Редуктивная группа - Reductive group

В математика, а восстановительная группа это тип линейная алгебраическая группа через поле. Одно определение состоит в том, что связная линейная алгебраическая группа грамм через идеальное поле является редуктивным, если у него есть представление с конечным ядро который является прямая сумма из неприводимые представления. Редуктивные группы включают в себя некоторые из наиболее важных групп в математике, такие как общая линейная группа GL(п) из обратимые матрицы, то специальная ортогональная группа ТАК(п), а симплектическая группа Sp(2п). Простые алгебраические группы и (в более общем плане) полупростые алгебраические группы редуктивны.

Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одинакова для любых алгебраически замкнутое поле. В частности, простые алгебраические группы классифицируются по Диаграммы Дынкина, как в теории компактные группы Ли или же сложный полупростые алгебры Ли. Редуктивные группы над произвольным полем труднее классифицировать, но для многих полей, таких как действительные числа р или числовое поле, классификация хорошо понятна. В классификация конечных простых групп говорит, что наиболее конечные простые группы возникают как группа грамм(k) из k-рациональные точки простой алгебраической группы грамм через конечное поле k, или как второстепенные варианты этой конструкции.

Редуктивные группы имеют богатую теория представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучить представления редуктивной группы грамм над полем k как алгебраическая группа, которые являются действиями грамм на k-векторные пространства. Но также можно изучить комплексные представления группы грамм(k) когда k конечное поле, или бесконечномерное унитарные представления реальной редуктивной группы, или автоморфные представления из адельная алгебраическая группа. Во всех этих областях используется структурная теория редуктивных групп.

Определения

Основная статья: Линейная алгебраическая группа

А линейная алгебраическая группа над полем k определяется как гладкий закрыто схема подгруппы из GL(п) над k, для некоторого положительного целого числа п. Эквивалентно линейная алгебраическая группа над k гладкий аффинный групповая схема k.

С односторонним радикалом

А связаны линейная алгебраическая группа ${\displaystyle G}$ над алгебраически замкнутым полем называется полупростой если каждый гладкий соединен разрешимый нормальная подгруппа из ${\displaystyle G}$ тривиально. В более общем смысле связная линейная алгебраическая группа ${\displaystyle G}$ над алгебраически замкнутым полем называется редуктивный если самая большая гладкая связка всесильный нормальная подгруппа ${\displaystyle G}$ тривиально.^[1] Эта нормальная подгруппа называется унипотентный радикал и обозначается ${\displaystyle R_{u}(G)}$. (Некоторые авторы не требуют соединения редуктивных групп.) Группа ${\displaystyle G}$ над произвольным полем k называется полупростым или редуктивным, если изменение базы ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ полупросто или редуктивно, где ${\displaystyle {\overline {k}}}$ является алгебраическое замыкание из k. (Это эквивалентно определению редуктивных групп во введении, когда k идеально.^[2]) Любой тор над k, такой как мультипликативная группа грамм_м, является редуктивным.

С теорией представлений

Другое эквивалентное определение редуктивной группы - связная группа ${\displaystyle G}$ допускающий точное полупростое представление, которое остается полупростым над своим алгебраическим замыканием ${\displaystyle k^{al}}$^{[3] стр. 383}.

Простые редуктивные группы

Линейная алгебраическая группа грамм над полем k называется просто (или же k-просто), если она полупроста, нетривиальна, и всякая гладкая связная нормальная подгруппа группы грамм над k тривиально или равно грамм.^[4] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальные центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа п минимум 2 и любое поле k, группа SL(п) над k проста, а ее центр - групповая схема μ_п из пкорни единства.

А центральная изогения редуктивных групп является сюръективным гомоморфизм с ядром конечной центральная подгруппа схема. Каждая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Например, над любым полем k,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Немного неудобно, что определение редуктивной группы над полем включает переход к алгебраическому замыканию. Для идеального поля k, которого можно избежать: линейная алгебраическая группа грамм над k редуктивна тогда и только тогда, когда каждая гладко связная унипотентная нормаль k-подгруппа грамм тривиально. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивная группа, который носит несколько более общий характер.

Сплит-редуктивные группы

Редуктивная группа грамм над полем k называется расколоть если он содержит расщепляемый максимальный тор Т над k (это расщепленный тор в грамм чья база меняется на ${\displaystyle {\overline {k}}}$ - максимальный тор в ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$). Это эквивалентно сказать, что Т расщепленный тор в грамм что является максимальным среди всех k-tori in грамм.^[5] Эти виды групп полезны, потому что их классификация может быть описана с помощью комбинаторных данных, называемых корневыми данными.

Примеры

GL_п и SL_п

Основным примером редуктивной группы является общая линейная группа ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ обратимого п × п матрицы над полем k, для натурального числа п. В частности, мультипликативная группа грамм_м это группа GL(1), а значит, и его группа грамм_м(k) из k-рациональные точки - это группа k* ненулевых элементов k при умножении. Другая редуктивная группа - это специальная линейная группа SL(п) над полем k, подгруппа матриц с детерминант 1. Фактически, SL(п) - простая алгебраическая группа для п минимум 2.

