуанкаре "), что означает, что обычно можно переходить между ЧАС и D.

Он также играет важную роль в гиперболическая геометрия, где Модель полуплоскости Пуанкаре предоставляет способ изучения гиперболические движения. Метрика Пуанкаре дает гиперболический метрика на пространстве.

В теорема униформизации за поверхности заявляет, что верхняя полуплоскость это универсальное перекрытие поверхностей с постоянным отрицательным Гауссова кривизна.

В закрытая верхняя полуплоскость это союз верхней полуплоскости и действительной оси. Это закрытие верхней полуплоскости.

Аффинная геометрия

В аффинные преобразования верхней полуплоскости включают (1) сдвиги (х, у) → (Икс + c, y), c ∈ ℝ, и (2) растяжения (х, у) → (λ Икс, λ у), λ> 0.

Предложение: Позволять А и B быть полукруги в верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение, которое принимает А к B.

Доказательство: сначала сместите центр А к (0,0). Тогда возьмем λ = (диаметр B) / (диаметр А) и расширяются. Затем сдвиньте (0,0) в центр B.

Определение: ${\displaystyle Z=\{(\cos ^{2}\theta ,{\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta ):0<\theta <\pi \}.}$

Z можно распознать как круг радиуса 1/2 с центром в точке (1/2, 0), и как полярный сюжет из ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta .}$

Предложение: (0,0), ρ (θ) в Z, а (1, tan θ) равны коллинеарные точки.

Фактически, Z является отражением линии (1,у), у > 0, в единичный круг. Действительно, диагональ от (0,0) до (1, tan θ) имеет квадрат длины ${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta ,}$ так что ${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$ - величина, обратная этой длине.

Метрическая геометрия

Расстояние между любыми двумя точками п и q в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: серединный перпендикуляр сегмента из п к q либо пересекает границу, либо параллельно ей. В последнем случае п и q лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическая мера может использоваться для определения расстояния, инвариантного относительно растяжения. В первом случае п и q лежат на окружности с центром на пересечении серединного перпендикуляра и границы. По предложению выше этот круг может быть перемещен аффинным движением к Z. Расстояния на Z можно определить, используя соответствие с точками на (1,у), у > 0, и логарифмическая мера на этом луче. Вследствие этого верхняя полуплоскость становится метрическое пространство. Общее название этого метрического пространства - гиперболическая плоскость. Что касается моделей гиперболическая геометрия, эту модель часто называют Модель полуплоскости Пуанкаре.

Обобщения

Одно естественное обобщение в дифференциальная геометрия является гиперболический п-Космос ЧАС^п, максимально симметричный, односвязный, п-размерный Риманово многообразие с постоянным секционная кривизна −1. В этой терминологии верхняя полуплоскость ЧАС² поскольку у него есть настоящий измерение 2.

В теория чисел, теория Модульные формы Гильберта занимается изучением определенных функций на прямом продукте ЧАС^п из п копии верхней полуплоскости. Еще одна область, интересная теоретикам чисел, - это Верхнее полупространство Зигеля ЧАС_п, которая является областью Модульные формы Siegel.

Смотрите также

• Окрестности куспида
• Расширенная комплексная верхняя полуплоскость
• Фуксова группа
• Фундаментальный домен
• Полупространство
• Клейнианская группа
• Модульная группа
• Риманова поверхность
• Теорема Шварца – Альфорса – Пика.
• Стек модулей эллиптических кривых

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. "Верхняя полуплоскость". MathWorld.