Гомология пересечения - Intersection homology

В топология, филиал математика, гомология пересечения является аналогом особые гомологии особенно хорошо подходит для изучения особые пространства, обнаруженный Марк Горески и Роберт Макферсон осенью 1974 г. и разрабатывались ими в течение следующих нескольких лет.

Когомологии пересечений использовались для доказательства Гипотезы Каждана – Люстига и Соответствие Римана – Гильберта. Это тесно связано с L² когомология.

Подход Горески – Макферсона

В группы гомологии из компактный, ориентированный, связаны, п-размерный многообразие Икс имеют фундаментальное свойство, называемое Двойственность Пуанкаре: Существует идеальное сочетание

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Q} )\times H_{n-i}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} .}$

Классически - возвращаясь, например, к Анри Пуанкаре - эта двойственность понималась в терминах теория пересечений. Элемент

${\displaystyle H_{j}(X)}$

представлен j-мерный цикл. Если я-размерный и ${\displaystyle (n-i)}$-мерный цикл находится в общая позиция, то их пересечение - это конечный набор точек. Используя ориентацию Икс каждой из этих точек можно присвоить знак; другими словами, пересечение дает 0-мерный цикл. Можно доказать, что класс гомологий этого цикла зависит только от классов гомологий исходного я- и ${\displaystyle (n-i)}$-мерные циклы; кроме того, можно доказать, что это спаривание идеально.

Когда Икс имеет особенности- то есть когда в пространстве есть места, не похожие на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$- эти идеи рушатся. Например, для циклов уже невозможно понять понятие «общее положение». Горески и Макферсон ввели класс «допустимых» циклов, для которых имеет смысл общее положение. Они ввели отношение эквивалентности для допустимых циклов (где только «допустимые границы» эквивалентны нулю) и назвали группу

${\displaystyle IH_{i}(X)}$

из я-мерные допустимые циклы по модулю этого отношения эквивалентности "гомологии пересечения". Кроме того, они показали, что пересечение я- и ${\displaystyle (n-i)}$-мерный допустимый цикл дает (обычный) нулевой цикл, класс гомологии которого хорошо определен.

Стратификации

Первоначально гомологии пересечения были определены на подходящих пространствах с стратификация, хотя зачастую группы оказываются независимыми от выбора стратификации. Есть много разных определений стратифицированных пространств. Удобным для гомологий пересечений является п-размерный топологическое псевдомногообразие. Это (паракомпакт, Хаусдорф ) Космос Икс который имеет фильтрацию

${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X}$

из Икс замкнутыми подпространствами такими, что:

• Для каждого я и для каждой точки Икс из ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$, существует окрестность ${\displaystyle U\subset X}$ из Икс в Икс, компактный ${\displaystyle (n-i-1)}$-мерное стратифицированное пространство L, и гомеоморфизм, сохраняющий фильтрацию ${\displaystyle U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL}$. Здесь ${\displaystyle CL}$ открытый конус на L.
• ${\displaystyle X_{n-1}=X_{n-2}}$.
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$ плотно в Икс.

Если Икс является топологическим псевдомногообразием, я-размерный слой из Икс это пространство ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$.

Примеры:

• Если Икс является п-размерный симплициальный комплекс такой, что каждый симплекс содержится в п-простой и п−1 симплекс содержится ровно в двух п-симплексы, то лежащее в основе пространство Икс является топологическим псевдомногообразием.
• Если Икс - любое комплексное квазипроективное многообразие (возможно, с особенностями), то его базовое пространство является топологическим псевдомногообразием со всеми слоями четной размерности.

Извращения

Группы гомологий пересечения ${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$ зависеть от выбора извращенности ${\displaystyle \mathbf {p} }$, который измеряет, насколько циклы могут отклоняться от трансверсальности. (Происхождение названия «извращенность» объяснили Гореский (2010).) А извращенность ${\displaystyle \mathbf {p} }$ это функция

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

из целых чисел ${\displaystyle \geq 2}$ к целым числам, таким что

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$.
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$.

Второе условие используется, чтобы показать инвариантность групп гомологий пересечений при изменении стратификации.

В дополнительная извращенность ${\displaystyle \mathbf {q} }$ из ${\displaystyle \mathbf {p} }$ это тот, у кого

${\displaystyle \mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2}$.

Группы гомологий пересечения дополнительной размерности и дополнительной извращенности попарно попарны.