O (n), SO (n) и Sp (n)

Важная простая группа - это симплектическая группа Sp(2п) над полем k, подгруппа GL(2п), сохраняющую невырожденную знакопеременную билинейная форма на векторное пространство k^2п. Точно так же ортогональная группа О(q) - подгруппа полной линейной группы, сохраняющая невырожденный квадратичная форма q в векторном пространстве над полем k. Алгебраическая группа О(q) имеет два связанные компоненты, и это компонент идентичности ТАК(q) редуктивно, на самом деле просто для q измерения п не менее 3. (Для k характеристики 2 и п нечетно, групповая схема О(q) на самом деле связно, но не сглаживается k. Простая группа ТАК(q) всегда можно определить как максимальную гладкую связную подгруппу группы О(q) над k.) Когда k алгебраически замкнута, любые две (невырожденные) квадратичные формы одной размерности изоморфны, поэтому эту группу разумно назвать ТАК(п). Для общего поля k, различные квадратичные формы размерности п может давать неизоморфные простые группы ТАК(q) над k, хотя все они имеют одинаковую замену базы на алгебраическое замыкание ${\displaystyle {\overline {k}}}$.

Тори

Группа ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ и продукты из него называются алгебраические торы. Они являются примерами редуктивных групп, поскольку они вкладываются в ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ через диагональ, и из этого представления их унипотентный радикал тривиален. Например, ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}}$ встраивается в ${\displaystyle {\text{GL}}_{2}}$ с карты

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}}$

Не примеры

• Любой унипотентная группа не является редуктивным, поскольку его унипотентным радикалом является он сам. Это включает аддитивную группу ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$.
• В Группа Бореля ${\displaystyle B_{n}}$ из ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ имеет нетривиальный унипотентный радикал ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ верхнетреугольных матриц с ${\displaystyle 1}$ по диагонали. Это пример нередуктивной группы с не унипотентной.

Ассоциированная восстановительная группа

Отметим, что нормальность унипотентного радикала ${\displaystyle R_{u}(G)}$ следует, что фактор-группа ${\displaystyle G/R_{u}(G)}$ редуктивен. Например,

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}}$

Другие характеристики редуктивных групп

Каждая связная компактная группа Ли имеет комплексирование, которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. Для компактной группы Ли K с усложнением грамм, включение из K в комплексную редуктивную группу грамм(C) это гомотопическая эквивалентность, относительно классической топологии на грамм(C). Например, включение из унитарная группа U(п) к GL(п,C) является гомотопической эквивалентностью.

Для редуктивной группы грамм над полем характеристика нуля, все конечномерные представления грамм (как алгебраическая группа) являются полностью сводимый, т. е. являются прямыми суммами неприводимых представлений.^[6] Отсюда и название «редуктивный». Заметим, однако, что полная сводимость не выполняется для редуктивных групп с положительной характеристикой (кроме торов). Подробнее: схема аффинной группы грамм из конечный тип над полем k называется линейно редуктивный если его конечномерные представления вполне приводимы. За k нулевой характеристики, грамм линейно редуктивна тогда и только тогда, когда компонент тождества грамм^о из грамм редуктивен.^[7] За k характерных п> 0, однако Масаёши Нагата показало, что грамм линейно редуктивно тогда и только тогда, когда грамм^о имеет мультипликативный тип и грамм/грамм^о имеет порядок первичный п.^[8]

Корни

Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированных корневая система, как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. Вот как появляются корни редуктивных групп.

Позволять грамм быть разделенной редуктивной группой над полем k, и разреши Т - расщепимый максимальный тор в грамм; так Т изоморфен (грамм_м)^п для некоторых п, с п называется классифицировать из грамм. Каждое представление Т (как алгебраическая группа) представляет собой прямую сумму одномерных представлений.^[9] А масса за грамм означает класс изоморфизма одномерных представлений Т, или, что то же самое, гомоморфизм Т → грамм_м. Весы образуют группу Икс(Т) под тензорное произведение представительств, с Икс(Т), изоморфный произведению п копии целые числа, Z^п.

В присоединенное представительство это действие грамм сопряжением на его Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. А корень из грамм означает ненулевой вес, возникающий при действии Т ⊂ грамм на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ соответствующая каждому корню одномерная, а подпространство ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ фиксируется Т в точности алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ из Т.^[10] Следовательно, алгебра Ли грамм разлагается на ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ вместе с одномерными подпространствами, индексируемыми множеством корней Φ:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, когда грамм это группа GL(п), ее алгебра Ли ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$ векторное пространство всех п × п матрицы над k. Позволять Т - подгруппа диагональных матриц в грамм. Тогда разложение корневого пространства выражает ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$ как прямую сумму диагональных матриц и одномерных подпространств, индексированных недиагональными позициями (я, j). Письмо L₁,...,L_п для стандартного основания весовой решетки Икс(Т) ≅ Z^п, корни - это элементы L_я − L_j для всех я ≠ j от 1 до п.

Корни полупростой группы образуют корневая система; это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. В более общем смысле, корни редуктивной группы образуют корень, небольшое изменение.^[11] В Группа Вейля редуктивной группы грамм означает факторгруппа из нормализатор максимального тора тором, W = N_грамм(Т)/Т. Группа Вейля на самом деле является конечной группой, порожденной отражениями. Например, для группы GL(п) (или же SL(п)) группа Вейля - это симметричная группа S_п.

Конечное количество Борелевские подгруппы содержащие данный максимальный тор, и они переставляются просто транзитивно группой Вейля (действующей спряжение ).^[12] Выбор борелевской подгруппы определяет набор положительные корни Φ⁺ ⊂ Φ со свойством, что Φ - несвязное объединение Φ⁺ и −Φ⁺. Явно алгебра Ли B является прямой суммой алгебры Ли Т и положительные корневые пространства:

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, если B - борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц в GL(п), то это очевидное разложение подпространства ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ верхнетреугольных матриц в ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$. Положительные корни L_я − L_j для 1 ≤ я < j ≤ п.

А простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух других положительных корней. Напишите Δ для обозначения множества простых корней. Номер р простых корней равен рангу коммутаторная подгруппа из грамм, называется полупростой ранг из грамм (это просто ранг грамм если грамм полупростой). Например, простые корни для GL(п) (или же SL(п)) находятся L_я − L_я+1 для 1 ≤ я ≤ п − 1.

Корневые системы классифицируются по соответствующим Диаграмма Дынкина, который является конечным график (с направленными или множественными краями). Множество вершин диаграммы Дынкина - это множество простых корней. Короче говоря, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительную длину относительно инварианта группы Вейля. внутренний продукт на решетке веса. Связные диаграммы Дынкина (соответствующие простым группам) изображены ниже.

Для расщепленной редуктивной группы грамм над полем k, важным моментом является то, что корень α определяет не просто одномерное подпространство алгебры Ли грамм, но также копию аддитивной группы грамм_а в грамм с данной алгеброй Ли, называемой корневая подгруппа U_α. Корневая подгруппа - это единственная копия аддитивной группы в грамм который нормализованный к Т и имеющий данную алгебру Ли.^[10] Вся группа грамм порождается (как алгебраическая группа) Т и корневые подгруппы, а борелевская подгруппа B генерируется Т и положительные корневые подгруппы. Фактически, расщепленная полупростая группа грамм генерируется только корневыми подгруппами.

Параболические подгруппы

Для расщепленной редуктивной группы грамм над полем k, гладкие связные подгруппы грамм содержащие заданную борелевскую подгруппу B из грамм находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами множества Δ простых корней (или, что то же самое, с подмножествами множества вершин диаграммы Дынкина). Позволять р - порядок Δ, полупростой ранг грамм. Каждый параболическая подгруппа из грамм является сопрягать в подгруппу, содержащую B каким-то элементом грамм(k). В итоге получается ровно 2^р классы сопряженности параболических подгрупп в грамм над k.^[13] Явно параболическая подгруппа, соответствующая данному подмножеству S группы ∆, порожденной B вместе с корневыми подгруппами U_−α для α в S. Например, параболические подгруппы группы GL(п), содержащие борелевскую подгруппу B выше представлены группы обратимых матриц с нулевыми элементами ниже заданного набора квадратов по диагонали, например:

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

По определению параболическая подгруппа п редуктивной группы грамм над полем k гладкий k-подгруппа такая, что фактормногообразие грамм/п является правильный над k, или эквивалентно проективный над k. Таким образом, классификация параболических подгрупп представляет собой классификацию проективные однородные многообразия за грамм (с гладкой группой стабилизатора; это не ограничение для k нулевой характеристики). За GL(п), эти разновидности флага, параметризация последовательностей линейных подпространств заданной размерности а₁,...,а_я содержится в фиксированном векторном пространстве V измерения п:

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют такое же описание, как и многообразия изотропный флаги относительно данной квадратичной формы или симплектической формы. Для любой редуктивной группы грамм с борелевской подгруппой B, грамм/B называется разновидность флага или же многообразие флагов из грамм.

Классификация расщепленных редуктивных групп

Связные диаграммы Дынкина

Шевалле показал в 1958 г., что редуктивные группы над любым алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до изоморфизма по корневым данным.^[14] В частности, полупростые группы над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до центральных изогений по их диаграмме Дынкина, а простые группы соответствуют связным диаграммам. Таким образом, существуют простые группы типов A_п, B_п, С_п, D_п, E₆, E₇, E₈, F₄, ГРАММ₂. Этот результат по существу идентичен классификации компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли по формуле Вильгельм Киллинг и Эли Картан в 1880-х и 1890-х гг. В частности, размеры, центры и другие свойства простых алгебраических групп могут быть прочитаны из список простых групп Ли. Примечательно, что классификация редуктивных групп не зависит от характеристики. Для сравнения: простых алгебр Ли в положительной характеристике намного больше, чем в нулевой.

В исключительные группы грамм типа G₂ и E₆ были построены ранее, по крайней мере, в виде абстрактной группы грамм(k), к Л. Э. Диксон. Например, группа грамм₂ это группа автоморфизмов из октонионная алгебра над k. Напротив, группы Шевалле типа F₄, E₇, E₈ над полем положительной характеристики были совершенно новыми.

В более общем плане классификация расколоть редуктивные группы одинаковы для любого поля.^[15] Полупростая группа грамм над полем k называется односвязный если всякая центральная изогения от полупростой группы к грамм является изоморфизмом. (За грамм полупростой над комплексными числами, односвязность в этом смысле эквивалентна грамм(C) существование односвязный в классической топологии.) Классификация Шевалле дает, что над любым полем k, существует единственная односвязная расщепленная полупростая группа грамм с заданной диаграммой Дынкина, с простыми группами, соответствующими связным диаграммам. С другой стороны, полупростая группа имеет сопряженный тип если его центр тривиален. Расщепленные полупростые группы над k с данной диаграммой Дынкина - это в точности группы грамм/А, куда грамм односвязная группа и А это k-подгрупповая схема центра грамм.

