Теория Делиня – Люстига - Deligne–Lusztig theory

В математике Теория Делиня – Люстига является способом построения линейных представлений конечных группы лиева типа с помощью ℓ-адические когомологии с компактная опора, представлен Пьер Делинь и Джордж Люстиг (1976 ).

Люстиг (1984) использовали эти представления, чтобы найти все представления всех конечные простые группы типа Ли.

Мотивация

Предположим, что г это восстановительная группа определяется над конечное поле, с участием Карта Фробениуса F.

Ян Г. Макдональд предположил, что должна быть карта из общая позиция символы из F-стабильный максимальный тори к неприводимым представлениям ${displaystyle G ^ {F}}$ (неподвижные точки F). За общие линейные группы это было уже известно по работе Дж. А. Грин (1955 ). Это был основной результат, доказанный Пьер Делинь и Джордж Люстиг; они нашли виртуальное представление для всех персонажей F-стабильный максимальный тор, неприводимый (с точностью до знака), когда характер находится в общем положении.

Когда максимальный тор расщеплен, эти представления были хорошо известны и даются формулами параболическая индукция характеров тора (продолжить символ до Подгруппа Бореля, затем довести его до г). Представления параболической индукции могут быть построены с использованием функций на пространстве, которые можно рассматривать как элементы подходящей нулевой группы когомологий. Конструкция Делиня и Люстига является обобщением параболической индукции на нерасщепляемые торы с использованием высших групп когомологий. (Параболическая индукция также может быть проведена с помощью торов г заменен на Подгруппы Леви из г, и есть обобщение теории Делиня – Люстига и на этот случай.)

Владимир Дринфельд доказал, что дискретная серия представления SL₂(F_q) можно найти в ℓ-адические когомологии группы

{displaystyle H_ {c} ^ {1} (X, mathbb {Q} _ {ell})}

из аффинная кривая Икс определяется

{displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q} = 1}

.

В многочлен ${displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q}}$ - определитель, используемый при построении Инвариант Диксона общей линейной группы и является инвариантом специальной линейной группы.

Конструкция Делиня и Люстига является обобщением этого фундаментального примера на другие группы. Аффинная кривая Икс обобщается на ${displaystyle T ^ {F}}$ расслоение над "многообразием Делиня – Люстига", где Т является максимальным тором г, и вместо использования только первой группы когомологий они используют альтернированную сумму ℓ-адических групп когомологий с компактным носителем для построения виртуальных представлений.

Конструкция Делиня-Люстига формально похожа на Герман Вейль построение представлений компактной группы по характерам максимального тора. Случай компактных групп проще отчасти потому, что существует только один класс сопряженных максимальных торов. В Конструкция Бореля – Вейля – Ботта. представлений алгебраических групп с помощью когерентных пучковых когомологий также аналогичен.

За вещественные полупростые группы есть аналог конструкции Делиня и Люстига, использующий Функторы Цукермана строить представления.

Сорта Делиня – Люстига

При построении характеров Делиня-Люстига используется семейство вспомогательных алгебраических многообразий. Икс_Т называемые многообразиями Делиня – Люстига, построенные из редуктивного линейная алгебраическая группа г определен над конечным полем F_q.

Если B является борелевской подгруппой в г и Т максимальный тор B затем мы пишем

W_Т,B

для Группа Вейля (нормализатор мод централизатор )

N_г(Т)/Т

из г относительно Твместе с простые корни соответствующий B. Если B₁ - еще одна борелевская подгруппа с максимальным тором Т₁ тогда есть канонический изоморфизм из Т к Т₁ который идентифицирует две группы Вейля. Таким образом, мы можем идентифицировать все эти группы Вейля и называть их «группой Вейля». W из г. Аналогичным образом существует канонический изоморфизм между любыми двумя максимальными торами с данным выбором положительные корни, поэтому мы можем идентифицировать все это и назвать его максимальным тором Т из г.

Посредством Разложение Брюа

г = BWB,

подгруппа B₁ можно записать как сопряжение B к чб для некоторых б∈B и ш∈W (идентифицировано с W_Т,B) где ш определяется однозначно. В этом случае мы говорим, что B и B₁ находятся в относительное положение ш.

