Общая плоскостность - Generic flatness

В алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, теоремы общая плоскостность и общая свобода утверждают, что при определенных гипотезах пучок из модули на схема является плоский или же свободный. Они связаны с Александр Гротендик.

Общая плоскостность утверждает, что если Y интегральная локально нётерова схема, ты : Икс → Y является морфизмом схем конечного типа, а F является последовательным ОИкс-модуль, то существует непустое открытое подмножество U из Y так что ограничение F к ты−1(U) плоский над U.[1]

Потому что Y является целым, U плотное открытое подмножество Y. Это может быть применено, чтобы вывести вариант общей плоскостности, которая верна, когда основание не является целым.[2] Предположим, что S это нетерова схема, ты : Икс → S - морфизм конечного типа, и F является последовательным ОИкс модуль. Тогда существует разбиение S на локально замкнутые подмножества S1, ..., Sп со следующим свойством: дать каждому Sя его приведенная схемная структура, обозначим Икся то волокнистый продукт Икс ×S Sя, и обозначим через Fя ограничение F ⊗ОS ОSя; затем каждый Fя плоский.

Общая свобода

Общая плоскостность является следствием леммы об общей свободе. Общая свобода утверждает, что если А это нётерский область целостности, B конечный тип А-алгебра и M конечный тип B-модуль, то существует ненулевой элемент ж из А такой, что Mж это бесплатный Аж-модуль.[3] Общая свобода может быть расширена до градуированной ситуации: если B оценивается натуральными числами, А действует в нулевой степени, и M оценивается B-модуль, затем ж можно выбрать так, чтобы каждый градуированный компонент Mж бесплатно.[4]

Общая свобода доказана с использованием техники Гротендика: девиссаж. Видеть Лемма Нётер о нормализации # Иллюстративное приложение: общая свобода для доказательства версии общей свободы.

Рекомендации

  1. ^ EGA IV2, Теорема 6.9.1
  2. ^ EGA IV2, Короллер 6.9.3
  3. ^ EGA IV2, Lemme 6.9.2
  4. ^ Эйзенбуд, теорема 14.4

Библиография

  • Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94268-1, МИСТЕР  1322960
  • Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 24. Дои:10.1007 / bf02684322. МИСТЕР  0199181.