Например, односвязные разбитые простые группы над полем k соответствующие «классическим» диаграммам Дынкина следующие:

• А_п: SL(п+1) более k;
• B_п: the вращательная группа Отжим (2п+1), связанный с квадратичной формой размерности 2п+1 больше k с Индекс Витта п, например форма

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C_п: симплектическая группа Sp(2п) над k;
• D_п: спиновая группа Spin (2п), ассоциированного с квадратичной формой размерности 2п над k с индексом Витта п, который можно записать как:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

В группа внешних автоморфизмов расщепленной редуктивной группы грамм над полем k изоморфна группе автоморфизмов корневых данных грамм. Более того, группа автоморфизмов грамм раскалывается как полупрямой продукт:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

куда Z это центр грамм.^[16] Для расщепленной полупростой односвязной группы грамм над полем группа внешних автоморфизмов грамм имеет более простое описание: это группа автоморфизмов диаграммы Дынкина грамм.

Схемы редуктивных групп

Групповая схема грамм по схеме S называется редуктивный если морфизм грамм → S является гладкий и аффинно, и каждый геометрический слой ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ редуктивен. (Для точки п в S, соответствующий геометрический слой означает замену базы грамм к алгебраическому замыканию ${\displaystyle {\overline {k}}}$ поля вычетов п.) Расширяя работу Шевалле, Мишель Демазюр и Гротендик показали, что расщепляемые редуктивные групповые схемы над любой непустой схемой S классифицируются по корневым данным.^[17] Это утверждение включает существование групп Шевалле как групповых схем над Z, и он говорит, что каждая расщепленная редуктивная группа по схеме S изоморфна замене базы группы Шевалле из Z к S.

Реальные редуктивные группы

В контексте Группы Ли вместо алгебраических групп реальная редуктивная группа группа Ли грамм такая, что существует линейная алгебраическая группа L над р компонент идентичности (в Топология Зарисского ) редуктивен, а гомоморфизм грамм → L(р), ядро ​​которой конечно, а образ открыт в L(р) (в классической топологии). Также стандартно считать, что образ присоединенного представления Ad (грамм) содержится в Int (грамм_C) = Объявление (L⁰(C)) (что автоматически для грамм связаны).^[18]

В частности, всякая связная полупростая группа Ли (т.е. ее алгебра Ли полупроста) редуктивна. Также группа Ли р является редуктивным в этом смысле, поскольку его можно рассматривать как компонент идентичности GL(1,р) ≅ р*. Проблема классификации реальных редуктивных групп в значительной степени сводится к классификации простых групп Ли. Они классифицируются по их Диаграмма сатаке; или можно просто сослаться на список простых групп Ли (с точностью до конечных покрытий).

Полезные теории допустимые представления и унитарные представления были разработаны для реальных редуктивных групп в этой общности. Основные различия между этим определением и определением редуктивной алгебраической группы связаны с тем фактом, что алгебраическая группа грамм над р может быть связной как алгебраическая группа, а группа Ли грамм(р) не связан, как и для односвязных групп.

Например, проективная линейная группа PGL(2) связна как алгебраическая группа над любым полем, но ее группа вещественных точек PGL(2,р) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности PGL(2,р) (иногда называют PSL(2,р)) является реальной редуктивной группой, которую нельзя рассматривать как алгебраическую группу. По аналогии, SL(2) односвязна как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL(2,р) имеет фундаментальная группа изоморфен целым числам Z, и так SL(2,р) имеет нетривиальный покрытия пространства. По определению все конечные покрытия SL(2,р) (такой как метаплектическая группа ) - действительные редуктивные группы. С другой стороны, универсальный чехол из SL(2,р) не является реальной редуктивной группой, хотя ее алгебра Ли редуктивный, то есть произведение полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли.

Для подключенной реальной редуктивной группы грамм, фактормногообразие грамм/K из грамм по максимальная компактная подгруппа K это симметричное пространство некомпактного типа. Фактически таким образом возникает любое симметрическое пространство некомпактного типа. Это центральные примеры в Риманова геометрия многообразий с неположительными секционная кривизна. Например, SL(2,р)/ТАК(2) - это гиперболическая плоскость, и SL(2,C)/SU(2) является гиперболическим трехмерным пространством.

Для редуктивной группы грамм над полем k который полон относительно дискретная оценка (такой как p-адические числа Q_п), аффинное здание Икс из грамм играет роль симметричного пространства. А именно, Икс это симплициальный комплекс с действием грамм(k), и грамм(k) сохраняет КОШКА (0) метрика на Икс, аналог метрики неположительной кривизны. Размерность аффинного здания - это k-ранг грамм. Например, здание SL(2,Q_п) это дерево.

Представления редуктивных групп

Для расщепленной редуктивной группы грамм над полем kнеприводимые представления грамм (как алгебраическая группа) параметризованы доминирующие веса, которые определяются как пересечение решетки весов Икс(Т) ≅ Z^п с выпуклым конусом (a Камера Вейля ) в р^п. В частности, эта параметризация не зависит от характеристики k. Более подробно, зафиксируем расщепляемый максимальный тор и борелевскую подгруппу, Т ⊂ B ⊂ грамм. потом B является полупрямым произведением Т с гладкой связной унипотентной подгруппой U. Определить вектор наибольшего веса в представлении V из грамм над k быть ненулевым вектором v такой, что B отображает линию, охватываемую v в себя. потом B действует на этой линии через свою фактор-группу Т, некоторым элементом λ решетки весов Икс(Т). Шевалле показал, что всякое неприводимое представление грамм имеет уникальный вектор старшего веса с точностью до скаляров; соответствующий «старший вес» λ является доминирующим; и каждый доминантный вес λ является старшим весом единственного неприводимого представления L(λ) из грамм, с точностью до изоморфизма.^[19]

Остается проблема описания неприводимого представления с заданным старшим весом. За k нулевой характеристики есть практически полные ответы. Для доминирующего веса λ определим Модуль Шура ∇ (λ) как k-векторное пространство сечений грамм-эквивариантный линейный пакет на многообразии флагов грамм/B связанный с λ; это представление грамм. За k нулевой характеристики Теорема Бореля – Вейля. говорит, что неприводимое представление L(λ) изоморфен модулю Шура ∇ (λ). Кроме того, Формула характера Вейля дает персонаж (и, в частности, размерность) этого представления.