Предположим, что ш находится в группе Вейля г, и писать Икс для гладкого проективного многообразия всех борелевских подгрупп группы г. Сорт Делин-Люстиг Икс(ш) состоит из всех борелевских подгрупп B из г такой, что B и F(B) находятся в относительном положении ш [Напомним, что F это Карта Фробениуса ]. Другими словами, это прообраз г-однородное пространство пар борелевских подгрупп во взаимном положении ш, под Lang изогения с формулой

грамм.F(грамм)⁻¹.

Например, если ш= 1, тогда Икс(ш) 0-мерно, а его точки являются рациональными борелевскими подгруппами г.

Пусть Т(ш) быть тором Т, с рациональной структурой, для которой Фробениус wF. г^F классы сопряженности F-устойчивые максимальные торы г можно отождествить с F-классы сопряженности W, где мы говорим ш∈W является F-сопряжены с элементами формы vwF(v)⁻¹ за v∈W. Если группа г является Трещина, так что F действует тривиально на W, это то же самое, что и обычная сопряженность, но в общем случае для нерасщепляемых групп г, F может действовать на W через нетривиальный диаграммный автоморфизм. В F-стабильные классы сопряженности можно отождествить с элементами неабелевой Когомологии Галуа группа торсоры

{displaystyle H ^ {1} (F, W)}

.

Зафиксируем максимальный тор Т из г и борелевская подгруппа B содержащие его, оба инвариантные относительно отображения Фробениуса F, и писать U для унипотентного радикала B.Если мы выберем представителя ш′ Нормализатора N(Т) представляющий ш, то определим Икс′(ш′) Быть элементами г/U с F(ты)=уф'. Это свободно действует Т(F), а фактор изоморфен Икс(Т). Для каждого символа θ из Т(ш)^F получаем соответствующий локальная система F_θ на Икс(ш). Виртуальное представительство TheDeligne-Lusztig

р^θ(ш)

из г^F определяется знакопеременной суммой

{displaystyle R ^ {heta} (w) = sum _ {i} (- 1) ^ {i} H_ {c} ^ {i} (X (w), F_ {heta})}

из л-адические группы когомологий с компактным носителем Икс(ш) с коэффициентами в л-адическая локальная система F_θ.

Если Т это максимальный F-инвариантный тор г содержится в борелевской подгруппе B такой, чтоB и FB находятся в относительном положении ш тогда р^θ(ш) также обозначается р^θ_Т⊂B, или р^θ_Т с точностью до изоморфизма не зависит от выбора B.

Свойства характеров Делиня – Люстига

Характер р^θ_Т не зависит от выбора простого л≠п, а если θ = 1, его значения - целые рациональные числа.
Каждый неприводимый персонаж г^F встречается хотя бы в одном символе р^θ(ш).
Внутренний продукт р^θ_Т и р^{θ ′}_Т′ равно количеству элементов W(Т,Т′)^F переводящий θ в θ ′. Набор W(Т,Т′) - множество элементов г принимая Т к Т′ При сопряжении по модулю группы Т^F который действует на него очевидным образом (так что если Т=Т′ Это группа Вейля). В частности, внутренний продукт равен 0, если ш и ш' не F-сопряженные. Если θ находится в общем положении, то р^θ_Т имеет норму 1 и поэтому является неприводимым с точностью до знака характером. Таким образом, это подтверждает гипотезу Макдональда.
Представление р^θ_Т содержит тривиальное представление тогда и только тогда, когда θ = 1 (в этом случае тривиальное представление встречается ровно один раз).
Представление р^θ_Т имеет размер

{displaystyle dim (R_ {T} ^ {heta}) = {pm | G ^ {F} | над | T ^ {F} || U ^ {F} |}}

где U^F силовский п-подгруппа г^F, порядка наибольшей мощности п разделение |г^F|.

