Схема Нётера - Noetherian scheme

В алгебраическая геометрия, а нетерова схема это схема который допускает конечное покрытие открытыми аффинными подмножествами ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{i}}$, ${\displaystyle A_{i}}$ нётерские кольца. В более общем плане схема местно нётерский если он покрывается спектрами нётеровых колец. Таким образом, схема является нётеровой тогда и только тогда, когда она локально нётерова и квазикомпактна. Как и в случае с нётеровыми кольцами, концепция названа в честь Эмми Нётер.

Можно показать, что в локально нётеровой схеме, если ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ открытое аффинное подмножество, то А - нётеровское кольцо. Особенно, ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ является нётеровой схемой тогда и только тогда, когда А - нётеровское кольцо. Позволять Икс быть локальной нётеровой схемой. Тогда местные кольца ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ нётеровы кольца.

Схема Нётера - это нетерово топологическое пространство. Но в целом обратное неверно; рассмотрим, например, спектр кольца нётеровых оценок.

Определения распространяются на формальные схемы.

Свойства и нётеровские гипотезы

Наличие (локально) нётеровой гипотезы для утверждения о схемах обычно делает множество проблем более доступными, поскольку они в достаточной мере закрепляют многие из ее свойств.

Девисаж

Одна из наиболее важных структурных теорем о нётеровых кольцах и нётеровых схемах - это Теорема Девиссажа. Эта теорема позволяет разложить рассуждения о когерентные пучки в индуктивные аргументы. Это потому, что при наличии короткой точной последовательности когерентных пучков

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0}$

Доказательство того, что один из пучков обладает каким-либо свойством, эквивалентно доказательству того, что два других обладают этим свойством. В частности, при фиксированном когерентном пучке ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и подкогерентный пучок ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$, показывая ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ есть какое-то свойство, которое можно свести к рассмотрению ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'}$. Поскольку этот процесс может быть применен только конечное число раз нетривиальным образом, это делает возможным множество индукционных аргументов.

Количество неприводимых компонентов

Каждая нётерова схема может иметь только конечное число компонентов.^[1]

Морфизмы из нётеровых схем квазикомпактны

Каждый морфизм из нётеровой схемы ${\displaystyle X\to S}$ является квазикомпактный.^[2]

Гомологические свойства

У нётеровых схем есть много хороших гомологических свойств.^[3]

Когомологии Чеха и Шефа

Когомологии Чеха и когомологии пучков соглашаются об аффинном открытом покрытии. Это позволяет вычислить Когомологии пучков из ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ с использованием когомологий Чеха для стандартной открытой крышки.

Совместимость копределов с когомологиями

Учитывая прямую систему ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }}$ пучков абелевых групп по нётеровой схеме существует канонический изоморфизм

${\displaystyle \varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })}$

имея в виду функторы

${\displaystyle H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}}$

сохранять прямые ограничения и сопутствующие продукты.

Производное прямое изображение

Для локально конечного морфизма типа ${\displaystyle f:X\to S}$ по нётеровой схеме ${\displaystyle S}$ и комплекс связок ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)}$ с ограниченными когерентными когомологиями такими, что пучки ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ иметь надлежащую поддержку ${\displaystyle S}$, то производный pushforward ${\displaystyle \mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })}$ имеет ограниченные когерентные когомологии над ${\displaystyle S}$, что означает, что это объект в ${\displaystyle D_{Coh}^{b}(S)}$.^[4]

Примеры

Многие из схем, которые можно найти в природе, являются схемами Нётера.

Локально конечного типа над нётеровой базой

Другой класс примеров нётеровых схем^[5] семейства схем ${\displaystyle X\to S}$ где база ${\displaystyle S}$ Нётер и ${\displaystyle X}$ имеет конечный тип над ${\displaystyle S}$. Это включает в себя множество примеров, таких как связанные компоненты Схема гильберта, т.е. с фиксированным многочленом Гильберта. Это важно, поскольку подразумевает множество пространства модулей в дикой природе встречаются нётерианцы, такие как Модули алгебраических кривых и Модули стабильных векторных расслоений. Кроме того, это свойство можно использовать, чтобы показать, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле нетеровы.

Квазипроективные многообразия

В частности, квазипроективные многообразия являются нётеровыми схемами. Этот класс включает алгебраические кривые, эллиптические кривые, абелевы разновидности, схемы Калаби-Яу, сорта шимура, K3 поверхности, и кубические поверхности. Практически все объекты классической алгебраической геометрии вписываются в этот класс примеров.

Бесконечно малые деформации нётеровых схем

В частности, бесконечно малые деформации нётеровых схем снова нётеровы. Например, учитывая кривую ${\displaystyle C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})}$, Любые деформация ${\displaystyle {\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))}$ также является нётеровой схемой. Башню таких деформаций можно использовать для построения формальных нётеровых схем.

Не примеры

Схемы над адельными базами

Одним из естественных колец, которые не являются нётеровыми, являются кольца Кольцо аделей ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ для поле алгебраических чисел ${\displaystyle K}$. Чтобы иметь дело с такими кольцами, рассматривается топология, дающая топологические кольца. Существует понятие алгебраической геометрии над такими кольцами, разработанное А. Weil и Александр Гротендик.^[6]

Кольца целых чисел над бесконечными расширениями

Учитывая бесконечное расширение поля Галуа ${\displaystyle K/L}$, такие как ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q} }$ (присоединением всех корней из единицы) кольцо целых чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ является нётеровым кольцом размерности ${\displaystyle 1}$. Это разрушает интуитивное представление о том, что конечномерные схемы обязательно нётеровы. Кроме того, этот пример дает мотивацию для изучения схем на основе нётеровой основы; то есть схемы ${\displaystyle {\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})}$, может быть интересной и плодотворной темой.

Кольцо полиномов с бесконечным числом образующих

Другой пример нётеровой конечномерной схемы (на самом деле нульмерной) дается следующим фактором кольца многочленов с бесконечным числом образующих.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}}$

Смотрите также

• Отличное кольцо - немного более жесткие, чем кольца Нётерана, но обладают лучшими свойствами
• Теорема Шевалле о конструктивных множествах
• Основная теорема Зарисского
• Дуализирующий комплекс
• Теорема нагаты о компактификации

использованная литература

1. «Лемма 28.5.7 (0BA8) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-07-24.
2. «Лемма 28.5.8 (01P0) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-07-24.
3. «Когомологии пучков» (PDF).
4. «Лемма 36.10.3 (08E2) - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-07-24.
5. «Лемма 29.15.6 (01T6) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-07-24.
6. Конрад, Брайан. «Подходы Вейля и Гротендика к адельным точкам» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.

• Робин Хартшорн, Алгебраическая геометрия.
• Сильнее. Когомологии арифметических групп
• Схема Нётера. Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Noetherian_scheme&oldid=34135