Девисаж - Dévissage

В алгебраическая геометрия, девиссаж это техника, представленная Александр Гротендик для доказательства утверждений о когерентные пучки на нётерские схемы. Девисаж - это адаптация определенного вида нётерова индукция. У него много приложений, включая доказательство общая плоскостность и доказательство того, что выше прямые изображения когерентных пучков при собственном морфизмы последовательны.

Лоран Грюсон и Мишель Рейно распространил это понятие на относительную ситуацию, то есть на ситуацию, когда рассматриваемая схема не обязательно нётерова, но вместо этого допускает конечно представленный морфизм к другой схеме. Они сделали это, определив объект, называемый относительным девиссажем, который хорошо подходит для определенных видов индуктивных аргументов. Они использовали эту технику, чтобы дать новый критерий модуль быть плоский. Как следствие, они смогли упростить и обобщить результаты EGA IV 11 на спуск плоскостности.^[1]

Слово девиссаж французский для отвинчивание.

Теорема гротендика о девиссаже

Позволять Икс быть нётеровой схемой. Позволять C быть подмножеством объектов категории когерентных О_Икс-модули, содержащие нулевой пучок и обладающие тем свойством, что для любой короткой точной последовательности ${\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0}$ когерентных пучков, если два из А, А', и А'' находятся в C, значит, и третий. Позволять Икс′ - замкнутое подпространство основного топологическое пространство из Икс. Предположим, что для любого неприводимого замкнутого подмножества Y из Икс′ Существует когерентный пучок грамм в C слой которого в общей точке у из Y является одномерным векторное пространство над поле вычетов k(у). Тогда каждое связное О_Икс-модуль, поддержка которого содержится в Икс′ Содержится в C.^[2]

В частном случае, когда Икс′ = Икс, теорема говорит, что C это категория связных О_Икс-модули. Это тот случай, когда теорема применяется чаще всего, но приведенное выше утверждение позволяет доказать теорему нётеровой индукцией.

Вариант теоремы состоит в том, что если каждый прямой фактор объекта в C снова в C, то условие того, что слой грамм в Икс быть одномерным, можно заменить условием ненулевого состояния слоя.^[3]

Относительные девиссажи Грюсона и Рейно

Предположим, что f: Икс → S конечно представленный морфизм аффинных схем, s это точка S, и M конечный тип О_Икс-модуль. Если п натуральное число, то Грюсон и Рейно определяют S-девисаж в измерении п состоять из:

1. Замкнутая конечно представленная подсхема Икс' из Икс содержащую замкнутую подсхему, определяемую аннулятором M и такой, что размер Икс′ ∩ f⁻¹(s) меньше или равно п.
2. Схема Т и факторизация Икс′ → Т → S ограничения ж к ИксТакие, что Икс′ → Т является конечным морфизмом и Т → S является гладким аффинным морфизмом с геометрически целыми слоями размерности п. Обозначим общую точку Т ×_S k(s) на τ и продвижение M к Т к N.
3. Свободный конечный тип О_Т-модуль L и гомоморфизм α: L → N такой, что α ⊗ k(т) биективен.

Если п₁, п₂, ..., п_р - строго убывающая последовательность натуральных чисел, то S-девисаж в размерах п₁, п₂, ..., п_р рекурсивно определяется как:

1. An S-девисаж в измерении п₁. Обозначим коядро α через п₁.
2. An S-девисаж в размерах п₂, ..., п_р из п₁.

Говорят, что девиссаж лежит между измерениями. п₁ и п_р. р называется длина Девиссажа. Последний шаг рекурсии состоит из изменения размерности п_р который включает морфизм α_р : L_р → N_р. Обозначим коядро этого морфизма через п_р. Девисаж называется общий если п_р равно нулю.^[4]

Грюсон и Рейно в целом доказывают, что локально девиссажи существуют всегда. В частности, пусть ж : (Икс, Икс) → (S, s) - конечно представимый морфизм отмеченных схем и M быть О_Икс-модуль конечного типа, слой которого Икс не равно нулю. Набор п равный размеру M ⊗ k(s) и р к коду M в s, то есть п - глубина (M ⊗ k(s)).^[5] Тогда существуют аффинные этальные окрестности Икс' из Икс и S' из s, вместе с точками Икс' и s'Подъем Икс и s, такие, что расширения поля вычетов k(Икс) → k(Икс′) и k(s) → k(s′) тривиальны, карта Икс′ → S факторы через S′, Эта факторизация отправляет Икс' к s′, И что откат M к Икс′ Допускает всего S′ -Девисаж на Икс′ В размерах между п и п − р.

Рекомендации

1. Грюсон и Рейно, 1971 г., п. 1
2. EGA III, Теория 3.1.2
3. EGA III, Corollaire 3.1.3
4. Грюсон и Рейно, 1971 г., стр. 7–8
5. EGA 0_IV, Определение 16.4.9

Библиография

• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 11. Дои:10.1007 / bf02684274. МИСТЕР  0217085.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 20. Дои:10.1007 / bf02684747. МИСТЕР  0173675.
• Грусон, Лоран; Рейно, Мишель (1971), "Критерии простоты и проекции", Inventiones Mathematicae (На французском), 13: 1–17, Дои:10.1007 / bf01390094, ISSN  0020-9910