Ограничение персонажа р^θ_Т к унипотентным элементам ты не зависит от θ и называется Зеленая функция, обозначаемый Q_Т,г(ты) (функция Грина определена как 0 на элементах, которые не являются унипотентными). Формула характера дает характер р^θ_Т в терминах функций Грина подгрупп следующим образом:

{displaystyle R_ {T} ^ {heta} (x) = {1 over | G_ {s} ^ {F} |} sum _ {gin G ^ {F}, g ^ {- 1} sgin T} Q_ {gTg ^ {- 1}, G_ {s}} (u) heta (g ^ {- 1} sg)}

где Икс=вс это Разложение Жордана – Шевалле из Икс как произведение коммутирующих полупростых и унипотентных элементов s и ты, и г_s является тождественной составляющей централизатора s в г. В частности, значение символа исчезает, если только полупростая часть Икс сопряжен под г^F к чему-то в торе Т.

Разновидность Делиня-Люстига обычно аффинна, особенно когда характеристика п больше, чем Число Кокстера час группы Вейля. Если он аффинен и характер θ находится в общем положении (так что характер Делиня-Люстига неприводим с точностью до знака), то только одна из групп когомологий ЧАС^я(Икс(ш),F_θ) отличен от нуля (тот, у которого я равна длине ш), так что эта группа когомологий дает модель неприводимого представления. В общем случае более чем одна группа когомологий может быть ненулевой, например, когда θ равно 1.

Классификация неприводимых характеров Люстига

Люстиг классифицировал все неприводимые характеры г^F путем разложения такого символа на полупростой и унипотентный характер (из другой группы) и раздельной классификации полупростых и унипотентных символов.

Двойственная группа

Представления г^F классифицируются с помощью классов сопряженности двойная группа из гРедуктивная группа над конечным полем определяет корень (с выбором камеры Вейля) вместе с действием на нее элемента Фробениуса. г^* редуктивной алгебраической группы г определенным над конечным полем является поле с двойным корнем (и присоединенным действием Фробениуса). Двойная группа Ленглендса (или L-группа), за исключением того, что здесь двойственная группа определена над конечным полем, а не над комплексными числами. Двойная группа имеет ту же корневую систему, за исключением того, что корневая система типов B и C меняется.

Местный Гипотезы Ленглендса заявить (очень грубо), что представления алгебраической группы над местное поле должны быть тесно связаны с классами сопряженности в двойственной группе Ленглендса. Классификацию Люстига представлений редуктивных групп над конечными полями можно рассматривать как проверку аналога этой гипотезы для конечных полей (хотя Ленглендс никогда не высказывал свою гипотезу для этого случая).

Разложение Жордана

В этой секции г будет редуктивной группой со связанным центром.

Неприводимый характер называется всесильный если это произойдет в некоторых р¹_Т, и называется полупростой если его среднее значение на обычных унипотентных элементах не равно нулю (в этом случае среднее значение равно 1 или -1). Если п это хорошее прайм для г (это означает, что он не делит ни один из коэффициентов корней, выраженных как линейные комбинации простых корней), то неприводимый характер является полупростым тогда и только тогда, когда его порядок не делится на п.

Произвольный неприводимый характер имеет «разложение Жордана»: ему можно сопоставить полупростой характер (соответствующий некоторому полупростому элементу s дуальной группы) и унипотентное представление централизатора группы s. Размерность неприводимого персонажа - произведение размерностей его полупростой и унипотентной составляющих.

Это (более или менее) сводит классификацию неприводимых характеров к задаче нахождения полупростых и унипотентных характеров.

Геометрическая сопряженность

Две пары (Т, θ), (Т′, Θ ′) максимального тора Т из г фиксируется F и характер θ из Т^F называются геометрически сопряженный если они сопряжены по некоторому элементу г(k), где k является алгебраическим замыканием F_q. Если неприводимое представление встречается в обоих р_Т^θ и р_Т′^{θ ′} тогда (Т, θ), (Т′, Θ ′) не обязательно сопряжены относительно г^F, но всегда геометрически сопряжены. Например, если θ = θ ′ = 1 и Т и Т′ Не сопряжены, то тождественное представление встречается как в символах Делиня – Люстига, так и в соответствующих парах (Т,1), (Т′, 1) геометрически сопряжены, но не сопряжены.