Для расщепленной редуктивной группы грамм над полем k положительной характеристики, ситуация гораздо более тонкая, потому что представления грамм обычно не являются прямыми суммами неприводимых. Для доминантного веса λ неприводимое представление L(λ) - единственный простой подмодуль (модуль цоколь ) модуля Шура ∇ (λ), но он не обязательно должен быть равен модулю Шура. Размерность и характер модуля Шура задаются формулой характера Вейля (как в нулевой характеристике): Джордж Кемпф.^[20] Размеры и характер неприводимых представлений L(λ), как правило, неизвестны, хотя для анализа этих представлений был разработан большой объем теории. Одним из важных результатов является то, что размер и характер L(λ) известны, когда характеристика п из k намного больше, чем Число Кокстера из грамм, к Хеннинг Андерсен, Йенс Янцен, и Вольфганг Зергель (доказывая Люстиг гипотеза в таком случае). Их формула характера для п большой основан на Полиномы Каждана – Люстига., которые комбинаторно сложны.^[21] Для любого прайма п, Саймон Рич и Джорди Уильямсон предположил неприводимые характеры редуктивной группы в терминах п-Полиномы Каждана-Люстига, которые еще более сложные, но, по крайней мере, вычислимы.^[22]

Неразрывные редуктивные группы

Как обсуждалось выше, классификация разделенных редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Некоторые примеры среди классические группы находятся:

• Каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу G = ТАК(q). Здесь грамм просто, если q имеет размер п не менее 3, поскольку ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ изоморфен ТАК(п) над алгебраическим замыканием ${\displaystyle {\overline {k}}}$. В k-ранг грамм равно Индекс Витта из q (максимальная размерность изотропного подпространства над k).^[23] Итак, простая группа грамм разделен на k если и только если q имеет максимально возможный индекс Витта, ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$.
• Каждый центральная простая алгебра А над k определяет редуктивную группу грамм = SL(1,А), ядро пониженная норма на группа единиц А* (как алгебраическая группа над k). В степень из А означает квадратный корень из размерности А как k-векторное пространство. Здесь грамм просто, если А имеет степень п не менее 2, поскольку ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ изоморфен SL(п) над ${\displaystyle {\overline {k}}}$. Если А имеет индекс р (означающий, что А изоморфна матричной алгебре M_п/р(D) для алгебра с делением D степени р над k), то k-ранг грамм является (п/р) − 1.^[24] Итак, простая группа грамм разделен на k если и только если А является матричной алгеброй над k.

В результате проблема классификации редуктивных групп над k существенно включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или все центральные простые алгебры над k. Эти проблемы легко решить k алгебраически замкнутые, и они понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля, но для произвольных полей есть много открытых вопросов.

Редуктивная группа над полем k называется изотропный если у него есть k-ранг больше 0 (то есть, если он содержит нетривиальный расщепляемый тор), в противном случае анизотропный. Для полупростой группы грамм над полем k, следующие условия эквивалентны:

• грамм изотропный (то есть грамм содержит копию мультипликативной группы грамм_м над k);
• грамм содержит параболическую подгруппу над k не равно грамм;
• грамм содержит копию аддитивной группы грамм_а над k.

За k идеально, это также эквивалентно сказать, что грамм(k) содержит всесильный элемент, отличный от 1.^[25]

Для связной линейной алгебраической группы грамм над местным полем k нулевой характеристики (например, действительные числа), группа грамм(k) является компактный в классической топологии (на основе топологии k) если и только если грамм является восстановительным и анизотропным.^[26] Пример: ортогональная группа ТАК(п,q) над р имеет реальный ранг min (п,q), а значит, он анизотропен тогда и только тогда, когда п или же q равно нулю.^[23]

Редуктивная группа грамм над полем k называется квази-расщепление если он содержит борелевскую подгруппу над k. Расщепленная редуктивная группа является квазирасщепленной. Если грамм квази-расщеплен по k, то любые две борелевские подгруппы в грамм сопряжены некоторым элементом из грамм(k).^[27] Пример: ортогональная группа ТАК(п,q) над р разбивается тогда и только тогда, когда |п−q| ≤ 1, и он квази-расщеплен тогда и только тогда, когда |п−q| ≤ 2.^[23]

Структура полупростых групп как абстрактных групп

Для односвязной расщепленной полупростой группы грамм над полем k, Роберт Стейнберг дал явный презентация абстрактной группы грамм(k).^[28] Он порождается копиями аддитивной группы k индексируется корнями грамм (корневые подгруппы) с отношениями, определяемыми диаграммой Дынкина грамм.

