Извращенная связка - Perverse sheaf - Wikipedia

Математический термин извращенные снопы относится к определенному абелева категория связано с топологическое пространство Икс, который может быть реальным или сложным многообразие, или более общий топологически стратифицированное пространство, обычно в единственном числе. Это понятие было введено в тезис Зогман Мебхаут, набирающий большую популярность после (самостоятельной) работы Джозеф Бернштейн, Александр Бейлинсон, и Пьер Делинь (1982) как формализация Соответствие Римана-Гильберта, который связывает топологию особых пространств (гомология пересечения из Марк Горески и Роберт Макферсон ) и алгебраической теории дифференциальных уравнений (микролокальный камень и голономный D-модули из Джозеф Бернштейн, Масаки Кашивара и Такахиро Каваи ). С самого начала было ясно, что извращенные пучки - фундаментальные математические объекты на перекрестке алгебраическая геометрия, топология, анализ и дифференциальные уравнения. Они также играют важную роль в теория чисел, алгебра и теория представлений. Свойства, характеризующие извращенные пучки, уже появились в статье Кашивары 75-го года о конструктивности решений голономных D-модули.

Предварительные замечания

Название извращенная связка происходит через грубый перевод французского «faisceaux pervers».^[1] Обоснование состоит в том, что извращенные пучки представляют собой комплексы пучков, которые имеют несколько общих черт с пучками: они образуют абелеву категорию, они имеют когомология, а для его построения достаточно построить локально всюду. Прилагательное «извращенцы» происходит от гомология пересечения теория^[2] и его происхождение было объяснено Гореский (2010).

Определение извращенного пучка Бейлинсона-Бернштейна-Делиня проходит через механизм триангулированные категории в гомологическая алгебра и имеет очень сильный алгебраический привкус, хотя основные примеры, вытекающие из теории Горески – Макферсона, являются топологическими по своей природе, поскольку простые объекты в категории извращенных пучков являются комплексами когомологий пересечения. Это побудило Макферсона пересмотреть всю теорию в геометрических терминах на основе Теория Морса. Для многих приложений в теории представлений извращенные пучки можно рассматривать как «черный ящик», категорию с определенными формальными свойствами.

Определение и примеры

А извращенная связка это объект C ограниченного производная категория связок с конструктивный когомологии на пространстве Икс такой, что множество точек Икс с

${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}C)\neq 0}$ или же ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{!}C)\neq 0}$

имеет размерность не более 2я, для всех я. Здесь j_Икс карта включения точки Икс.

Если Икс гладкий и везде размерный d, тогда

${\displaystyle {\mathcal {F}}[d]}$

является извращенным пучком для любого локальная система ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.^[3] Если Икс является плоской, локально полным пересечением (например, регулярной) схемой над генселианский кольцо дискретной оценки, то постоянный пучок, сдвинутый на ${\displaystyle \dim X+1}$ этальный извращенный пучок.^[4]

Характеристики

Категория извращенных пучков является абелевой подкатегорией (неабелевой) производной категории пучков, равной ядру подходящего т-структура, и сохраняется Двойственность Вердье.

Ограниченная производная категория извращенных l-адических пучков на схеме Икс эквивалентна производной категории конструктивных пучков и аналогично для пучков на комплексном аналитическом пространстве, ассоциированном со схемой Икс/C.^[5]

Приложения

Извращенные пучки - фундаментальный инструмент геометрии особых пространств. Поэтому они применяются в самых разных математических областях. в Соответствие Римана-Гильберта, извращенным пучкам соответствуют регулярные голономные D-модули. Это приложение устанавливает понятие извращенного пучка как существующего «в природе». В теорема разложения, далеко идущее продолжение жесткая теорема Лефшеца разложение, требует использования извращенных пучков. Модули Ходжа являются, грубо говоря, Теоретико-Ходжа уточнение извращенных связок. В геометрическая эквивалентность Сатаке отождествляет эквивариантные перверсные пучки на аффинный грассманиан ${\displaystyle Gr_{G}}$ с представлениями Лэнглендс двойной группа восстановительная группа грамм - видеть Миркович и Вилонен (2007). Доказательство Гипотезы Вейля с использованием извращенных пучков приведено в Киль и Вайссауэр (2001).