Классы геометрической сопряженности пар (Т, θ) параметризованы классами геометрической сопряженности полупростых элементов s группы г^*F элементов дуальной группы г^* фиксируется F. Два элемента г^*F называются геометрически сопряженными, если они сопряжены над алгебраическим замыканием конечного поля; если центр г связано это эквивалентно сопряженности в г^*F. Число классов геометрической сопряженности пар (Т, θ) есть |Z^0F|q^л где Z⁰ компонент идентичности центра Z из г и л полупростой ранг г.

Классификация полупростых персонажей

В этом подразделе г будет редуктивной группой со связанным центром Z. (В случае, когда центр не подключен, возникают дополнительные сложности.)

Полупростые персонажи г соответствуют классам геометрической сопряженности пар (Т, θ) (где Т - максимальный тор, инвариантный относительно F а θ - характер Т^F); на самом деле среди неприводимых характеров, входящих в характеры Делиня – Люстига геометрического класса сопряженности, есть ровно один полупростой характер. Если центр г подключен есть |Z^F|q^л полупростые персонажи. Если κ - класс геометрической сопряженности пар (Т, θ), то характер соответствующего полупростого представления сдается с точностью до знака

{displaystyle sum _ {(T, heta) в каппе, {mod {G}} ^ {F}} {R_ {T} ^ {heta} над (R_ {T} ^ {heta}, R_ {T} ^ { heta})}}

и его размер - это п' часть показатель центратора элемента s соответствующей ей дуальной группы.

Полупростые символы (с точностью до знака) в точности двойственны к обычным символам при Двойственность Алвиса-Кертиса, операция двойственности над обобщенными характерами. неприводимый характер называется обычный если это произойдет в Представление Гельфанда – Граеваг^F, которое является представлением, индуцированным из некоторого "невырожденного" одномерного характера силовского п-подгруппа. Он приводим, и любой неприводимый характер г^F встречается не более одного раза в нем. Если κ - класс геометрической сопряженности пар (Т, θ), то характер соответствующего регулярного представления определяется выражением

{displaystyle sum _ {(T, heta) в каппе, {mod {G}} ^ {F}} {epsilon _ {G} epsilon _ {T} R_ {T} ^ {heta} over (R_ {T} ^ {heta}, R_ {T} ^ {heta})}}

и его размер - это п′ Часть индекса централизатора элемента s соответствующей ей дуальной группы, умноженной на п-часть заказа центратора.

Классификация однополых персонажей

Их можно найти из каспидальных унипотентных характеров: тех, которые не могут быть получены из разложения параболически индуцированных характеров групп меньшего ранга. Унипотентные каспидальные признаки были перечислены Люстигом с использованием довольно сложных аргументов. Их количество зависит только от типа группы, а не от основного поля; и дается следующим образом:

нет для групп типа А_п;
нет для групп типа ²А_п, если только п = s(s+1) / 2–1 для некоторых s, в этом случае есть один;
нет для групп типа B_п или C_п, если только п = s(s+1) для некоторых s, в этом случае есть один (называемый θ₁₀ когда п = 2);
2 для групп типа Suzuki ²B₂;
нет для групп типа D_п, если только п = s² для некоторых даже s, в этом случае есть один;
нет для групп типа ²D_п, если только п = s² для некоторых странных s, в этом случае есть один;
2 для групп типа ³D₆;
2 для групп типа E₆;
3 для групп типа ²E₆;
2 для групп типа E₇;
13 для групп типа E₈;
7 для групп типа F₄;
10 для групп типа Ри ²F₄;
4 для групп типа г₂;
6 для групп типа Ри ²г₂.

Унипотентные символы можно найти, разложив символы, индуцированные из куспидальных, используя результаты Хоулетта и Лерера. Количество унипотентных символов зависит только от корневой системы группы, а не от поля (или центра). Размерность унипотентных персонажей может быть задана универсальными полиномами в порядке основного поля, зависящего только от корневой системы; например, представление Стейнберга имеет размерность q^р, где р - количество положительных корней корневой системы.

