Конструктивная связка - Constructible sheaf

В математика, а конструктивная связка это пучок из абелевы группы над некоторыми топологическое пространство Икс, так что Икс представляет собой объединение конечного числа локально замкнутые подмножества на каждом из которых пучок является локально постоянным пучком. Это обобщение конструктивная топология в классической алгебраической геометрии.

В этальные когомологии аналогично определяются конструктивные пучки (Делинь 1977, IV.3) Пучок абелевых групп на Схема Нётера называется конструируемой, если схема имеет конечное покрытие подсхемами, на которых пучок является локально постоянным конструктивным (то есть представленным этальным покрытием). Относительно производной категории конструктивных пучков см. Раздел в ℓ-адическая связка.

В теорема конечности в этальных когомологиях утверждает, что высшие прямые образы конструктивного пучка конструктивны.

Определение этальных конструктивных пучков на схеме ${\displaystyle X}$

Здесь мы используем определение конструируемых этальных пучков из книги Фрайтага и Киля, ссылка на которую приводится ниже. В дальнейшем в этом пункте все пучки ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на схемах ${\displaystyle X}$ являются этальными пучками, если не указано иное.

Связка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ называется конструктивным, если ${\displaystyle X}$ можно записать как конечное объединение локально замкнутых подсхем ${\displaystyle i_{Y}:Y\to X}$ так что каждый для каждой подсхемы ${\displaystyle Y}$, связка ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{Y}=i_{Y}^{\ast }{\mathcal {F}}}$ конечный локально постоянный пучок. В частности, это означает, что для каждой подсхемы ${\displaystyle Y}$ в конечном покрытии возникает этальное покрытие ${\displaystyle \lbrace U_{i}\to Y\;|\;i\in I\rbrace }$ такое, что для всех этальных подсхем в покрытии ${\displaystyle Y}$, связка ${\displaystyle (i_{Y})^{\ast }{\mathcal {F}}|_{U_{i}}}$ постоянна и представлена ​​конечным множеством.

Это определение позволяет нам вывести из нётеровой индукции и того факта, что этальный пучок постоянен тогда и только тогда, когда его ограничение из ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle X_{\rm {red}}}$ также постоянна, где ${\displaystyle X_{\rm {red}}}$ это сокращение схемы ${\displaystyle X}$. Отсюда следует, что представимый этальный пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ сам по себе конструктивен.

Особый интерес для теории конструктивных этальных пучков представляет случай работы с конструктивными этальными пучками абелевых групп. Замечательный результат состоит в том, что конструктивные этальные пучки абелевых групп являются в точности нётеровыми объектами в категории всех крутильных этальных пучков (ср. Предложение I.4.8 Фрайтаг-Киля).

Примеры в алгебраической топологии

Большинство примеров конструктивных пучков происходят из когомологии пересечения шкивов или от производного толчка локальная система на семействе топологических пространств, параметризованных базовым пространством.

Получено pushforward на ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Один хороший набор примеров конструктивных пучков происходит из производных прямых (с компактной опорой или без нее) локальной системы на ${\displaystyle U=\mathbb {P} ^{1}-\{0,1,\infty \}}$. Поскольку любой цикл вокруг ${\displaystyle \infty }$ гомотопен петле вокруг ${\displaystyle 0,1}$ нам нужно только описать монодромию вокруг ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$. Например, мы можем установить операторы монодромии как

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}&T_{1}={\begin{bmatrix}1&l\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

где стебли нашей локальной системы ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ изоморфны ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\oplus 2}}$. Тогда, если мы возьмем производную прямую ${\displaystyle \mathbf {R} j_{*}}$ или же ${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ за ${\displaystyle j:U\to \mathbb {P} ^{1}}$ получаем конструктивный пучок, в котором стебли в точках ${\displaystyle 0,1,\infty }$ вычислить когомологии локальных систем, ограниченных их окрестностью в ${\displaystyle U}$.

Семейство эллиптических кривых Вейерштрасса

Например, рассмотрим семейство вырождающихся эллиптических кривых

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-t)}$

над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. В ${\displaystyle t=0,1}$ это семейство кривых вырождается в узловую кривую. Если обозначить это семейство через ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {C} }$ тогда

${\displaystyle \mathbf {R} ^{0}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong \mathbf {R} ^{2}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} }}$

и

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}\oplus {\underline {\mathbb {Q} }}_{\{0,1\}}}$

где стебли локальной системы ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}}$ изоморфны ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$. Эта локальная монодромия вокруг этой локальной системы вокруг ${\displaystyle 0,1}$ можно вычислить с помощью Формула Пикара – Лефшеца

Рекомендации

Примечания к семинару

• Ганнингем, Сэм; Хьюз, Ричард, Темы в D-модулях (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-09-21

Рекомендации

• Делинь, Пьер, изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5), Конспект лекций по математике (на французском языке), 569, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0091516, ISBN  978-0-387-08066-6, заархивировано из оригинал на 2009-05-15, получено 2010-02-09
• Димка, Александру (2004), Пучки в топологии, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-20665-1, МИСТЕР  2050072
• Фрайтаг, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3), 13, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-02541-3, ISBN  3-540-12175-7, МИСТЕР  0926276