Теория струн

Безмассовые поля в суперструна компактификации были идентифицированы с когомология классы в целевом пространстве (т.е. четырехмерные Пространство Минковского с шестимерным Многообразие Калаби-Яу (CY) ). Определение содержания вопроса и взаимодействия требует детального анализа (со) гомологии этих пространств: почти все безмассовые поля в эффективных физика модели представлены некоторыми элементами (ко) гомологии. Однако неприятные последствия возникают, когда целевое пространство единственное число. Особое целевое пространство означает, что только многообразие CY является сингулярным, поскольку пространство Минковского гладкое. Такой необычный Коллектор CY называется конифолд поскольку это многообразие CY, допускающее конические особенности. Эндрю Строминджер заметил (A. Strominger, 1995), что конифолды соответствуют безмассовым черные дыры. Конифолды - важные объекты в теории струн: Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 своей книги Элегантная Вселенная - в том числе и то, что пространство может разорваться возле конуса, и его топология может меняться. Эти особые целевые пространства, т. Е. Конифолды, соответствуют некоторым мягким вырождениям алгебраические многообразия которые появляются в большом классе суперсимметричный теории, в том числе теория суперструн (Э. Виттен, 1982). По сути, разные теории когомологий на сингулярных целевых пространствах дают разные результаты, что затрудняет определение того, какая теория может отдать предпочтение физике. Несколько важных характеристик когомологий, соответствующих безмассовым полям, основаны на общих свойствах теорий поля, в частности, (2,2) -суперсимметричной двумерной мировой лист теории поля. Эти свойства, известные как Kähler package (T. Hubsch, 1992), должно выполняться для сингулярных и гладких целевых пространств. Пол Грин и Тристан Хабш (P. Green & T. Hubsch, 1988) определили, что способ, которым вы перемещаетесь между отдельными целевыми пространствами CY, требует перемещения либо через малое разрешение или деформация особенности (T. Hubsch, 1992) и назвал это «конифолдным переходом».

Тристан Хабш (T. Hubsch, 1997) предположил, что это когомология теория должна быть для особых целевых пространств. Тристан Хабш и Абдул Рахман (T. Hubsch and A. Rahman, 2005) работали над решением гипотезы Хабша, анализируя нетрансверсальный случай Виттена калиброванная линейная сигма-модель (E. Witten, 1993), которая индуцирует стратификация из этих алгебраические многообразия (называемое многообразием основного состояния) в случае изолированной конической особенности. При определенных условиях было определено, что эта разновидность основного состояния является конифолд (P. Green & T.Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) с изолированной конической особенности над определенной базой с 1-мерной экзокривой (называемой экзо-слоем), прикрепленной на каждом единственное число точка. Т. Хабш и А. Рахман определили (ко) -гомологии этого многообразия основных состояний во всех измерениях, нашли его совместимым с Зеркальная симметрия и Теория струн но нашел препятствие в среднем измерении (Т. Хабш, А. Рахман, 2005). Этот препятствие потребовалось пересмотреть гипотезу Хабша о струнных сингулярных когомологиях (T. Hubsch, 1997). Зимой 2002 г. Т. Хабш и А. Рахман встретились с Р.М. Горески обсудить это препятствие и в обсуждениях между Р.М. Гореский и Р. Макферсон Р. Макферсон заметил, что существует такой извращенный пучок, который может иметь когомологии, удовлетворяющие гипотезе Хабша и разрешил препятствие. Р.М. Гореский и Т. Хабш консультировали доктора философии А. Рахмана. докторскую диссертацию о построении самодуального извращенного пучка (A. Rahman, 2009) с использованием зигзагообразной конструкции Макферсон -Вилонен (Р. Макферсон и К. Вилонен, 1986). Этот извращенный пучок доказал гипотезу Хюбша для изолированных конических особенности, довольный Двойственность Пуанкаре и согласован с некоторыми свойствами пакета Kähler. Удовлетворение всего пакета Кэлера этой извращенной связкой для высшего коразмерность слои все еще остается открытой проблемой. Маркус Банагл (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) рассмотрел гипотезу Хабша через пространства пересечений для высших коразмерность слои вдохновленный работами Хабша (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green, T. Hubsch, 1988) и оригинальным анзацем А. Рахмана (A. Rahman, 2009) для изолированные особенности.

Смотрите также

• Смешанный модуль Ходжа
• Смешанная извращенная связка
• Гомология пересечения
• L² когомологии
• Конифолд
• Теория струн
• Суперсимметрия

Примечания

1. Les faisceaux pervers n'etant ni des faisceaux, ni pervers, la terminologie Requiert une explication. BBD, стр. 10
2. Какова этимология термина «извращенная связка»? – MathOverflow
3. Бейлинсон, Бернштейн и Делинь (1982, Предложение 2.2.2, §4.0)
4. Иллюзия (2003), Corollaire 2.7)
5. Бейлинсон (1987, Теорема 1.3)

Рекомендации

• Андреа де Катальдо, Марк; Мильорини, Лука (2010). "Что такое извращенная сноп?" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 57 (5): 632–634. МИСТЕР  2664042.