Люстиг обнаружил, что однополые персонажи группы г^F (с неприводимой группой Вейля) распадаются на семейства размера 4^п (п ≥ 0), 8, 21 или 39. Персонажи каждого семейства индексируются классами сопряженности пар (Икс, σ) где Икс находится в одной из групп Z/2Z^п, S₃, S₄, S₅ соответственно, а σ - представление его централизатора. (Семейство размера 39 встречается только в группах типа E₈, а семейство размера 21 встречается только для групп типа F₄.) Семейства, в свою очередь, индексируются специальными представлениями группы Вейля или, что то же самое, двусторонними ячейками группы Вейля. Например, группа E₈(F_q) имеет 46 семейств унипотентных характеров, соответствующих 46 специальным представлениям группы Вейля E₈. Есть 23 семейства с 1 символом, 18 семей с 4 символами, 4 семейства с 8 символами и одно семейство с 39 символами (включая 13 куспидальных унипотентных символов).

Примеры

Предположим, что q - нечетная простая степень, и г алгебраическая группа SL₂Опишем представления Делиня – Люстига группы SL₂(F_q). (Теория представлений этих групп была хорошо известна задолго до теории Делиня – Люстига.)

Неприводимые представления:

Тривиальное представление размерности 1.
В Представление Штейнберга измерения q
(q - 3) / 2 неприводимые представления основных серий измерения q + 1 вместе с двумя представлениями размерности (q + 1) / 2 из приводимого представления основной серии.
(q - 1) / 2 неприводимых представлений дискретной серии размерности q - 1 вместе с 2 представлениями измерения (q - 1) / 2 из приводимого представления дискретной серии.

Есть два класса торов, связанных с двумя элементами (или классами сопряженности) группы Вейля, которые обозначаются Т(1) (циклический порядка q−1) и Т(ш) (циклический порядка q + 1). Нетривиальный элемент группы Вейля действует на характеры этих торов, меняя каждый символ на свой обратный. Таким образом, группа Вейля фиксирует характер тогда и только тогда, когда он имеет порядок 1 или 2. По формуле ортогональностир^θ(ш) является (с точностью до знака) неприводимым, если θ не имеет порядка 1 или 2, и суммой двух неприводимых представлений, если он имеет порядок 1 или 2.

Сорт Делинь-Люстиг Икс(1) для расщепляемого тора 0-мерно с q+1 точки, и их можно отождествить с точками одномерного проективного пространства, определенного над F_q.Представления р^θ(1) даются следующим образом:

1 + Стейнберга, если θ = 1
Сумма двух представлений измерения (q+1) / 2, если θ имеет порядок 2.
Представление неприводимой основной серии, если θ имеет порядок больше 2.

Сорт Делинь-Люстиг Икс(ш) для нерасщепимого тора одномерно и может быть отождествлено с дополнением к Икс(1) в одномерном проективном пространстве. Итак, это набор точек (Икс:у) проективного пространства, не фиксированного отображением Фробениуса (Икс:у)→ (Икс^q:у^q), другими словами, точки с

{displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q} eq 0}

Разнообразие точек Дринфельда (Икс,у) аффинного пространства с

{displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q} = 1}

сопоставляется с Икс(ш) очевидным образом, и на него свободно действует группа q+ 1-й корень λ из 1 (который можно отождествить с элементами нерасщепимого тора, которые определены над F_q), где λ принимает (Икс,у) в (λИкс, λу). Многообразие Делиня Люстига является фактором многообразия Дринфельда по этому групповому действию.р^θ(ш) представлены следующим образом:

Steinberg − 1, если θ = 1
Сумма двух представлений измерения (q−1) / 2, если θ имеет порядок 2.
Представление неприводимой дискретной серии, если θ имеет порядок больше 2.

Унипотентные представления - это тривиальное представление и представление Стейнберга, а полупростые представления - это все представления, кроме представления Стейнберга. (В этом случае полупростые представления не в точности соответствуют классам геометрической сопряженности дуальной группы, поскольку центр г не подключен.)

Когомологии пересечений и пучки характеров

Люстиг (1985) заменил ℓ-адические когомологии, используемые для определения представлений Делиня-Люстига, на ℓ-адические когомологии пересечения, и ввел некоторые извращенные снопы называется связки символов. Представления, определенные с помощью когомологий пересечений, связаны с представлениями, определенными с помощью обычных когомологий, соотношением Полиномы Каждана – Люстига.. В F-инвариантные неприводимые пучки характеров тесно связаны с неприводимыми характерами группы г^F.