Для односвязной расщепленной полупростой группы грамм над идеальным полем k, Стейнберг также определил группу автоморфизмов абстрактной группы грамм(k). Каждый автоморфизм является продуктом внутренний автоморфизм диагональный автоморфизм (имеется в виду сопряжение подходящим ${\displaystyle {\overline {k}}}$-точка максимального тора), автоморфизм графа (соответствующий автоморфизму диаграммы Дынкина) и автоморфизм поля (происходящий из автоморфизма поля k).^[29]

Для k-простая алгебраическая группа грамм, Теорема простоты Титса говорит, что абстрактная группа грамм(k) при мягких предположениях близка к простоте. А именно предположим, что грамм изотропен k, и предположим, что поле k имеет как минимум 4 элемента. Позволять грамм(k)⁺ - подгруппа абстрактной группы грамм(k) создано k-точки копий аддитивной группы грамм_а над k содержалась в грамм. (По предположению, что грамм изотропен k, группа грамм(k)⁺ нетривиально, и даже по Зарисскому плотно в грамм если k бесконечно.) Тогда фактор-группа грамм(k)⁺ по центру проста (как абстрактная группа).^[30] Доказательство использует Жак Титс машины BN-пары.

Исключения для полей второго или третьего порядка понятны. За k = F₂, Теорема Титса о простоте остается в силе, кроме случаев, когда грамм разделен по типу А₁, B₂, или же грамм₂, или нерасщепляемый (то есть унитарный) типа А₂. За k = F₃, теорема верна за исключением грамм типа А₁.^[31]

Для k-простая группа грамм, чтобы понять всю группу грамм(k) можно рассматривать Группа Уайтхеда W(k,грамм)=грамм(k)/грамм(k)⁺. За грамм односвязная и квазирасщепленная группа Уайтхеда тривиальна, поэтому вся группа грамм(k) прост по модулю своего центра.^[32] В более общем плане Проблема Кнезера – Титса спрашивает, какой изотропный k-простых групп группа Уайтхеда тривиальна. Во всех известных примерах W(k,грамм) абелева.

Для анизотропного k-простая группа грамм, абстрактная группа грамм(k) может быть далеко не просто. Например, пусть D - алгебра с делением с центром a п-адическое поле k. Предположим, что размерность D над k конечно и больше 1. Тогда грамм = SL(1,D) является анизотропным k-простая группа. Как уже упоминалось выше, грамм(k) компактно в классической топологии. Поскольку это также полностью отключен, грамм(k) это проконечная группа (но не конечно). Как результат, грамм(k) содержит бесконечно много нормальных подгрупп конечных индекс.^[33]

Решетки и арифметические группы

Позволять грамм - линейная алгебраическая группа над рациональное число Q. потом грамм может быть расширен до аффинной групповой схемы грамм над Z, и это определяет абстрактную группу грамм(Z). An арифметическая группа означает любую подгруппу грамм(Q) то есть соизмеримый с грамм(Z). (Арифметичность подгруппы грамм(Q) не зависит от выбора Z-структура.) Например, SL(п,Z) является арифметической подгруппой SL(п,Q).

Для группы Ли грамм, а решетка в грамм означает дискретную подгруппу Γ группы грамм такое, что многообразие грамм/ Γ имеет конечный объем (относительно грамм-инвариантная мера). Например, дискретная подгруппа Γ является решеткой, если грамм/ Γ компактно. В Теорема арифметичности Маргулиса говорит, в частности: для простой группы Ли грамм действительного ранга не менее 2, каждая решетка в грамм арифметическая группа.

Действие Галуа на диаграмме Дынкина

Основная статья: Индекс сисек

В стремлении классифицировать редуктивные группы, которые не нужно разделять, один шаг - это Индекс сисек, что сводит проблему к случаю анизотропных групп. Эта редукция обобщает несколько фундаментальных теорем алгебры. Например, Теорема Витта о разложении говорит, что невырожденная квадратичная форма над полем определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Витта вместе со своим анизотропным ядром. Точно так же Теорема Артина – Веддерберна сводит классификацию центральных простых алгебр над полем к случаю алгебр с делением. Обобщая эти результаты, Титс показал, что редуктивная группа над полем k определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Титса вместе с его анизотропным ядром, ассоциированным анизотропным полупростым k-группа.

Для редуктивной группы грамм над полем k, то абсолютная группа Галуа Гал (k_s/k) действует (непрерывно) на «абсолютную» диаграмму Дынкина грамм, то есть диаграмма Дынкина грамм через отделяемое закрытие k_s (которая также является диаграммой Дынкина грамм над алгебраическим замыканием ${\displaystyle {\overline {k}}}$). Индекс Титса грамм состоит из корневых данных грамм_ks, действие Галуа на его диаграмме Дынкина и инвариантное Галуа подмножество вершин диаграммы Дынкина. Традиционно индекс Титса строится путем обхода орбит Галуа в данном подмножестве.

В этих терминах существует полная классификация квазирасщепленных групп. А именно, для каждого действия абсолютной группы Галуа поля k на диаграмме Дынкина существует единственная односвязная полупростая квазирасщепленная группа ЧАС над k с данным действием. (Для квазирасщепленной группы каждая орбита Галуа в диаграмме Дынкина обведена кружком.) Более того, любая другая односвязная полупростая группа грамм над k с данным действием является внутренняя форма квазирасщепленной группы ЧАС, означающий, что грамм группа, связанная с элементом Когомологии Галуа набор ЧАС¹(k,ЧАС/Z), куда Z это центр ЧАС. Другими словами, грамм это поворот ЧАС связаны с некоторыми ЧАС/Z-торсор k, как описано в следующем разделе.