• Аринкин Дмитрий; Безрукавников, Роман (2010). «Извращенные когерентные пучки». Московский математический журнал. 10 (1): 3–29. arXiv:0902.0349. Bibcode:2009arXiv0902.0349A. Дои:10.17323/1609-4514-2010-10-1-3-29. МИСТЕР  2668828.
• Бейлинсон, Александр А. (1987), "О производной категории извращенных пучков", K-теория, арифметика и геометрия (Москва, 1984–1986), Конспект лекций по математике, 1289, Берлин: Springer, стр. 27–41, Дои:10.1007 / BFb0078365, ISBN  978-3-540-18571-0, МИСТЕР  0923133

• Бейлинсон, Александр А.; Бернштейн, Джозеф; Делинь, Пьер (1982). «Фейсо извращенцы». Astérisque (На французском). Париж: Société Mathématique de France. 100. МИСТЕР  0751966.

• Брасселе, Жан-Поль (2009), Введение в гомологии пересечений и извращенные пучки, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), МИСТЕР  2533465

• Бремер, Кристофер Л .; Сейдж, Дэниел С. (2013), «Обобщенные условия Серра и извращенные когерентные пучки», Журнал алгебры, 392: 85–96, arXiv:1106.2616, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2013.06.018, МИСТЕР  3085024

• Гореский Марк (2010). «Какова этимология термина« извращенная связка »?».
• Иллюзи, Люк (2003). «Извращение и вариации». Manuscripta Mathematica. 112 (3): 271–295. Дои:10.1007 / s00229-003-0407-z. МИСТЕР  2067039.
• Киль, Рейнхардт; Вайссауэр, Райнер (2001), Гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 42, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41457-5, МИСТЕР  1855066
• Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). "Гомологии пересечения и извращенные пучки" (PDF) (неопубликованная рукопись).
• Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), "Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами", Анналы математики, Вторая серия, 166 (1): 95–143, arXiv:математика / 0401222, Дои:10.4007 / анналы.2007.166.95, ISSN  0003-486X, МИСТЕР  2342692
• Ритч, Констанце (2003). «Введение в извращенные связки». arXiv:math.RT / 0307349.
• Александр Бейлинсон, Жозеф Бернштейн, Пьер Делинь и Офер Габбер «Faisceaux Pervers» - Astérisque 100 - второе издание (2018)
• Эндрю Строминджер, Безмассовые черные дыры и конифолды в теории струн, Nuclear Physics B 451 (1995), 96–108 (arXiV: hep – th / 9504090).
• Эдвард Виттен, Суперсимметрия и теория Морса, Журнал дифференциальной геометрии 17 (1982), 661–692.
• Эдвард Виттен, Фазы n = 2 теорий в двух измерениях, Nuclear Physics B 403 (1993), 159–222 (arXiV: hep – th / 9301042).
• Пол С. Грин и Тристан Хабш, Соединяющие пространства модулей трехмерных многообразий Калаби-Яу, Сообщения по математической физике, 119 (1988), 431–441.
• Тристан Хабш, О струнных сингулярных когомологиях, Modern Physics Letters A12 (1997), 521–533 (arXiV: hep – th / 9612075).
• Тристан Хабш, Многообразия Калаби-Яу: бестиарий для физиков, World Scientific Pub Co., (1992).
• Хюбш, Тристан; Рахман, Абдул (2005). «О геометрии и гомологии некоторых простых стратифицированных многообразий». Журнал геометрии и физики. 53 (1): 31–48. arXiv:math.AG/0210394. Дои:10.1016 / j.geomphys.2004.04.010. ISSN  0393-0440. МИСТЕР  2102048.
• Роберт Макферсон и Кари Вилонен, Элементарные конструкции извращенных пучков, Inventiones Mathematicae 84 (1986), 403–435.
• Брайан Грин (2003), Элегантная вселенная, W.W. Norton Co., ISBN  0-393-05858-1.
• Абдул Рахман, Подход извращенного пучка к теории когомологий для теории струн, Успехи теоретической и математической физики. 13 (3) (2009): 667–693. (arXiv: 0704.3298 [math.AT]).
• Маркус Банагл. Пространства пересечения, усечение пространственных гомологий и теория струн, Лекционные заметки по математике 1997 (2010), Springer Verlag Berlin-Heidelberg.
• Банагл, Маркус; Будур, Нерон; Максим, Laureniu (2014). «Пространства пересечения, извращенные пучки и теория струн типа IIB». Успехи теоретической и математической физики. 18 (2): 363–399. arXiv:1212.2196. МИСТЕР  3273317.