Примеры извращений

• Минимальная извращенность имеет ${\displaystyle p(k)=0}$. Его дополнение - максимальная извращенность с ${\displaystyle q(k)=k-2}$.
• Нижний) среднее извращение м определяется ${\displaystyle m(k)=[(k-2)/2]}$, то целая часть из ${\displaystyle (k-2)/2}$. Его дополнение - извращенность верхнего среднего, со значениями ${\displaystyle [(k-1)/2]}$. Если извращенность не указана, то обычно подразумевают извращенность ниже среднего. Если пространство может быть стратифицировано всеми стратами четной размерности (например, любым сложным многообразием), то группы гомологий пересечений не зависят от значений извращенности на нечетных целых числах, поэтому верхняя и нижняя средняя извращения эквивалентны.

Особые гомологии пересечения

Зафиксируем топологическое псевдомногообразие Икс измерения п с некоторым расслоением и извращенностью п.

Отображение σ из стандартного я-суплекс ${\displaystyle \Delta ^{i}}$ к Икс (особый симплекс) называется допустимый если

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)}$

содержится в ${\displaystyle i-k+p(k)}$ скелет ${\displaystyle \Delta ^{i}}$.

Комплекс ${\displaystyle I^{p}(X)}$ является подкомплексом комплекса особых цепей на Икс который состоит из всех особых цепей, таких, что и цепь, и ее граница являются линейными комбинациями допустимых особых симплексов. Группы гомологий особых пересечений (с извращенностью п)

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

- группы гомологий этого комплекса.

Если Икс имеет триангуляцию, совместимую со стратификацией, то группы гомологий симплициальных пересечений могут быть определены аналогичным образом и естественно изоморфны группам гомологий особых пересечений.

Группы гомологий пересечений не зависят от выбора стратификации Икс.

Если Икс является топологическим многообразием, то группы гомологий пересечений (для любой извращенности) такие же, как и обычные группы гомологий.

Маленькие разрешения

А разрешение особенностей

${\displaystyle f:X\to Y}$

сложной разновидности Y называется маленькое разрешение если для каждого р > 0 пространство точек Y где волокно имеет размер р коразмерности больше 2р. Грубо говоря, это означает, что большинство волокон мелкие. В этом случае морфизм индуцирует изоморфизм из гомологий (пересечений) Икс к гомологиям пересечения Y (со средней извращенностью).

Существует множество с двумя разными малыми резольвентами, которые имеют разные кольцевые структуры на своих когомологиях, что показывает, что вообще нет естественной кольцевой структуры на (ко) гомологиях пересечений.

Теория связок

Формула Делиня для когомологий пересечений утверждает, что

${\displaystyle I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))}$

куда ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ это определенный комплекс конструктивные связки на Икс (рассматривается как элемент производной категории, поэтому когомологии справа означают гиперкогомология комплекса). Комплекс ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ задается, начиная с постоянного пучка на открытом множестве ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$ и многократно расширяя его на большие открытые наборы ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$ а затем усечение его в производной категории; точнее это дается формулой Делиня

${\displaystyle IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}Ri_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}Ri_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}Ri_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$

куда ${\displaystyle \tau _{\leq p}}$ является функтором усечения в производной категории, ${\displaystyle i_{k}}$ это включение ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$ в ${\displaystyle X\setminus X_{n-k-1}}$, и ${\displaystyle \mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$ постоянный пучок на ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$.^[1]

Заменив постоянную связку на ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$ с локальной системой можно использовать формулу Делиня для определения когомологий пересечения с коэффициентами в локальной системе.

Примеры

Учитывая гладкую эллиптическая кривая ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$ определяемый кубическим однородным многочленом ${\displaystyle f}$^{[2]стр. 281-282}, Такие как ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$, то аффинный конус

${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$

имеет изолированную особенность в нуле, поскольку ${\displaystyle f(0)=0}$ и все частные производные ${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$ исчезнуть. Это потому, что он однороден по степени ${\displaystyle 3}$, а производные однородны степени 2. Положив ${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$ и ${\displaystyle i:U\to X}$ карта включения, комплекс пересечений ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$ дается как

${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} f_{*}\mathbb {Q} _{U}}$

Это можно вычислить явно, посмотрев на стебли когомологий. В ${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$ куда ${\displaystyle p\neq 0}$ производное прямое отображение - это тождественное отображение на гладкой точке, поэтому единственные возможные когомологии сосредоточены в степени ${\displaystyle 0}$. За ${\displaystyle p=0}$ когомологии более интересны, поскольку

${\displaystyle \mathbf {R} ^{i}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}={\underset {V\subset U}{\text{colim}}}H^{i}(V;\mathbb {Q} )}$