Пример: пусть q невырожденная квадратичная форма четной размерности 2п над полем k характеристики не 2, с п ≥ 5. (Этих ограничений можно избежать.) Пусть грамм быть простой группой ТАК(q) над k. Абсолютная диаграмма Дынкина грамм имеет тип D_п, а значит, его группа автоморфизмов имеет порядок 2, переключая две «ноги» D_п диаграмма. Действие абсолютной группы Галуа k на диаграмме Дынкина тривиален тогда и только тогда, когда знаковый дискриминант d из q в k*/(k*)² тривиально. Если d нетривиален, то он закодирован в действии Галуа на диаграмме Дынкина: подгруппа индекса-2 группы Галуа, которая действует как тождество, является ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$. Группа грамм разделяется тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта п, максимально возможное, и грамм квазирасщепляется тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта не менее п − 1.^[23]

Торсоры и принцип Хассе

А торсор для аффинной групповой схемы грамм над полем k означает аффинную схему Икс над k с действие из грамм такой, что ${\displaystyle X_{\overline {k}}}$ изоморфен ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ с действием ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ сам по себе левым переводом. Торсор также можно рассматривать как основной G-пучок над k с уважением к топология fppf на k, или этальная топология если грамм сглаживается k. В заостренный набор классов изоморфизма грамм-торсоры закончились k называется ЧАС¹(k,грамм) на языке когомологий Галуа.

Торсоры возникают всякий раз, когда кто-то пытается классифицировать формы данного алгебраического объекта Y над полем k, то есть объекты Икс над k которые становятся изоморфными Y над алгебраическим замыканием k. А именно такие формы (с точностью до изоморфизма) находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством ЧАС¹(k, Aut (Y)). Например, (невырожденные) квадратичные формы размерности п над k классифицируются по ЧАС¹(k,О(п)) и центральные простые алгебры степени п над k классифицируются по ЧАС¹(k,PGL(п)). Также, k-формы данной алгебраической группы грамм (иногда их называют "поворотами" грамм) классифицируются по ЧАС¹(k, Aut (грамм)). Эти проблемы мотивируют систематическое изучение грамм-торсоры, особенно для редуктивных групп грамм.

Когда возможно, надеются классифицировать грамм-торсоры, использующие когомологические инварианты, которые являются инвариантами, принимающими значения в когомологиях Галуа с абелевский группы коэффициентов M, ЧАС^а(k,M). В этом направлении Стейнберг доказал Серр "Гипотеза I": для связной линейной алгебраической группы грамм над идеальным полем когомологическая размерность не больше 1, ЧАС¹(k,грамм) = 1.^[34] (Случай конечного поля был известен ранее как Теорема Лэнга.) Отсюда следует, например, что всякая редуктивная группа над конечным полем квазирасщепляема.

Гипотеза Серра II предсказывает, что для односвязной полупростой группы грамм над полем когомологической размерности не выше 2, ЧАС¹(k,грамм) = 1. Гипотеза известна для полностью мнимое числовое поле (который имеет когомологическую размерность 2). В общем, для любого числового поля k, Мартин Кнезер, Гюнтер Хардер и Владимир Черноусов (1989) доказали Принцип Хассе: для односвязной полупростой группы грамм над k, карта

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

биективен.^[35] Здесь v проходит через все места из k, и k_v - соответствующее локальное поле (возможно р или же C). Кроме того, отмеченное множество ЧАС¹(k_v,грамм) тривиально для любого неархимидового локального поля k_v, так что только настоящие места k иметь значение. Аналогичный результат для глобальное поле k положительной характеристики ранее было доказано Хардером (1975): для любой односвязной полупростой группы грамм над k, ЧАС¹(k,грамм) тривиально (поскольку k не имеет реальных мест).^[36]

В несколько ином случае присоединенной группы грамм над числовым полем k, принцип Хассе выполняется в более слабой форме: естественное отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

инъективно.^[37] За грамм = PGL(п), это составляет Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер, говоря, что центральная простая алгебра над числовым полем определяется своими локальными инвариантами.

Классификация полупростых групп над числовыми полями, основанная на принципе Хассе, хорошо известна. Например, ровно три Q-формы исключительной группы E₈, соответствующие трем действительным формам E₈.

Смотрите также

• В группы лиева типа - конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Обобщенное разнообразие флагов, Разложение Брюа, Сорт Шуберта, Исчисление Шуберта
• Алгебра Шура, Теория Делиня – Люстига
• Реальная форма (теория Ли)
• Гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• Классификация Ленглендса, Двойная группа Ленглендса, Программа Langlands, геометрическая программа Ленглендса
• Специальная группа, существенное измерение
• Геометрическая теория инвариантов, Теорема Луны о срезе, Теорема Хабуша
• Радикал алгебраической группы

