Клейнианская группа - Kleinian group

В математика, а Клейнианская группа это дискретная подгруппа из PSL (2,C). В группа PSL (2,C) 2 на 2 сложный матрицы из детерминант 1 по модулю это центр имеет несколько естественных представлений: как конформные преобразования из Сфера Римана, и, как сохраняющий ориентацию изометрии 3-х мерного гиперболическое пространство ЧАС³, и как сохраняющие ориентацию конформный карты открытого единичный мяч B³ в р³ себе. Следовательно, клейнову группу можно рассматривать как дискретную подгруппу игра актеров на одном из этих пространств.

История

Теория общих клейнианских групп была основана Феликс Кляйн (1883 ) и Анри Пуанкаре (1883 ), который назвал их в честь Феликс Кляйн. Частный случай Группы Шоттки был изучен несколькими годами ранее, в 1877 г., Шоттки.

Определения

Учитывая^{[который? ]} границе, клейнову группу можно также определить как подгруппу Γ группы PGL (2,C), комплекс проективная линейная группа, который действует Преобразования Мебиуса на Сфера Римана. Классически от клейнианской группы требовалось, чтобы она действовала должным образом прерывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но современное использование допускает любую дискретную подгруппу.

Когда Γ изоморфна фундаментальная группа ${ displaystyle pi _ {1}}$ из гиперболическое 3-многообразие, то факторное пространство ЧАС³/ Γ становится Кляйнианская модель коллектора. Многие авторы используют термины Кляйнианская модель и Клейнианская группа взаимозаменяемо, позволяя одному заменять другое.

Дискретность подразумевает баллы в B³^{[требуется разъяснение ]} иметь конечный стабилизаторы, и дискретные орбиты под группой Γ. Но орбита Γп точки п обычно накапливать на границе закрытый мяч ${ displaystyle { bar {B}} ^ {3}}$ .

An Аполлонийская прокладка является примером предельного множества клейновой группы

Граница замкнутого шара называется сфера на бесконечности, и обозначается ${ Displaystyle S _ { infty} ^ {2}}$ . Набор очки накопления из Γп в ${ Displaystyle S _ { infty} ^ {2}}$ называется установленный предел Γ, и обычно обозначается ${ Displaystyle Lambda ( Gamma)}$ . Дополнение ${ Displaystyle Omega ( Gamma) = S _ { infty} ^ {2} - Lambda ( Gamma)}$ называется область разрыва или обычный набор или обычный набор. Теорема Альфорса о конечности следует, что если группа конечно порождена, то ${ Displaystyle Omega ( Gamma) / Gamma}$ является орбифолдом римановой поверхности конечного типа.

Единичный шар B³ с его конформной структурой является Модель Пуанкаре из гиперболическое 3-пространство. Когда мы думаем об этом метрически, с метрикой

{ displaystyle ds ^ {2} = { frac {4 , left | dx right | ^ {2}} { left (1- | x | ^ {2} right) ^ {2}}} }

это модель 3-х мерного гиперболического пространства ЧАС³. Набор конформных отображений B³ становится набором изометрии (т.е. сохраняющие расстояние карты) ЧАС³ под этим обозначением. Такие отображения ограничиваются конформными собственными отображениями ${ Displaystyle S _ { infty} ^ {2}}$ , которые Преобразования Мебиуса. Есть изоморфизмы

{ displaystyle operatorname {Mob} (S _ { infty} ^ {2}) cong operatorname {Conf} (B ^ {3}) cong operatorname {Isom} ( mathbf {H} ^ {3} ).}

В подгруппы этих групп, состоящих из сохраняющий ориентацию все преобразования изоморфны группе проективных матриц: PSL (2,C) через обычную идентификацию единичная сфера с сложная проективная линия п¹(C).

Вариации

Есть несколько вариантов определения клейновой группы: иногда кляйновым группам разрешается быть подгруппами в PSL (2, C) .2 (PSL (2, C) расширены комплексными сопряжениями), другими словами, имеют элементы, изменяющие ориентацию, и иногда они считаются конечно порожденный, а иногда требуется, чтобы они действовали должным образом прерывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана.