за ${\displaystyle V}$ где закрытие ${\displaystyle i(V)}$ содержит происхождение. Поскольку любой ${\displaystyle V}$ можно уточнить, рассматривая пересечение открытого диска в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ с ${\displaystyle U}$, мы можем просто вычислить когомологии ${\displaystyle H^{i}(U;\mathbb {Q} )}$. Это можно сделать, наблюдая ${\displaystyle U}$ это ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ расслоение над эллиптической кривой ${\displaystyle E}$, то пучок гиперплоскостей, а Последовательность Ванга дает группы когомологий

${\displaystyle {\begin{matrix}H^{0}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{0}(E;\mathbb {Q} )\\H^{1}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{1}(E;\mathbb {Q} )\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{1}(E;\mathbb {Q} )\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{2}(E;\mathbb {Q} )\\\end{matrix}}}$

следовательно, пучки когомологий на стебле ${\displaystyle p=0}$ находятся

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}(\mathbf {R} ^{2}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0})&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}(\mathbf {R} ^{2}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}(\mathbf {R} ^{2}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0})&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$

усечение этого дает нетривиальные пучки когомологий ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$, следовательно, пучок когомологий пересечения равен

${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}=\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\oplus \mathbb {Q} _{p=0}[-1]}$

Последнее разложение следует из Теорема разложения.

Свойства комплекса IC (Икс)

Комплекс IC_п(Икс) обладает следующими свойствами

• В дополнении к некоторому замкнутому множеству коразмерности 2 имеем

${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$ равно 0 для я + м ≠ 0, а для я = −м группы образуют постоянную локальную систему C

• ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$ равно 0 для я + м < 0
• Если я > 0 тогда ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$ равен нулю, за исключением множества коразмерностей не менее а для самых маленьких а с п(а) ≥ м − я
• Если я > 0 тогда ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})}$ равен нулю, за исключением множества коразмерностей не менее а для самых маленьких а с q(а) ≥ (я)

Как обычно, q дополнительная извращенность к п. Более того, комплекс однозначно характеризуется этими условиями с точностью до изоморфизма в производной категории. Условия не зависят от выбора стратификации, поэтому это показывает, что когомологии пересечений также не зависят от выбора стратификации.

Двойственность Вердье берет IC_п в IC_q сдвинут на п = тусклый (Икс) в производной категории.

Смотрите также

• Теорема разложения
• Гомологии Бореля – Мура
• Топологически стратифицированное пространство
• Теория пересечения
• Извращенная связка
• Смешанная структура Ходжа

Рекомендации

1. Предупреждение: существует несколько соглашений о том, как извращенность входит в конструкцию Делиня: числа ${\displaystyle p(k)-n}$ иногда пишутся как ${\displaystyle p(k)}$.
2. Теория Ходжа (PDF). Каттани, Э. (Эдуардо), 1946 г., Эль-Зейн, Фуад, Гриффитс, Филипп, 1938 г., Ле, Дунг Транг ,. Принстон. ISBN  978-0-691-16134-1. OCLC  861677360. Архивировано из оригинал 15 августа 2020 г.

• Арман Борель, Когомологии пересечения (Успехи в математике (Биркхаузер, Бостон)) ISBN  0-8176-3274-3
• Марк Горески и Роберт Макферсон, Дуалит Пуанкаре для особых пространств. C.R. Acad. Sci. т. 284 (1977), стр. 1549–1551, Серия А.
• Гореский Марк (2010), Какова этимология термина «извращенная связка»?
• Гореский, Марк; Макферсон, Роберт, Теория гомологии пересечения, Топология 19 (1980), нет. 2, 135–162. Дои:10.1016/0040-9383(80)90003-8
• Гореский, Марк; Макферсон, Роберт, Гомология пересечения. II, Inventiones Mathematicae 72 (1983), нет. 1, 77–129. 10.1007 / BF01389130 МИСТЕР0696691 Это дает теоретико-пучковый подход к когомологиям пересечений.
• Фрэнсис Кирван, Джонатан Вульф Введение в теорию гомологий пересечения, ISBN  1-58488-184-4
• Клейман, Стивен. Развитие теории гомологии пересечений. Век математики в Америке, часть 2, Hist. Математика. 2, амер. Математика. Soc., 1989, стр. 543–585.
• «Гомология пересечения», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

внешняя ссылка

• Какова этимология термина «извращенная связка»? (включает обсуждение этимологии термина «гомология пересечения») - MathOverflow