Примечания

1. SGA 3 (2011), v. 3, Определение XIX.1.6.1.
2. Милн (2017), Предложение 21.60.
3. Милн. Линейные алгебраические группы (PDF). С. 381–394.
4. Конрад (2014), после предложения 5.1.17.
5. Борель (1991), 18.2 (i).
6. Милн (2017), теорема 22.42.
7. Милн (2017), следствие 22.43.
8. Демазюр и Габриэль (1970), Теорема IV.3.3.6.
9. Милн (2017), теорема 12.12.
10. Милн (2017), теорема 21.11.
11. Милн (2017), следствие 21.12.
12. Милн (2017), Предложение 17.53.
13. Борель (1991), предложение 21.12.
14. Шевалле (2005); Springer (1998), 9.6.2 и 10.1.1.
15. Милн (2017), теоремы 23.25 и 23.55.
16. Милн (2017), следствие 23.47.
17. SGA 3 (2011), v. 3, Théorème XXV.1.1; Конрад (2014), теоремы 6.1.16 и 6.1.17.
18. Springer (1979), раздел 5.1.
19. Милн (2017), теорема 22.2.
20. Янцен (2003), предложение II.4.5 и следствие II.5.11.
21. Jantzen (2003), раздел II.8.22.
22. Riche & Williamson (2018), раздел 1.8.
23. Борель (1991), раздел 23.4.
24. Борель (1991), раздел 23.2.
25. Борель и Титс (1971), Венчик 3.8.
26. Платонов и Рапинчук (1994), теорема 3.1.
27. Борель (1991), теорема 20.9 (i).
28. Стейнберг (2016), теорема 8.
29. Стейнберг (2016), теорема 30.
30. Титс (1964), Основная теорема; Гилле (2009), Введение.
31. Титс (1964), раздел 1.2.
32. Жиль (2009), Теорема 6.1.
33. Платонов и Рапинчук (1994), раздел 9.1.
34. Стейнберг (1965), теорема 1.9.
35. Платонов и Рапинчук (1994), теорема 6.6.
36. Платонов и Рапинчук (1994), раздел 6.8.
37. Платонов и Рапинчук (1994), теорема 6.4.

Рекомендации

• Борель, Арман (1991) [1969], Линейные алгебраические группы, Тексты для выпускников по математике, 126 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer Nature, Дои:10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN  0-387-97370-2, МИСТЕР  1102012
• Борель, Арман; Сиськи, Жак (1971), «Елементы унипотентов и су-группы параболических деформирующих групп. I.», Inventiones Mathematicae, 12: 95–104, Bibcode:1971InMat..12 ... 95B, Дои:10.1007 / BF01404653, МИСТЕР  0294349
• Шевалле, Клод (2005) [1958], Картье, П. (ред.), Классификация полу-простых групп, Собрание сочинений, т. 3, Springer Nature, ISBN  3-540-23031-9, МИСТЕР  2124841
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF), Autour des schémas en groupes, 1, Париж: Société Mathématique de France, стр. 93–444, ISBN  978-2-85629-794-0, МИСТЕР  3309122
• Демазюр, Мишель; Габриэль, Пьер (1970), Groupes algébriques. Том I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Париж: Массон, ISBN  978-2225616662, МИСТЕР  0302656
• Демазюр, М.; Гротендик, А. (2011) [1970]. Gille, P .; Поло, П. (ред.). Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes. Société Mathématique de France. ISBN  978-2-85629-323-2. МИСТЕР  2867621. Исправленное и аннотированное издание оригинала 1970 г.
• Демазюр, М.; Гротендик, А. (1970). Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux. Конспект лекций по математике. 152. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0059005. ISBN  978-3540051800. МИСТЕР  0274459.
• Демазюр, М.; Гротендик, А. (2011) [1970]. Gille, P .; Поло, П. (ред.). Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs. Société Mathématique de France. ISBN  978-2-85629-324-9. МИСТЕР  2867622. Исправленное и аннотированное издание оригинала 1970 г.
• Жиль, Филипп (2009), "Проблематика Кнезера – Титца" (PDF), Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008, Astérisque, 326, Société Mathématique de France, стр. 39–81, ISBN  978-285629-269-3, МИСТЕР  2605318
• Янцен, Йенс Карстен (2003) [1987], Представления алгебраических групп (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3527-2, МИСТЕР  2015057
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017/9781316711736, ISBN  978-1107167483, МИСТЕР  3729270
• Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел, Академическая пресса, ISBN  0-12-558180-7, МИСТЕР  1278263
• В.Л. Попов (2001) [1994], «Редуктивная группа», Энциклопедия математики, EMS Press
• Рич, Саймон; Уильямсон, Джорди (2018), Модули наклона и п-Каноническая основа, Astérisque, 397, Société Mathématique de France, arXiv:1512.08296, Bibcode:2015arXiv151208296R, ISBN  978-2-85629-880-0
• Спрингер, Тонни А. (1979), «Редуктивные группы», Автоморфные формы, представления и L-функции, 1, Американское математическое общество, стр. 3–27, ISBN  0-8218-3347-2, МИСТЕР  0546587
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы, Успехи в математике, 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Дои:10.1007/978-0-8176-4840-4, ISBN  978-0-8176-4021-7, МИСТЕР  1642713
• Стейнберг, Роберт (1965), «Регулярные элементы полупростых алгебраических групп», Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 25: 49–80, Дои:10.1007 / bf02684397, МИСТЕР  0180554
• Стейнберг, Роберт (2016) [1968], Лекции о группах Шевалле, Серия университетских лекций, 66, Американское математическое общество, Дои:10.1090 / ulect / 066, ISBN  978-1-4704-3105-1, МИСТЕР  3616493
• Сиськи, Жак (1964), «Алгебраические и абстрактные простые группы», Анналы математики, 80 (2): 313–329, Дои:10.2307/1970394, JSTOR  1970394, МИСТЕР  0164968

внешняя ссылка

• Демазюр, М.; Гротендик, А., Gille, P .; Поло, П. (ред.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Исправленное и аннотированное издание оригинала 1970 г.