Типы

Клейнианская группа называется конечный тип если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонентов под действием группы, а факторное отношение каждой компоненты по ее стабилизатору представляет собой компактную риманову поверхность с удаленным конечным числом точек и покрытие разветвлено в конечном числе точек.
Клейнианская группа называется конечно порожденный если у него конечное число образующих. В Теорема Альфорса о конечности говорит, что такая группа конечного типа.
Клейнова группа Γ имеет конечный коволюм если ЧАС³/ Г имеет конечный объем. Любая клейнова группа конечного кообъема конечно порождена.
Клейнианская группа называется геометрически конечный если он имеет фундаментальный многогранник (в трехмерном гиперболическом пространстве) с конечным числом сторон. Альфорс показал, что если предельное множество не является всей сферой Римана, то оно имеет меру 0.
Клейнова группа Γ называется арифметика если он соизмерим с групповой нормой 1 элементов порядка алгебры кватернионов А разветвлены во всех реальных местах над числовым полем k ровно с одним комплексным местом. Арифметические клейновы группы имеют конечный ковобъем.
Клейнова группа Γ называется компактный если ЧАС³/ Γ компактно, или, что то же самое, SL (2, C) / Γ компактно. Кокомпактные клейновы группы имеют конечный ковобъем.
Клейнианская группа называется топологически ручной если оно конечно порождено и его гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем.
Клейнианская группа называется геометрически ручной если его концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены (Терстон 1980 ).
Клейнианская группа называется Тип 1 если предельным множеством является вся сфера Римана, и тип 2 иначе.

Примеры

Группы Бьянки

А Бьянки группа является клейновой группой вида PSL (2, О_d), куда ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {d}}$ кольцо целых чисел мнимое квадратичное поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-d}})}$ для d положительный целое число без квадратов.

Элементарные и приводимые клейновы группы

Клейнова группа называется элементарной, если ее предельное множество конечно, и в этом случае предельное множество имеет 0, 1 или 2 точки. Примеры элементарных клейновых групп включают конечные клейновы группы (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические клейновы группы.

Клейнова группа называется приводимой, если все элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Приводимые клейновы группы элементарны, но некоторые элементарные конечные клейновы группы не приводимы.

Фуксовы группы

Любой Фуксова группа (дискретная подгруппа SL (2, р)) является клейновой группой, и, наоборот, любая клейнова группа, сохраняющая вещественную прямую (в ее действии на сфере Римана), является фуксовой группой. Вообще говоря, каждая клейнова группа, сохраняющая окружность или прямую в сфере Римана, сопряжена с фуксовой группой.

Группы Koebe

А фактор клейнианской группы грамм это подгруппа ЧАС максимальная при соблюдении следующих свойств:
- ЧАС имеет односвязную инвариантную составляющую D
- Сопряжение элемента час из ЧАС конформной биекцией является параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда час является.
- Любой параболический элемент грамм фиксация граничной точки D в ЧАС.
Клейнова группа называется Группа Koebe если все его факторы элементарны или фуксовы.

Квазифуксовы группы

Предельное множество квазифуксовой группы

Клейнова группа, сохраняющая Кривая Иордании называется квазифуксова группа. Когда жорданова кривая представляет собой окружность или прямую линию, они просто сопряжены фуксовым группам при конформных преобразованиях. Конечно порожденные квазифуксовы группы сопряжены фуксовым группам относительно квазиконформных преобразований. Предельное множество содержится в инвариантной жордановой кривой, и оно равно жордановой кривой, группа называется принадлежащей тип один, иначе говорят, что он тип 2.

Группы Шоттки

Позволять C_я - граничные окружности конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, созданная инверсия в каждом круге установлен предел Кантор набор, а частное ЧАС³/грамм это зеркало orbifold с подстилающим пространством мяч. это двойное покрытие по ручка; соответствующий индекс 2 подгруппа является клейновой группой, называемой Группа Шоттки.

Кристаллографические группы

Позволять Т быть периодический мозаика гиперболического трехмерного пространства. Группа симметрий мозаики является клейновой группой.

Фундаментальные группы трехмерных гиперболических многообразий

Фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического трехмерного многообразия является клейновой группой. Есть много таких примеров, например, дополнение к узлу в форме восьмерки или Пространство Зейферта – Вебера. Наоборот, если клейнова группа не имеет нетривиальных элементов кручения, то она является фундаментальной группой трехмерного гиперболического многообразия.

Вырожденные клейновы группы

Клейнова группа называется вырожденной, если она не элементарна и ее предельное множество односвязно. Такие группы могут быть построены путем выбора подходящего предела квазифуксовых групп, так что одна из двух компонент регулярных точек стягивается до пустого множества; эти группы называются однократно вырожденный. Если оба компонента обычного набора сокращаются до пустого набора, то предельный набор становится кривой, заполняющей пространство, и группа называется вдвойне вырожденный. Существование вырожденных клейновых групп было впервые косвенно показано Берс (1970), а первый явный пример нашел Йоргенсен. Кэннон и Терстон (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и кривых заполнения пространства, связанных с псевдоаносовские карты.

Смотрите также

внешняя ссылка

Картина предельного множества квазифуксова группы из (Фрике и Кляйн 1897, п. 418).
Картина предельного множества клейновой группы из (Фрике и Кляйн 1897, п. 440). Это была одна из первых картинок с установленным лимитом. Компьютерный чертеж того же набора пределов
Анимации предельных множеств клейновой группы
Изображения, связанные с кляйнианскими группами Макмаллена
Вайсштейн, Эрик В. «Кляйниан Групп». MathWorld.